Періодичність тригонометричних функцій

УРОК 8

Тема. Періодичність тригонометричних функцій

Мета уроку: Введення поняття періодичної функції; знаходжен­ня найменших додатних періодів тригонометричних функцій; формування умінь знаходити періоди функцій

У = sin (kx + b), у = cos (kx + b),

У = tg (kx + b), у = ctg (kx + b).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Побудуйте на одиничному колі точку Р?, на яку відобража­ються початкова точка Р0 (1; 0) при повороті на? рад навко­ло центра, якщо:

І в.

ІІ в.

Періодичність тригонометричних функцій. (3 бали)

Періодичність тригонометричних функцій. (3 бали)

2. Знайдіть

Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій. (4 бали)

2. Знайдіть

Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій. (4 бали)

3. Визначте знак добутку

Sin 1 ? cos 2 ? tg 3. (5 бали)

3. Визначте знак добутку

Сos 1 ? sin 2 ? ctg 3. (5 бали)

Відповідь:

Періодичність тригонометричних функцій

Періодичність тригонометричних функцій

І в.: 1. Рис. 55. 2. Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій. 3. Плюс.

ІІ в.: 1. Рис. 56. 2. Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій, Періодичність тригонометричних функцій.3.мінус.

II. Формування поняття періодичної функції, періодe функції

У природі часто зустрічаються явища, які повторюються пері­одично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періо­дично повертається У своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Земля навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодич­ності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця люди­на і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періо­дичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.

Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т Періодичність тригонометричних функцій 0, якщо для будь-якого х із області визначення числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується рівність f(x + Т) = f(x – Т) = f(x).

Так як одній і тій самій точці Р? одиночного кола відповідає нескінченна множина дійсних чисел? + 2?k, де k Періодичність тригонометричних функцій Z, то

Sin(? + 2nk) = sin?

Cos(? + 2nk) = cos?

Звідси випливає, що 2nk – періоди функції синус і косинус (k Періодичність тригонометричних функцій 0).

Доведемо, що число 2? є найменшим додатним періодом функ­ції у = cos х. Нехай? > 0 – період косинуса, тобто для будь-якого х виконується нерівність cos (х + ?) = cos x. Взявши х = 0, одер­жимо cos Т = 1. Звідси? = 2nk, k Періодичність тригонометричних функцій ?. Через те що? > 0, ? може дорівнювати 2?, 4?, 6?… і тому період не може бути меншим 2?.

Можна довести, що найменший період функції у = sin x теж дорівнює 2?. Нехай? – довільний період синуса. Тоді sin(x + ?) = sin x для будь-якого х. Взявши х = Періодичність тригонометричних функцій, одержимо sin Періодичність тригонометричних функцій = sin

class="" title="Періодичність тригонометричних функцій" alt="Періодичність тригонометричних функцій" /> = 1, але sin Періодичність тригонометричних функцій = 1, якщо Т + Періодичність тригонометричних функцій = Періодичність тригонометричних функцій + 2?n, n Періодичність тригонометричних функцій ?, тому? = 2?n. Найменше додатне число виду 2?n, nПеріодичність тригонометричних функцій? є число 2?.

Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у = tg х є число?. Нехай Т – додатний період тангенса, тобто tg(x+ Т) = tg х. Взявши х = 0, маємо tg Т = tg 0 = 0. Звідси Т = ?n, n Періодичність тригонометричних функцій ?. Через те що найменше ціле додатне n = 1, ? – найменший період функції у = tg х. Найменшим додатним періодом котангенса теж є число?. Отже, tg (? + ?n) = tg?, ctg (? + ?n) = ctg?.

Як правило, слова “найменший додатний період” опускають. Прийнято говорити, що період тангенса і котангенса дорівнює?, а період косинуса і синуса дорівнює 2?.

Справедливе твердження.

Якщо функція у = f(x) періодична і має період Т, то функція у = Af(kx + b), де А, k, b – постійні (k Періодичність тригонометричних функцій 0), також періодична, причому її період дорівнює Періодичність тригонометричних функцій.

Доведемо це твердження.

Спочатку доведемо, що T0 = Періодичність тригонометричних функцій є періодом функції у = Af(kx + b):

Af(k(x + T0) + b) = AfПеріодичність тригонометричних функцій= Af(kx ± T + b) = Af(kx + b ± T) = Af(kx + b).

Нехай T0 – період функції у == Af(kx + b), тобто

Af(k(x + T0) + b)= Af(kx + b),

Af(kx +b+ kT0) = Af(kx +b).

Позначивши kx + b = x1, маємо Af(x + kT0) = Af(x1).

Через те що найменшим періодом функції f(x) є Т, то ¦k¦T0 = ?, звідси Т0 = Періодичність тригонометричних функцій.

III. Усвідомлення поняття періодичної функції

1. Обчисліть: a) sin 1470°; б) tg 1860°; в) cos 1140°; г) ctg 1125°.

Відповідь: а) Періодичність тригонометричних функцій; б) Періодичність тригонометричних функцій; в) Періодичність тригонометричних функцій; г) 1.

2. Знайдіть значення: a) sin Періодичність тригонометричних функцій; б) cos Періодичність тригонометричних функцій; в) tg Періодичність тригонометричних функцій; г) ctgПеріодичність тригонометричних функцій.

Відповідь: а) Періодичність тригонометричних функцій; б) Періодичність тригонометричних функцій; в) Періодичність тригонометричних функцій; г) 1.

3. Знайдіть найменший додатний період функцій:

А) у = Періодичність тригонометричних функційSin2х; б) у = 3cos 4x; в) y = 5tgПеріодичність тригонометричних функцій; г) y=0,6ctgПеріодичність тригонометричних функцій.

Відповідь: а) ?; б) Періодичність тригонометричних функцій; в) Періодичність тригонометричних функцій; г) 4?.

4. Знайдіть значення sin?, якщо:

A) sin (? + 2?) = 0,3;

Б) sin (4? – ?) = 0,2;

В) sin (? + 6?) = 0,5;

Г) sin (? – 2?) = 0,1.

Відповідь: а) 0,3; б) -0,2; в) 0,5; г) 0,1.

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 47-49. Вправа № 24 (1-3). Повторіть геометричні перетво­рення графіків функцій (таблиця 1 підручника).


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Періодичність тригонометричних функцій