Властивості й ознака рівнобедреного трикутника


Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 12. Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

476. На мал. 72: ML і МК – бічні сторони, KL – основа, ∠K = ∠L.

477. KD = DF, КЕ = EF, ∠K = ∠F, ∠KDE = ∠FDE, ∠DEK = ∠DEF = 90°.

478.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Щоб провести бісектрису, медіану і висоту до основи трикутника, досить поділити основу навпіл і з’єднати середину з точкою В.

479. ?ABC – рівнобедрений,


бо ∠C = ∠B. Бічні сторони АС і AB, основа СВ.

480.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

480.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Оскільки бісектриса MN є медіаною, то KN = NL. Отже: Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

481.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Бісектриса СО є медіаною, тому AB = 2АО = 2BO.

1) AB = 2АО = 2 х 0,7 дм = 1,4 дм;

2) AB = 2BO = 2 x 25 мм = 50 мм.

482.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

1) Якщо DF = DE + FE, то FA не є медіаною.

2) Якщо EF = ED ≠ DF, то FA не є медіаною.

3) Якщо FD = FE ≠ DE, то FA не є медіаною, згідно з властивістю рівнобедреного трикутника.

483. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠CKA = ∠CKB = 90°;

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠AKB = ∠AKC = 90°;

3)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠BKA = ∠BKC = 90°.

484. 1) a ⊥ ON

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

2) a ⊥ MN

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

3) а ⊥ ОМ

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

485. Мал. 276. ∠C = ∠B = 180° – 135° = 45°, ∠А = 135° – 45° = 90°.

Мал. 277. ∠ВАС = 75° – як вертикальні кути. ∠C = ∠А = 75°, ∠В = 180° – 2 х 75° = 180° – 150° = 30°.

486.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо кут при основі дорівнює а, то кут при вершині дорівнює 180° – 2α.

1) 180° – 2 х 40° = 180° – 80° = 100°;

2) 180° – 2 х 65° = 180° – 130° = 50°;

3) 180° – 2 x 80° = 180° – 160° = 20°.

Відповідь: 1) 100°; 2) 50°; 3) 20°.

487.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо кут між бічними сторонами дорівнює а, то кути при основі дорівнюють Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Відповідь: 1) 54° і 54°; 2) 45° і 45°; 3) 30° і 30°.

488.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у трикутнику KLM ∠L = 90°, KL = LM, тоді Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

489.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Оскільки в трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути, то в рівносторонньому трикутнику ∠К = ∠L = ∠М.

490. Див. № 489.

∠K = ∠L = ∠M = 180°/3 = 60°.

Відповідь: 60°, 60°, 60°.

491. І випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = ВС, ∠B = 60°.

Доведемо, що? ABC – рівносторонній.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Оскільки в трикутнику всі кути дорівнюють 60°, то він рівносторонній.

II випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = ВС, ∠A = 60°.

Доведемо, що? ABC – рівносторонній. ∠C = ∠A = 60° за властивістю рівнобедреного трикутника, тоді ∠B = 180° – ∠A – ∠C= 180° – 60° – 60° = 60°. Оскільки в трикутнику всі кути дорівнюють 60°, то? ABC – рівносторонній.

492. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠RSP = 180° – 110° = 70° (за властивістю суміжних кутів).

∠P = ∠RSP = 70° (за властивістю рівнобедреного трикутника).

∠R = 110° – 70° = 40° (за властивістю зовнішнього кута).

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠ABC = 180° – 60° = 120° (за властивістю суміжних кутів).

∠A = ∠C = 60°/2 = 30° (за властивістю зовнішнього кута рівнобедреного трикутника).

Відповідь: 1) 70°, 70°, 40°; 2) 120°, 30°, 30°.

493. Кут при основі рівнобедреного трикутника може бути тільки гострим, оскільки трикутник не може мати два прямих або два тупих кути.

494. Зовнішній кут при основі рівнобедреного трикутника може бути тільки тупим.

495. Оскільки кут при основі рівнобедреного трикутника може бути тільки гострим, то за умовою задачі подано кути між бічними сторонами.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Відповідь: 1) 90°, 45°, 45°; 2) 120°, 30°, 30°; 3) 140°, 20°, 20°.

496. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

АС = ВС, AH = ВН, ∠A = ∠B, ∠ACH = ∠BCH, ∠CHA = ∠CHB.

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

АС =АВ, СН = ВН, ∠C = ∠B, ∠CAH = ∠BAH, ∠AHC = ∠AHB.

3)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

AB = CB, CH = AH, ∠C = ∠A, ∠CBH = ∠ABH, ∠BHC = ∠BHA.

497. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

DF = EF, DM = ME, ∠DFM = ∠EFM, ∠FMD = ∠EMF, ∠D = ∠E.

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

DE = DF, TM = EM, ∠FDM = ∠EDM, ∠DMF = ∠DME, ∠F = ∠E.

3)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

EF = ED, FM = DM, ∠FEM = ∠DEM, ∠EMF = ∠EMD, ∠F = ∠D.

498. 1) Оскільки ∠C = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 90° – 45° = 45° і ∠C = ∠B, TO? ABC – рівнобедрений.

2) Оскільки ∠A = 180° – ∠C – ∠B = 180°- 36° – 72° = 72° і ∠A = ∠C, то? ABC – рівнобедрений.

3) Оскільки ∠B = 180° – ∠C – ∠A = 180° – 50° – 80° = 50° і ∠B = ∠C, то? АВС – рівнобедрений.

499. 1) І випадок. Якщо кут між бічними сторонами дорівнює 20°, то кути при основі дорівнюють Властивості й ознака рівнобедреного трикутникаВластивості й ознака рівнобедреного трикутника

II випадок. Якщо кут при основі дорівнює 20°, то кут між бічними сторонами дорівнює 180° – 2 х 20° = 180° – 40° = 140°.

2) І випадок. Якщо кут між бічними сторонами дорівнює 40°, то кути при основі дорівнюють Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

II випадок. Якщо кут при основі дорівнює 40°, то кут між бічними сторонами дорівнює 180° – 2 х 40° = 180° – 80° = 100°.

3) І випадок. Якщо кут між бічними сторонами дорівнює 80°, то кути при основі дорівнюють Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

II випадок. Якщо кут при основі дорівнює 80°, то кут між бічними сторонами дорівнює 180° – 2 х 80° = 180° – 160° = 20°.

Відповідь: 1) 20°, 80°, 80° або 140°, 20°, 20°; 2) 40°, 70°, 70° або 100°, 40°, 40°; 3) 80°, 50°, 50° або 80°, 80°, 20°.

500. 1) Нехай градусна міра при основі – х°, тоді 3х° – градусна міра кута між бічними сторонами. Маємо рівняння х + х + 3х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, кут при основі 36°, кут між бічними сторонами 108°.

2) Нехай градусна міра кута між бічними сторонами х°, тоді кут при основі – 2х°. Тоді х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, кут між бічними сторонами дорівнює 36°, кут при основі дорівнює 72°.

Відповідь: 1) 108°, 36°, 36°; 2) 36°, 72°, 72°.

501.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠C = х°, тоді ∠A = ∠B = х° + n° і маємо рівняння: х + (х + n) + (х + n) = 180°; 3х + 2n = 180°, звідси Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

1) Якщо n = 30°, то Властивості й ознака рівнобедреного трикутника тоді х + n° = 40° + 30° = 70°. Отже, кут при вершині дорівнює 40°, кути при основі по 70°.

2) Якщо n = 60°, то Властивості й ознака рівнобедреного трикутника тоді x + n° = 20° + 60° = 80°. Отже, кут при вершині дорівнює 20°, кути при основі по 80°.

Відповідь: 1) 40°, 70°, 70°; 2) 20°, 80°, 80°.

502. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

I випадок (∠B – ∠A = 15°)

Нехай ∠A = х°, тоді ∠B = х° + 15°. Маємо рівняння: х + х + х + 15° = 180°, 3х = 165°, х = 55°. Отже, ∠A = ∠C = 55°, ∠B = 70°.

II випадок (∠A – ∠B = 15°)

Нехай ∠B = x°, тоді ∠A = х° + 15°. Маємо рівняння: х + х + 15° + х + 15° = 180°, 3х + 30° = 180°, 3х = 150°, х = 50°. Отже, ∠B = 50°, ∠A = ∠C = 50° + 15° = 65°.

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

I випадок (∠A = 2∠C)

Нехай ∠B = ∠C = х°, тоді ∠A = 2х°. Маємо рівняння: х + х + 2х = 180°, 4х = 180°, х = 45°. Отже, ∠B = ∠C – 45°, ∠A = 2 х 45° = 90°.

II випадок (∠C = 2∠A)

Нехай ∠A = х°, тоді ∠B = ∠C = 2х°. Маємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°, 5х = 180°, х = 36°. Отже, ∠A = 36°, ∠B = ∠C = 2 x 36° = 72°.

Відповідь: 1) 55°, 55°, 70° або 65°, 65°, 50°; 2) 45°, 45°, 90° або 72°, 72°, 36°.

503. 1) I випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠A = ∠B = 180° – 110° – 70° (як суміжні кути). ∠C = 110° – 70° = 40° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

II випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

∠C= 180° – 110° = 70° (як суміжні кути).

∠A = ∠B = 110°/2 = 55° (за властивістю зовнішнього кута). Отже, кути дорівнюють 70°, 55°, 55°.

Відповідь: 70°, 70°, 40° або 70°, 55°, 55°.

2) І випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Х + 3х = 180°, 4х = 180°, х = 45°. Отже, ∠A = ∠B = 45°, ∠C = 180° – 45° – 45° = 90°. Отже, кути дорівнюють 45°, 45°, 90°.

II випадок

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Х + 3х = 180°, 4х = 180°, х = 45°. Отже, ∠C = 45°, Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Отже, кути трикутника дорівнюють 45°, 67°30′, 67°30′.

Відповідь: 45°, 45°, 90° або 45°, 67°30′, 67°30′.

504. 1) I випадок (α ≤ 90°)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо ∠B = α, тоді Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

З? АНС: ∠H = 90°, тоді Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

1) Якщо α = 40°, то ∠HAC = 40°/2 = 20°.

2) Якщо α = 50°, то ∠HAC = 50°/2 = 25°.

II випадок (90° < α < 180°)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо ∠B = α, тоді Властивості й ознака рівнобедреного трикутника ∠HBA = 180° – α.

3 ?AHB: ∠HAB = 90° – (180° – α) = 90° – 180° + α = α – 90°. Тоді ∠HAC = ∠A + ∠HAB = 90° – α/2 + α – 90° = α/2.

3) Якщо α = 120°, то ∠HAC = 120°/2 = 60°.

Відповідь: 1) 20°; 2) 25°; 3) 60°.

505. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо β = 25°, ∠B = 90° – 25° = 65°, ∠A = ∠B = 65°, ∠C = 180° – 130° = 50°.

2) Якщо β = 30°, то ∠B = 90° – 30° = 60°, ∠A = ∠B = 60°, ∠C = 180° – 120° = 60°.

3)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Якщо β = 60°, то з? АНВ: ∠B = 90° – 60° = 30°, ∠A = ∠B = 30°, ∠C = 180° – 30° – 30° = 120°.

Відповідь: 1) 65°, 65°, 50°; 2) 60°, 60°, 60°; 3) 30°, 30°, 120°.

506.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай AD = DC, BD = AD, тоді? ADB і? CDB – рівнобедрені. Отже, ∠C = ∠DBC, ∠A = ∠DBA. Додамо почленно дві останні рівності ∠A + ∠C = ∠DBA + ∠DBC = ∠B. Отже, ∠A + ∠C = ∠B.

507.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Оскільки? ABC – рівнобедрений, то AB = АС. Оскільки BD – висота, то BD є бісектрисою. Отже, ∠ABO = ∠CBO.

?АВО = ?СВО за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС, ВО – спільна сторона, ∠ABO = ∠CBO. Із рівності трикутників випливає, що АО = СО.

508.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у? АBC (AB = BC) AL, CK – бісектриси. Доведемо, що AL = КС.

?ALC = ?СКА за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ∠A = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника, АС – спільна, ∠LAC = ∠KCA – як половини рівних кутів. Із рівності трикутників випливає, що AL = СК.

509. 1) Нехай у? ABC (AB = ВС), тоді ∠A = ∠C = α. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо ∠DBA = ∠A + ∠C = α + α = 2α. Отже, зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника вдвічі більший за кут при основі.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

510.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай К, L, М – середини сторін рівнобедреного трикутника ABC (АС = СВ). Розглянемо трикутники АКМ і BLM. У них AM = ВМ – за умовою, AK = BL – як половини рівних сторін, ∠А = ∠B – як кути при основі рівнобедреного трикутника. Отже, ?АКМ = ?BLM. Із рівності трикутників випливає KM = LM, тобто A KLM – рівнобедрений.

511.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = ВС), a ll АС.

Оскільки a ll АС, то ∠ВРК = ∠РАС, ∠ВКР = ∠КСА як відповідні кути при паралельних прямих a і АС і січних АР i СК). Отже, ∠А = ∠С і ∠ВРК = ∠ВКР, тобто? РВК – рівнобедрений.

512.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

?ADN = ?CMD = ?BNM – за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ∠А = ∠B = ∠С = 60°. AD = CM = BN (за умовою), AN = ВМ = CD (як різниці довжин сторони і відрізка AD). Із рівності трикутників випливає, що DN = NM = MD, тобто? DMN – рівносторонній.

513. 1. 1) ?АВМ = ?CBN за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = АС – за умовою, BN = ВМ (за умовою), AB – спільний. Із рівності трикутників випливає, що AM = CN, ∠ВАМ =∠BCN, ∠ВМА = ∠BNC.

2) Розглянемо? ANO і? СМО. У них: AN = CM (як різниці рівних відрізків), ∠NAO = ∠МСО (за доведеним), ∠ANO = ∠СМО (як суміжні кути до рівних кутів ВМА і BNC). Отже, ?ANО = ?СМО за другою ознакою рівності трикутників.

2. 1) ?АМС = ?CNA, оскільки АС – спільна, AM = CN (за умовою), ∠АСО = ∠САО (за умовою). Із рівності цих трикутників випливає, що ∠А = ∠С, тобто? АОС – рівнобедрений.

2) Оскільки за умовою ∠АСО = ∠САО, то? АОС – рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

3. 1) ?АОВ = ?СОВ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ∠АВО = ∠СВО (за умовою), ∠АОВ = ∠СОВ. (за умовою), ВО – спільна. Із рівності цих трикутників випливає, що АО = ОС, тобто? АОС – рівнобедрений.

2) Оскільки? АОС – рівнобедрений, то ∠САО = ∠АСО.

4. Оскільки АВ = ВС, то? ABC – рівнобедрений і ∠А = ∠С.

?ABD = ?СВЕ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС (за умовою), AD = СЕ (за умовою), ∠А = ∠С – за доведеним. Із рівності трикутників випливає, що ∠ABD = ∠СВЕ.

5. ?ABD = ?СВЕ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС (за умовою), ∠А = ∠С (за доведеним), ∠ABD = ∠СВЕ (за умовою). Із рівності цих трикутників випливає, що BD = BE, тобто? DBE – рівнобедрений, тоді ∠BDE = ∠BED.

6. ?ABD = ?СВЕ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС (за умовою), ∠A = ∠C (за доведеним), ∠ABD = ∠CBE (оскільки ∠ABD = ∠ABE – ∠DBE, ∠CBE = ∠CBD – ∠DBE = ∠CBD і∠ABE – за умовою). Із рівності трикутників випливає, що AD = ЕС.

514.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у рівнобедрених трикутників ABC (AB = ВС), A1B1C1 (A1B1 = B1C1), AC = A1C1, ∠A = ∠A1.

За властивістю рівнобедрених трикутників ∠A = ∠C, ∠A1 = ∠C1. Оскільки ∠A = ∠A1, то ∠C = ∠C1. ?ABC = ?A1B1C1 за другою ознакою рівності трикутників, оскільки АС = А1С1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.

515. 1)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у? ABC BD ⊥ AC, AD = AC.

?ABD = ?CBD за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AD = DC (за умовою), BD – спільна сторона, ∠ADB = ∠CDB = 90° (за умовою). З рівності трикутників випливає, що AB = ВС, тобто? ABC – рівнобедрений.

2)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у? ABC BD ⊥ АС, ∠ABD = ∠CBD. ?ABD = ?CBD за другою ознакою рівності трикутників, оскільки BD – спільна сторона, ∠ABD = ∠CBD (за умовою), ∠BDA = ∠BDC = 90° (за умовою). З рівності трикутників випливає, що AB = ВС, тобто? ABC – рівнобедрений.

3)

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у? ABC ∠ABD = ∠CBD, AD = CD. Пpoдовжимо медіану BD так, щоб BD = DK. ?ABD = ?CKD за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = CD (за умовою), BD = DK (за умовою),∠BDA = ∠CDK (як вертикальні кути).

Із рівності трикутників випливає, що AB = CK, ∠ABK = ∠CKB. Оскільки ∠CKD = ∠ABD = ∠DBC, то? КВС – рівнобедрений, отже, ВС = СК, але СК = АВ, тоді ВС = АВ, тобто? ABC – рівнобедрений.

516.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай ∠DAC = ∠EBC = α, тоді ∠CAB = 180° – α, ∠CBA = 180° – α. Оскільки у трикутника ABC два кути рівні, то? ABC – рівнобедрений.

517.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай DF ll АС, ∠DBA = ∠FBC. За властивістю паралельних прямих маємо: ∠A = ∠DBA – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих DF і АС і січній AB, ∠C = ∠FBC – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих DF і АС і січній ВС. Звідси ∠A = ∠C. Отже, ?ABC – рівнобедрений.

518.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай MN ll AB, ∠NCB = ∠ACB. Оскільки MN ll AB, ∠CNB = ∠ABC – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січеній СВ. Оскільки ∠NCB = ∠ABC, ∠NCB = ∠ACB, то ∠ACB = ∠ABC, тобто? ABC – рівнобедрений.

519.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай в? ABC (AB = ВС), BD ⊥ АС, BD = 1/2AC.

?ABD = ?CBD за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС (за умовою), BD – спільна сторона, ∠ABD = ∠CBD (бо ∠ABD = 90° – ∠A, ∠CBD = 90° – ∠C, ∠A = ∠C). З рівності трикутників маємо AD = DC.

?ADB, ?CBD – прямокутні рівнобедрені, отже, ∠A = 45°, ∠ABD = 45°, ∠C = 45°, ∠CBD = 45°.

520. Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = BC). AD – бісектриса зовнішнього кута FAC. Доведемо, що АD ll ВС.

∠FAD = ∠DAC = α, тоді ∠BAC = 180° – 2α, Властивості й ознака рівнобедреного трикутникаВластивості й ознака рівнобедреного трикутника

Оскільки ∠DAC = ∠C – як внутрішні різносторонні кути при прямих AD і ВС і січній АС, то AB ll ВС.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

521.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай? ABC – рівнобедрений (АС = СВ), ∠C = 36°, BL – бісектриса кута В.

∠A = ∠B = (180° – 36°) : 2 = 72°. ∠ABL = ∠LBC = 72° : 2 = 36°. Отже, ?CLB – рівнобедрений (CL = LB) з кутами: 36°, 36° і 180° – 72° = 108°.

З? LBA: ∠ALB = 180° – 72° – 36° = 72°. Отже, ?ALB – рівнобедрений з кутами 36°, 72°, 72°.

Відповідь: два трикутники з кутами 36°, 36°, 108°; 36°, 72°, 72°.

522. Оскільки? ABC – рівнобедрений і ∠BAC = 2∠ABC, то знайдемо кути трикутника.

Нехай ∠ABC = х°, тоді ∠BAC = ∠BCA = 2х°. Маємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, кути? АВС дорівнюють: ∠B = 36°, ∠A = ∠C = 72°. Оскільки AB – бісектриса, то ∠BAD= ∠DAC = 72°/2 = 36°. ?ABD – рівнобедрений, тоді BD = AB.

В? ADC ∠DAC = 36°, ∠BCA = 72°, тоді ∠ABC = 180° – 36° – 72° = 72°. Отже, ?ADC – рівнобедрений, тоді AB = АС. Оскільки BD = AB і AB = АС, то BD = АС.

523. Оскілки? АОС – рівнобедрений, то ∠OAC = ∠OCA.

Розглянемо трикутники ABC і CDA. У них АС – спільна, AB = CD (за умовою), ∠BAC = ∠DCA (за доведеним). Отже, ∠ACB = ∠CDA. Із рівності цих трикутників маємо: ∠DAC = ∠BCA, ∠DCA = ∠BAC, AD = ВС.

Оскільки ∠DAC = ∠BCA, ∠DCA = ∠BAC, то ∠DAB = ∠DCB (як різниця рівних кутів ∠DAB = ∠DAC – ∠BAC, ∠DCB = ∠BCA – ∠DCA).

?ADB = ?CBD за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = CD (за умовою), AD = ВС (за доведеним), ∠DAB = ∠BCD (за доведеним).

524.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у трикутнику ABC проведена бісектриса BD (∠ABD = ∠DBC), СЕ || BD. Оскільки СЕ ll BD, то ∠DBC = ∠BCE – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній ВС. Нехай? ABD = α, тоді ∠DBC = α, ∠BCE = α. ∠ABC – зовнішній кут? ВСЕ, тоді ∠BEC = ∠ABC – ∠BCE = 2α – α = α. Отже, ∠BEC = ∠BCE, тобто? ВСЕ – рівнобедрений.

525.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай у? ABC АО і СО – бісектриси, MN ll АС.

∠MOA = ∠OAC – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих MN і АС і січній АО. Тоді ∠MAO = ∠OAC = ∠MOA.

Отже, ?МОА – рівнобедрений, тоді МО = АМ.

∠NOC = ∠OCA – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих MN і АС і січній ОС. Тоді ∠NCO = ∠OCA = ∠CON. Отже, ?ONC – рівнобедрений, ON = NC.

Оскільки АМ = MO, ON = NC, TO AM + NC = MO + ON = MN. Отже, AM + NC = MN.

526.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Доведемо, що проти більшої сторони в трикутнику лежить більший кут. Нехай у? ABC AB > ВС, доведемо, що ∠C > ∠A.

Відкладемо на стороні AB від точки В відрізок BD, що дорівнює ВС.

?DBC – рівнобедрений, ∠BDC = ∠BCD – як кути при основі рівнобедреного трикутника DBC. ∠BDC – зовнішній кут трикутника ADC, тому він більший від кута А. Оскільки ∠BCD = ∠BDC, то і кутBCD більший від кута A. ∠BCD > ∠A. Але ∠BCD становить тільки частину кута С, тому ∠C > ∠A.

Доведемо, що проти більшого кута в трикутник лежить більша сторона.

Властивості й ознака рівнобедреного трикутника

Нехай ∠C > ∠B, доведемо, що АВ > АС.

Можливе одне із трьох співвідношень: 1) АВ = АС; 2) AB < АС; 3) АВ > АС.

Якщо б AB = АС, то ∠C = ∠B, але це суперечить умові. Отже, AB ≠ АС.

Якщо б AB < АС, то ∠C < ∠B, що також суперечить умові.

Отже, можливий тільки один випадок, а саме AB > АС.

Застосуйте на практиці

527. ?ADC = ?ABC за першою ознакою рівності трикутників, оскільки АС – спільна. ВС = DC – за умовою, ∠ACD = ∠ACB = 90°.

Із рівності трикутників випливає, що AB = AD.

528. Щоб провести горизонтальну пряму, досить повернути? АВС так, щоб точка О розмістилася на відрізку ВР.



1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Что сделать слова.
Ви зараз читаєте: Властивості й ознака рівнобедреного трикутника