Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
Математика – Алгебра
Тригонометричні функції
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
1. cos x = a
Розв’язки рівняння 
шукатимемо, спираючись на рисунок 1 або на рисунок 2.
Якщо 
, розв’язків немає.
, 
, 
.
, 
, 
.
, 
, 
.
Рис. 2
Загальний випадок 
: 
, x = ±arccosa + 2πn,
.
У випадках, коли 
, 
, теж можна користуватися загальною формулою, але це не так раціонально.
Розв’язки, які описуються загальною формулою, можна поділити на дві серії:
x1 = arccosa + 2πn, n Є Z;
x2 = – arccosa + 2πn, n Є Z.
2. sin x = a
Розв’язки шукатимемо, спираючись на рисунок 1 або на рисунок 2.
Якщо 
, розв’язків немає.
, 
, n Є Z.
, 
, n Є Z.
, 
, n Є Z.
Загальний випадок 
:
/>
, k Є Z.
Рис. 1
Рис. 2
Множина розв’язків розбивається на дві серії:
k = 2n, x1 = arcsina + 2πn, n Є Z;
k = 2n + 1, x2 = π – arcsina + 2πn, n Є Z.
3. tg x = a
Розв’язки запишемо, спираючись на рисунок зліва або на рисунок справа нижче.
, n Є Z.
4. ctg x = a
, n Є Z.
Якщо a = 0, 
, n Є Z.
Якщо 
, можна звести дане рівняння до рівняння 
.
Приклади
1) 
;
;
, k Є Z;
, k Є Z;
, k Є Z;
, k Є Z.
Множину розв’язків можна розбити на дві серії:
, n Є Z;
, n Є Z;
, n Є Z;
, n Є Z.
2) 
;
;
, n Є Z;
, n Є Z;
, n Є Z;
, n Є Z.
(No Ratings Yet)
Loading...Related posts:
- Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь Математика – Алгебра Тригонометричні функції Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь 1. Рівняння, що зводяться до квадратних . легко виразити через за допомогою основної тригонометричної тотожності : . Отже, ; . Нехай , . ; ; . 1) ; , k Є Z. 2) ; , k Є Z. Відповідь: , k Є Z; , k […]...
- Системи рівнянь – РІВНЯННЯ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА РІВНЯННЯ Лінійне рівняння з однією змінною – рівняння, що зводиться до канонічного вигляду ах + b = 0, де х – змінна, а й b – константи. Корінь рівняння ах + b = 0 визначається формулою: х = – b/а – якщо а ≠ 0, множина розв’язків L = {-b/a}. – […]...
- Системи лінійних рівнянь з двома невідомими – Системи лінійних рівнянь Математика – Алгебра Системи лінійних рівнянь Системи лінійних рівнянь з двома невідомими Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють Систему рівнянь. Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими – пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що […]...
- Розв’язування систем рівнянь Математика – Алгебра Розв’язування систем рівнянь Розглянемо системи рівнянь, в яких одне або обидва рівняння другого степеня. 1. Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба побудувати в одній системі координат графіки обох рівнянь системи й знайти координати точок перетину графіків. Ці точки і будуть розв’язками системи рівнянь. Наприклад: Графіком першого рівняння є коло з центром […]...
- Розв’язування рівнянь Математика – Алгебра Раціональні числа Розв’язування рівнянь Властивості рівнянь Корені рівнянь не змінюються, якщо до обох частин додати будь-який доданок. Отже, при розв’язуванні рівнянь доданки можна переносити з однієї частини в другу, змінюючи при цьому їхні знаки на протилежні. Корені рівнянь не змінюються, якщо обидві його частини помножити або поділити на одне й те ж […]...
- Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Геометрія Приклади розв’язування типових задач з геометрії для найпростіших фігур Треба добре розуміти: коли ми доводимо теорему або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обгрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності […]...
- Розв’язування задач за допомогою рівнянь – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Розв’язування задач за допомогою рівнянь Для розв’язування таких задач зручно користуватися таблицями. Задача 1. В одній шафі було в 6 разів більше книг, ніж у другій. Після того як із однієї шафи взяли 46 книг, а з другої – 18 книг, у першій шафі залишилося на 97 книг […]...
- Теорема Вієта Математика – Алгебра Квадратні корені Теорема Вієта Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння має два корені, то , . Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то ; . Коли рівняння має один корінь, його можна вважати за два рівних: . Тоді для незведеного квадратного рівняння ; ; для зведеного , . Зверніть увагу: […]...
- Складання рівнянь окисно-відновних реакцій – ОКИСНО-ВІДНОВНІ РЕАКЦІЇ. ЕЛЕКТРОЛІЗ ПОСІБНИК З ХІМІЇ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ ДО ВИЩИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ Частина І. ЗАГАЛЬНА ХІМІЯ Розділ 7. ОКИСНО-ВІДНОВНІ РЕАКЦІЇ. ЕЛЕКТРОЛІЗ § 7.3. Складання рівнянь окисно-відновних реакцій Застосовуються два методи складання рівнянь окисно – відновних реакцій – метод електронного балансу і метод напівреакцій. Метод електронного балансу. За цим методом порівнюють ступені окиснення атомів у вихідних і кінцевих речовинах, […]...
