Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

УРОК 1

Тема. Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Мета уроку: Узагальнення і систематизація знань учнів про чис­лові функції (область визначення і область значення функцій, зростаючі і спадні функції, парні і непарні функції).

І. Мотивація навчання

Процеси реального світу тісно пов’язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв’язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.

Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.

Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню? відповідає єдине значення у, називається функцією.

З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. По­няття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми має­мо можливості грунтовніше пізнати реальний світ.

II. Систематизація і узагальнення основних відомостей про числові функції

Числовою функцією з областю визначення D називається за­лежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.

Змінна х називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у – залежною змінною або функцією.

Функцію позначають латинськими буквами f, g, h… (або f(x), g(x), h(x)) або рівностями у = f(x), у = g(x), у = h(x)… Якщо задане конкретне значення незалежної змінної х = х0, то у0 = f(x0) називається значенням функції f в точці х0.

Область визначення функції позначається D(f) (від анг. defi­ne – визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функціїf, називаєть­ся областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist – існувати).

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:

Час доби х (год)

9

12

15

18

21

24

Температура тіла y=f(x) (С°)

39

38,5

38,3

37,3

37,1

37

Залежність у-= f(x) є функцією, х – незалежна змінна, у – залежна змінна.

F(9) = 39, f(12) = 38.5,…, f(24) = 37.

D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.

E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, фор­мули.

Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.

Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули:

У = х2 або f(x)= x2.

Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1) Якщо функція є многочленом у = аn хn + ?n-1 xn-1 +… + ?1x + a0, то D(y) = (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; +Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції) = R.

2) Якщо функція має вигляд у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції , де f(x) і g(x) – многочлени, то слід вважати g(x)Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції0 (знаменник дробу не дорів­нює 0).

3) Якщо функція має вигляд у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції , то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).

Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло­щини з координатами (x;f(x)) , де перша координата “пробігає” всю область визначення функції у = f(x), а друга координата – це відповідні значення функції в точці х.

1. Знайдіть значення функції:

A) f(x) = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції у точках 1; -1; 5;

Б) f(x) = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції у точках 3; 12; 52.

Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;

Б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7

2. Функцію задано формулою у = x2 на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:

А) таблиці; б) графіка.

Відповідь:

A)

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

Y

9

4

1

0

1

4

9

Б) рис. 1

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

3. Знайдіть область визначення функції:

А) у = х2 + х3; б) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції ; в) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; д) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; є) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції.

Відповідь:

A) D(y) = R; б) D(y) = (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; 3) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (3; +Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції); в) D(y) = (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції;-2) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (-2;0) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (0;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції); г) D(y) = (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; -3) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (-3; 3) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (3; +Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції); д) D(y) = (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції;l) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (l;4) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції (4;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції); є) D(y) = [-6;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції).

4. Знайдіть область значень функції: а) у =Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; б) у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції -1.

Відповідь: а) Е(у) = [2; +Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції); б) Е(у) = [1; +Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції).

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і...<center><ins class=

непарні функції" />

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

5. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажіть D(y) і Е(у).

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Відповідь:

А) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1];

Б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

В) D(y) = (-1;1); E(у) = R;

Г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Відповідь: а); в).

III. Систематизація і узагальнення знань учнів про спадні, зростаючі, парні та непарні функції.

Функція у = f(x) називається зростаючою (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) < f(x2) виконується нерівність х1 < х2.

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Функція у = f(x) називається спадною (рис. 5), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції та­ких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) > f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) – спадна, то із того, що f(x1) > f(x2), виконується нерівність х1 < х2.

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Виконання вправ

1. Користуючись графіками функцій, зображених на рисунку 6, укажіть проміжки зростання і спадання функцій.

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Відповідь:

А) на кожному з проміжків [-1;0], [1;2] функція зростає, на кожному з проміжків [-2;-1], [0;1] функція спадає;

Б) на кожному з проміжків [-3;-2], [1;2] функція спадає; на проміжку [-2;1] функція зростає;

В) на проміжку (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції;-1] функція спа­дає, на проміжку [-1; 1] функція постійна, на проміжку [1;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції) функція зростає.

2. Функція у = f(x) зростаюча. Порівняйте: а) f(10) і f(-10); б) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції і Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції.

Відповідь: а) f(10) > f(-10); б) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції < Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції.

3. Функція у = f(x) – спадна на R. Порівняйте: а) f(10) і f(-10); б) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції і Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції.

Відповідь: а) f(10) < f(-10); б) Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції > Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції.

4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

А) у = x – 3; б) у = – x + 3; в) у = x2 + 1; г) у = – х2 + 1.

Відповідь:

А) зростає на R;

Б) спадає на R;

В) зростає на проміжку [0;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції) і спадає на проміжку (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції;0];

Г) зростає на проміжку (-Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції;0] і спадає на проміжку [0;+Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції).

Функція у = f(x) називається парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(-x) = f(x).

Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ (рис. 7).

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Приклад 1. Чи парна функція f(x) = ?4 + ?2 ?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , функція парна.

Приклад 2. Чи парна функція f(x) = х2 + х?

Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 – х Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функціїF(x), то функція не є парною.

Функція у = f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції D(y) і виконується рівність f(-x) = – f(х).

Графік непарної функції симет­ричний відносно початку координат (рис. 8).

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x3 – x5?

Оскільки D(f) = R і f(-х) = (-х)3 – (-х) = – х3 + х5 = -(х3 – х5) = – f(х), функція непарна.

Приклад 4. Чи непарна функція f(х) = х3 – х2 ?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)3 – (-х)2 = – х3 – х2 = -(х3 + х2)Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функціїF(x) = – х3 + х2, функція не є непарною.

1. Які із функцій, графіки яких показано на рисунку 9, є пар­ними, а які непарними?

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Рис. 9

Відповідь: непарні – а), в); парні – б) д).

2. Які із поданих функцій а) у = х3 + 2х7; б) у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; в) у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції; г) у = 3×2 + х6; д) у = х +1; є) у = Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції +1 є парними, а які – не­парними?

Відповідь: парні – в), г); е); непарні – а).

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 1(1). Запитання і завдання для повторення розділу І № 1-12. Вправи № 1 (2; 5; 7), № 2 (3; 5).


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції