Теорема синусів
УРОК № 7
Тема. Теорема синусів
Мета уроку: вивчення теореми синусів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв’язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему синусів та доводять її.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити правильність виконання домашніх завдань за записами з пропусками.
Колективно обговорюється хід розв’язування
1) Нехай АС = с, BD = d, 
AOB = ? (рис. 21). Оскільки ABCD – паралелограм, то АО = …, ВО = … (?).
За теоремою косинусів:
АВ2 = АО2 + ВО2 – 2АО • ВО • cos AOB = … + … – … .
BOC = 180° – ? (?).
ВС2 = ВО2 + СО2 – 2ВО • CO • cos BOC = … + … – … .
Відповідь. 
, 
.
2) Нехай АВ = 5 м, ВС = 6 м, АС = 7 м (рис. 22). АВRC – паралелограм.
AR2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) (?) 4АМ2 = – 36 + 2 • (25 + 49) (?)
АМ2 = …, АМ = …. АРВС – паралелограм. (?)
4СK2 + АВ2 = 2 • (AC2 + BC2) (?) СК2 = …, СК = ….
ABCS – паралелограм. (?) 4BN2 + … = 2 • (… + …).
ВМ2 = …, ВМ = ….
Відповідь. 
м, 2
м, 
м.
Самостійна робота
Варіант 1
1. У трикутнику один із кутів становить 60°, а сторони, прилеглі до нього, дорівнюють a і b. Знайдіть третю сторону трикутника. (4 бали) 2. Сторони паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 120°. Знайдіть діагоналі паралелограма. (4 бали) 3. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 3 : 5, а довжини сторін дорівнюють 8 см і 19 см. (4 бали)
Варіант 2
1. У трикутнику дві сторони дорівнюють a і b, а кут між ними становить 120°. Знайдіть третю сторону трикутника. (4 бали) 2. Діагоналі паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть сторони паралелограма. (4 бали) 3. Сторони паралелограма відносяться як 1 : 2. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 18 см і 26 см. (4 бали)
Відповіді до завдань самостійної роботи
Варіант 1. 1. a2 + b2 – ab.
2. 38 см і 2
См. 3. 15 см і 25 см.
Варіант 2. 1. a2 + b2 + ab.
2. 19 см і см. 3. 10 см і 20 см.
II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Вивчення теореми синусів
Наводимо пояснення теореми синусів.
Розглянемо прямокутний трикутник ABC (рис. 23).
Відомо, що а = c sinA, b = c sinB, звідси 
, 
. Тоді 
. Ураховуючи, що C = 90° і sinC = 1, запишемо: 
.
Якщо описати коло радіуса R навколо прямокутного трикутника ABC (рис. 24), то одержимо: 
.
Отже, у прямокутному трикутнику сторони пропорційні до синусів протилежних кутів.
А чи є це твердження правильним для будь-якого трикутника?
Спочатку з’ясуємо співвідношення між діаметром кола, стороною вписаного в нього трикутника і кутом трикутника, протилежним цій стороні.
Нехай у трикутнику ABC кут А гострий, ВС = а (рис. 25). Проведемо діаметр BD, який дорівнює 2R, R – радіус описаного кола.
Сполучивши точки D і С, одержимо прямокутний трикутник BDC, у якому ВС є катетом, і тому BC = BD sinD. Але D = А як вписані, що опираються на дугу ВС, і тому sinD = sinA.
Отже, a = 2R sinA.
Одержане співвідношення справджується й тоді, коли кут А тупий (рис. 26), оскільки A + D = 180°. Тоді D = 180° – A і sinD = sin(180°- А). Таким чином, а = ВС = BD sinD = 2R sinD = 2R sinA.
Отже, завжди a = 2R sinA.
Аналогічно переконуємося, що b = 2R sinB, c = 2R sinC. У кожній із трьох останніх рівностей виразимо відношення сторони до синуса протилежного кута:
; 
; 
.
Отже, 
.
Таким чином, сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів, відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.
Розв’язування задач
1. Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут становить 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника. (Відповідь. 20 см) 2. Знайдіть сторону АВ трикутника ABC, якщо ВС = 2
См, A = 45°, C = 30°. (Відповідь. 2 см)
III. Закріплення й осмислення вивченого матеріалу
Колективне розв’язування задачі
1) У трикутнику ABC АВ = 15 см, АС = 10 см. Чи може sin? = 
?
Розв’язання
Припустимо, що sin? = . Тоді з рівності 
, враховуючи, що АВ = 15 см, АС = 10 см, матимемо: 
. Звідси sin? = 15 • • 
= 
> 1, що неможливо (бо sin? < 1).
Отже, sin? не може дорівнювати .
Відповідь. Не може дорівнювати.
2) У трикутнику задано дві сторони а = 27, b = 9 і кут, протилежний до однієї із сторін, ? = 138°. Знайдіть два інші кути і третю сторону трикутника.
Розв’язання
; 
; 
; ? 
13°. Тоді? = 180° – ? – ? 180° – 138° – 13° = 29°.
; 
; 
.
Відповідь. ? 13°, ? 29°, с 19,6.
Задачі для індивідуального розв’язування
1) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, а кут при основі дорівнює 2?. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену до бічної сторони.
Відповідь. 
.
2) У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює с, а один із гострих кутів дорівнює?. Знайдіть бісектрису прямого кута.
Відповідь. 
.
3) Доведіть, що сторона трикутника, яка лежить проти кута в 30°, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. 4) Доведіть, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, що обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.
Доведення
Нехай у трикутнику ABC (рис. 27) BD – бісектриса і ABD = DBC = x.
Із трикутника ABD за теоремою синусів маємо: 
. (1)
Із трикутника BDC за теоремою синусів маємо: 
. (2)
Розділивши рівність (1) на рівність (2), одержимо 
, що й треба було довести.
IV. Домашнє завдання
1. Вивчити теорему синусів. 2. Розв’язати задачу.
У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї із сторін. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника, якщо:
А) а = 12, b = 5, ? = 120°;
Б) а = 34, b = 12, ? = 164°.
V. Підбиття підсумків уроку
Завдання до класу
1. Сформулюйте теорему синусів. 2. У трикутнику ABC (рис. 28) сторони дорівнюють a, b, c, a кути дорівнюють?, ?, ?. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильними?
A) b = 2R sin?;
Б) 
;
В) 
;
Г) 
.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...