- Розв’язування нерівностей з однією змінною Математика – Алгебра Нерівності Розв’язування нерівностей з однією змінною Розв’язком нерівності з однією змінною називається значення цієї змінної, яке перетворює її на правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Дві нерівності називають Рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки або не мають розв’язків. Числові проміжки […]...
- Розв’язування квадратного рівняння – Виділення повного квадрата Математика – Алгебра Квадратні корені Виділення повного квадрата Розв’язування квадратного рівняння Способом виділення квадратного двочлена розглянемо на прикладі. . Розв’язання Поділимо всі коефіцієнти рівняння на перший коефіцієнт: й отримаємо таким чином зведене квадратне рівняння: ; . Для того щоб отримати повний квадрат, треба додати і відняти від лівої частини рівняння : , , або , […]...
- Складання рівнянь окисно-відновних реакцій – Хімічна реакція ХІМІЯ – Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання РОЗДІЛ І. ЗАГАЛЬНА ХІМІЯ 4. Хімічна реакція 4.6. Складання рівнянь окисно-відновних реакцій Для складання рівнянь окисно-відновних реакцій використовують метод електронного балансу. Він грунтується на положенні, що загальна кількість електронів, які віддає відновник, має дорівнювати загальній кількості електронів, які приєднує окисник. Розгляньмо основні етапи написання окисно-відновних реакцій на […]...
- Задачі на рух – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на рух Задача. Відстань від А до В дорівнює 120 км. Відстань від А до В автомобіль проїхав зі швидкістю 40 км/год, а від В до А – зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість його руху? Розв’язання Щоб знайти середню швидкість автомобіля, треба весь шлях поділити […]...
- Пропорційність відрізків хорд і січних кола Геометрія Кути, пов’язані з колом Пропорційність відрізків хорд і січних кола Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то (рисунок 1). Теорема 2. Якщо з точки P до кола проведені дві січні, що перетинають коло відповідно в точках A, B, C, D, то (рисунок 2). Тобто добуток січної, проведеної до […]...
- Квадратична функція – Функції та графіки Математика – Алгебра Функції та графіки Квадратична функція Квадратним тричленом називається многочлен виду , де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому . Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння . Теорема. Якщо і – корені […]...
- РІВНЯННЯ ХІМІЧНОЇ РЕАКЦІЇ Хімія – універсальний довідник КІЛЬКІСНІ ВІДНОШЕННЯ В ХІМІЇ РІВНЯННЯ ХІМІЧНОЇ РЕАКЦІЇ Хімічний процес як перетворення одних речовин в інші описується за допомогою рівняння хімічної реакції. При складанні рівняння варто враховувати, що число атомів кожного елемента зліва і справа повинно бути однаковим (адже в рівнянні вказано знак рівності), тому перед формулами речовин-реагентів і речовин-продуктів ставляться числові […]...
- Перетворення графіків функцій – Функції та графіки Математика – Алгебра Функції та графіки Перетворення графіків функцій 1. Графіки функцій і є симетричними відносно осі Ox. 2. Щоб побудувати графік функції , треба графік функції розтягнути від осі Ox в k разів, якщо , або стиснути його в k разів до осі Ox, якщо . 3. Щоб побудувати графік функції , треба графік […]...
- ІДЕАЛЬНИЙ ГАЗ. ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ (РІВНЯННЯ КЛАУЗІУСА) Фізика підготовка до ЗНО комплексне видання МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА 1. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ 1.5. ІДЕАЛЬНИЙ ГАЗ. ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ (РІВНЯННЯ КЛАУЗІУСА) Ідеальний газ – де газ, у якому середня відстань між молекулами набагато більша від розмірів молекул, і тому в ньому потенціальною енергією молекул нехтують (рис. 3). Рис. З Середня квадратична […]...
- Дробові раціональні рівняння Математика – Алгебра Квадратні корені Дробові раціональні рівняння Дробове раціональне рівняння – це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві – дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб: 1) перенести всі доданки в один бік; 2) звести їх до спільного знаменника; 3) до одержаного рівняння виду (де a і b […]...
- Приклади розв’язування типових задач – Урок 9 – Основні класи неорганічних сполук ХІМІЯ – Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання РОЗДІЛ II. НЕОРГАНІЧНА ХІМІЯ 7. Основні класи неорганічних сполук Приклади розв’язування типових задач Задача 1. Напишіть рівняння реакцій, за допомогою яких можна здійснити такі перетворення: Розв’язання 1. Для одержання магній оксиду магній потрібно спалити в кисні: 2. Магній оксид – це основний оксид, а тому реагує з […]...