Головна ⇒ 📌Довідник с фізики ⇒ Рух точки по колу – КІНЕМАТИКА

Рух точки по колу – КІНЕМАТИКА

ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

Розділ 1 КІНЕМАТИКА

1.4. Рух точки по колу

Рух матеріальної точки по колу є окремим випадком криволінійного руху. Розглядаючи такі величини, як швидкість , прискорення , радіус-вектор , питання про вибір їхнього напряму не виникало, оскільки воно випливало з їхньої природи. Подібні вектори називають полярними. Вектори типу dφ, напрям яких пов’язаний із напрямом обертання, називають аксіальними. У цьому разі кут можна розглядати

як вектор. Для дуже малих кутів повороту Δφ, оскільки шлях, що проходить матеріальна точка при такому малому повороті, можна розглядати як прямолінійний.

Величину

Де Δt – час, за який здійснюється поворот на кут Δφ, називають кутовою швидкістю точки. Вектор напрямлений уздовж осі, навколо якої обертається тіло. Напрям обертання визначається за правилом правого гвинта. Кутова швидкість – це аксіальний вектор. Модуль вектора кутової швидкості дорівнює Обертання зі сталою кутовою швидкістю називають рівномірним,

при цьому ω = φ/t. Отже, при рівномірному обертанні ω показує, на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Рівномірний рух можна характеризувати періодом Т. Це час, протягом якого тіло робить один оберт, тобто повертається на кут 2π. Оскільки проміжку часу Δt = Т відповідає кут то

Частота періодичного процесу

Тоді

Вектор може змінюватись як унаслідок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (у цьому разі він змінюється за довжиною), так і за рахунок повороту осі обертання в просторі (у цьому разі змінюється за напрямом). Нехай за час Δt вектор й дістав приріст Δ. Зміну вектора кутової швидкості з часом характеризують кутовим прискоренням

Вектор , як і , є аксіальним. Якщо напрям осі обертання в просторі залишається сталим, то кутова швидкість змінюється лише за числовим значенням і |Δ| = Δω. У цьому разі з формули (1.17) дістанемо

Вираз (1.18) запишемо у векторній формі

Де β – алгебраїчна величина, яка додатна, якщо ω з часом збільшується (у цьому разі вектори ( та мають однаковий напрям), і від’ємна, якщо й зменшується (у цьому разі напрями та протилежні).

Лінійна швидкість υ визначається кутовою швидкістю обертання тіла ω та відстанню r матеріальної точки від осі обертання. Нехай за малий проміжок часу Δt тіло повертається на кут Δφ. Точка, яка розміщується на відстані r від осі, проходить при цьому шлях

Лінійна швидкість точки

У векторній формі = . Отже, чим далі розміщується точка від осі обертання, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається.

Знайдемо зв’язок модулів лінійного та кутового прискорення, покладаючи, що r = const. Тоді, виходячи з (1.18), запишемо

Отже,

При рівномірному русі точки по колу модуль швидкості залишається сталим, але напрям її безперервно змінюється. Розглянемо два вектори швидкості тіла через невеликий проміжок часу Δt. Віднімаючи перше значення швидкості 1 від наступного 2, дістанемо приріст Δ (рис. 1.3). За загальним правилом дії над векторами можна перенести початок векторів швидкості в одну точку (паралельне перенесення). Напрям цих векторів збігається з напрямом дотичної до кола в тій точці, де лежить точка у певний момент. Вектор Δ не буде перпендикулярним ні до 1, ні до 2. Проте при Δt -> 0 і Δ -> 0 напрям вектора Δ стає перпендикулярним до вектора швидкості .

Рис. 1.3.

Отже, нескінченно малий приріст вектора d перпендикулярний до вектора , тому прискорення перпендикулярне до швидкості й напрямлене до центра кола. Значення прискорення можна пов’язати зі значенням швидкості руху тіла по колу й значенням радіуса r. При малому Δφ

Де ‘ – одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора Δ. Підставляючи в (1.23) Δφ із (1.20), дістанемо

Розділивши на Δt праву і ліву частини (1.24) і зробивши відповідні перетворення, дістанемо

У цьому виразі υ та r – сталі, відношення у граничному випадку дає модуль швидкості υ; одиничний вектор ‘ у граничному випадку збігається з одиничним вектором , який перпендикулярний до кола в точці А і напрямлений до центра. Отже,

Знайдене прискорення напрямлене вздовж нормалі до траєкторії, тобто воно є нормальним.

Якщо матеріальна точка рухається по колу нерівномірно, то крім нормального (його у разі руху по колу називають ще доцентровим) вона матиме тангенціальне прискорення