Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

УРОК 13

Тема. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

Мета уроку: вивчення формул тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел, формул тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу. Фор­мування умінь застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.

І. Перевірка домашнього завдання

Розв’язання вправ, аналогічних до домашніх: вправа № 40 (11), 44 (3).

II. Сприймання і усвідомлення формул суми і різниці двох чисел

1. Розглянемо, як пов’язані косинус різниці двох чисел із сину­сом і косинусом цих самих чисел.

На одиничному колі позначимо точки Р? і Р? (? > ?) проведемо вектори Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу і Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу, тоді Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу (соs?; sіn?), Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу(соs?; sіn?) (рис. 101).

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

Знайдемо скалярний добуток векторів Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу і Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу, двома способами:

1) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументуФормули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу = соs? – соs? + sіn? – sіn?;

2) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументуФормули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу= Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументуФормули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

– соs (? – ?) = 1-1соs (? – ?) = соs (? – ?).

Соs (? – ?) = соs? – соs? + sіn? – sіn?. (1)

Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:

Соs (? + ?) = соs? – соs? – sіn? – sіn?; (2)

Sіn (? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?; (3)

Sіn (? – ?) = sіn? – соs? – соs? – sіn?; (4)

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу (5)

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу (6)

Змінивши в формулі (1) ? на -? і врахувавши, що соs(-?) = соs?, sіn(-?) = – sіn?, одержимо

Соs(? + ?) = соs(? – (-?)) = соs? – соs(-?) + sіn? – sіn(-?) = соs? – соs? – sіn? – sіn?;

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу= sin? – cos? + cos? – sin?.

Таким чином,

Sіn(? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?

Змінивши в останній формулі? на – ? одержимо:

Sin(? – ?) = sіn? – соs(-?) + соs? – sіn(-?)

Виведемо формулу тангенса суми чисел:

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Отже Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

Змінивши? на – ?, одержимо Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

1. Знайдіть значення виразів:

А) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°;

Б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

В) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°;

Г) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

Д) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

Є) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

2. Спростіть вирази:

А) sіn(? + ?) – sіn? – соs?;

Б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

В) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Відповідь: а) соs? – sіn?; б) sіn 2?; в) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) tg15° = tg (45° – 30°) = 2 – Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) 2 – Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; г) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу

Демонструється таблиця “Тригонометричні функції подвійного аргументу” (табл. 6).

Таблиця 6

Sіn 2? = 2sіn? соs?

Соз 2? = соs2 ? – sіn2 ?

Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2? через функції аргументу?.

Скористаємося формулою sіn(? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?.

Вважаючи? = ?, маємо: sіn 2? = 2sіn? – соs?.

Аналогічно із формули соs(? + ?) = соs? – соs? – sіn? – sіn? при? = ? одержуємо: соs 2? = соs2 ? – sin2 ?.

Із формули Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу при? = ?, маємо: Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

А) 2sin15° соs15°;

Б) соs215° – sіn215°;

В) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

Г) (соs 75° – sіn 75°).

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; г) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

2. Обчисліть sіn 2?, якщо а) sin? = Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу < ? < ?; б) соs? = Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу ; ? < ? < Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

3. Спростіть:

А) sіn? соs?;

Б) соs? – соs Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

В) 2соs23? – 1;

Г) 1 – 2sin2 5?;

Д) соs 4? + sіn2 2?;

Є) sіn 2? + (sin? – соs?)2.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументуSin2?; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументуSіn2?; в) соs 6?; г) соs 10?; д) соs2?; є) 1.

4. Доведіть тотожності:

А) 2соs2 ? – соs 2? = 1;

Б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

В) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

Г) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу

За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу якщо відомо, у якій чверті лежить кут?.

Із формули соs 2x = соs2х – sіn2x при х = Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу, одержуємо: соs? = соs2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу – sіn2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу. (1)

Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді: 1 = соs2Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу + sin2Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу. (2)

Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:

1+ соs? = 2соs2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; (3)

1 – соs? = 2sіn2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу. (4)

Формули (3) і (4) можна записати так:

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу (5)

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу (6)

Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також форму­лами зниження степеня.

Виконання вправ

1. Знайдіть числові значення виразу:

А) 2соs2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу – 1;

Б) 1 – 2sin2 Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу;

В) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу + 2sіn215°;

Г) – Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу + 2соs215°.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) 1; г) 1.

2. Нехай соs? = 0,6 і 0 < ? < Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу. Обчисліть: а) sin Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) соs Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) tg Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

3. Обчисліть: а) sіn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30′.

Відповідь: а) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

4. Спростіть:

А) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

Відповідь: а) 2соs?; б) tg?.

5. Доведіть тотожності:

А) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; б) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу; в) Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу.

V. Підведення підсумків уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63-65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розгля­нути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...

Ареал виду.
Ви зараз читаєте: Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу