Властивості конуса
1.
1) Твірна конуса не може утворювати з його основою прямий кут, оскільки
Вона є гіпотенузою трикутника обертання, яка утворює бічну поверхню конуса.
2) Теж не може (обгрунтування у п. 1).
Якщо конус зрізаний 1) ні; 2) так.
Відповідь: 1) ні; 2) ні для зрізаного конуса 1) ні, 2) так.
2.
Нехай SA – твірна конуса, ОА – радіус основи, SO – висота конуса,
SO = 15 см, ОА = 8 см. З прямокутного ΔSAO:
Відповідь: 17 см.
3.
Нехай ОА радіус конуса, ОА = 28 см, SO – висота конуса, SA – твірна.
Позначимо SO = х, тоді SA = х + 8.
З ΔSOA: SA2
16х = 720; х = 45.
Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник.
Відповідь: 1260 см2.
4.
Нехай SA – твірна конуса. S = 12 см.
1) ∠SAO = 30°. З ΔSAO:
S осн = π × АО2 = π × 108 = 108π (см2).
2) ∠ SAO = 45°. З ΔSAO:
Socн = ∠ × AO2 = π × 72 = 72π (см2).
3) ∠SAO = 60°. 3 ASAO:
S осн = π × AO2 = π × 36 = 36π (см2).
Відповідь: 1) 108π см2; 2) 72π см2; 3) 36π см 2.
5.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, ∠ ASB = 90°, SSAB = 25 см2.
З ΔSAB: ∠ ASB = 90°, SO + AB, ∠OSB = 45°, ∠SBC = 45°, SO = ОВ.
ОВ2 = 25; ОВ = 5 (см).
Відповідь: 5 см.
6.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, SSAB = 6 м2,
S осн = π × AO2;
Відповідь:
7.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, SA = SB = АВ = а,
1) З ΔSAB:
2)
Відповідь: 1) 2) 5 см.
8.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, SSAB = 0,6 м2; SO = 1,2 м.
SO × АВ = 1,2;
З прямокутного ΔSAO:
Отже, площа повної поверхні конуса S дорівнює:
S = π · AO (AS + АО) = π × 0,5(1,3 + 0,5) = 0,9π (м2).
9.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, ∠ASB = 120°, SA = SB = 16 см.
SO – висота рівнобедреного трикутника, яка є і бісектрисою, отже,
∠ASO = 60°. З ΔSAO:
Отже, площа повної поверхні конуса S дорівнює:
Відповідь:
10.
Нехай SA – твірна конуса. SA = І, ОА – радіус основи, ОА = г.
1) Оскільки АВ = 60°, то ∠BOA = 60°. Проведемо ОD + АВ,
Тоді ∠AOD = 30° (оскільки висота рівнобедреного трикутника є і бісектрисою).
З ΔODA: Проведемо SD +АВ. З прямокутного трикутника SDA:
Отже,
2) Оскільки AB = 90°, то ∠BOA = 90°. Проведемо OD + AB,
Тоді ∠AOD = 45° (оскільки висота рівнобедреного трикутника е і бісектрисою).
З ΔODA:
Проведемо SD + АВ. З прямокутного трикутника SDA:
Отже,
Відповідь: 1) 2)
11.
Нехай SOA – прямокутний трикутник, SO = 6 дм, ОА = 8 дм.
З ΔSOA:
1) Sбіч = π × ОА × SA = π × 8 × 10 = 80π (дм2).
2) Sповн = π × ΟΑ(ΟΑ + SA) = π × 8(8 + 10) = π × 8 × 18 = 144π (дм2).
Відповідь: 1) 80π дм2; 2) 144π дм2.
12.
Нехай SA – твірна конуса, SA = 6,5 м, ∠ASO = 45°.
З ΔSOA: SO + AO,
Відповідь:
13.
Нехай AB = 6 м, SO = 2 м. З ΔSOB:
Знайдемо площу покрівлі башти: Sбіч = π × OB × SB = 3,14 × 3 × 3,6 = 33,9 (м2).
10 % від площі покриття 33,9 × 10 % = 3,39 (м2).
Знайдемо площу одного листа заліза: S = 0,7 × 1,4 = 0,98 (м2).
Загальна площа покриття 33,9 + 3,39 = 37,29.
Кількість листів заліза для покриття башти: 37,29 : 0,98 = 38 (листів).
Відповідь: 38 листів.
14.
Нехай SA – твірна конуса, SA = l. ΔASB – осьовий переріз циліндра,
∠ASB = α. SO + АВ, SO – бісектриса,
З ΔASO1:
Отже,
Відповідь:
15.
Нехай SA – твірна конуса, SA = l, Sосн = Q. Sосн = π × AO2;
π × AО2 = Q; 3 ΔSAO:
Відповідь:
16.
Нехай ABC – прямокутний трикутник, СВ = a, ∠CAB = 30°.
При обертанні прямокутного трикутника навколо гіпотенузи
Утворилася фігура, яка складається з двох конусі зі спільною основою.
З ΔABC:.
З ΔАСО:
Відповідь:
17.
Нехай ABC – рівнобедрений трикутник, АВ = ВС, СА = a, ∠CBA = α.
При обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи,
Утвориться фігура, яка складається з двох рівних конусів.
З ΔАВС:
Відповідь:
18.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, SA = SB = АВ = 2r,
SDC – переріз конуса, ∠DSC = 30°.
1) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,
Тобто ∠DCF = 45°. З ΔSFD: SD = SA = 2г;
2) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,
Тобто ∠DSF = 22°30′. З ΔSDF: SD = SA = 2r;
3) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,
Тобто ∠DSF = 30°. З ΔSDF: SD = SA = 2г:
DC = 2г.
Відповідь: 1) г2; 2) 3)
19.
Нехай SO – висота конуса, SO = 10 см, AB = 60°.
Нехай SAB – заданий переріз. Проведемо OD + АВ,
Тоді ∠AOD = ∠DOB і SD + АВ (за теоремою про три перпендикуляри).
1) ∠SDO = 30°.
З ΔSOD:
З ΔAOD:
2) ∠SDO = 45°.
З ΔSOD:
З ΔAOD:
3) ∠SDO = 60°.
3 ΔSDO:
3 ΔAOD:
Відповідь: 1) 200 см2; 2) 3)
20.
Нехай SO – висота конуса, SO = Н, SAB – заданий переріз, АС – медіана,
∠САВ = α. Оскільки SAB – осьовий переріз – рівнобедрений трикутник,
То висота SO буде і медіаною. За властивістю медіан трикутника медіани
Точкою nepeтину діляться у відношенні 2:1. Маємо, що
З ΔADO:
Відповідь:
21.
Нехай SA – твірна конуса, ∠SAO = 60°, ОА – радіус основи, ОА = г.
3 ΔSAO: Розгортка конуса – це частина круга,
Радіусом якого є твірна SA, а довжина дуги 2πг.
З другого боку довжина дуги С дорівнює n° = 180°.
Відповідь: 180°.
22.
Нехай S1 – площа першої січної площини, S2- площа другої січної площини.
Площі основи конуса і паралельного їй перерізу відносяться, як квадрати
Їх відстаней від вершини, тобто: 1) S1 : S2 = n2 : m2; S1 : S2 = a2 : (a – b)2.
Відповідь: 1) n2 : m2; 2) а2 : (а – b)2.
23.
SAOCD = AO2; АО × SO = AO2; SO = AO.
ΔSOA – прямокутний, а оскільки SO = АО, то він рівнобедрений.
Звідси ∠SAB = 45°.
Відповідь: 45°.
24.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса (рис. 1).
На рис. 2 зображено осьовий переріз конуса, вписаний в коло основи.
ΔSAB – прямокутний, оскільки ∠BSA спирається на діаметр.
SB = SA як твірні конуса, отже, ∠SAB = ∠SBA = 45°.
Відповідь: 45°.
25.
Нехай кут між твірними SA і SB дорівнює α.
Тоді де l – твірна конуса.
Таким чином, площа перерізу є функцією α (0 ≤ α ≤ 180°).
Знайдемо її критичну точку.
Отже, при функція і набуває найбільшого значення.
Відповідь: переріз конуса має максимально можливу площу,
Якщо твірні конуса, які утворюють переріз, перпендикулярні.
26.
Нехай SO – висота конуса, SO = Н. Проведемо три твірні конуса SА, SB, SC,
Які взаємно перпендикулярні. Отримаємо трикутну піраміду SABC.
Піраміда правильна, оскільки АВ = ВС = СА. Отже, шуканим є радіус кола,
Описаного навколо основи правильної піраміди SABC.
3 ΔSBK: ABSK = ASBK = 45°, 3 ΔSBK:
AO – радіус описаного кола навколо ΔАВС. AS2 = SO2 + AO2;
A2 = Η2× 6;
Відповідь:
27.
Нехай ABCD — трапеція, ВС = 13 см, AD = 18 см, АВ = 12 см.
Проведемо СК + АD, СК = АВ = 12 см. КD = АD – АК = 18 – 13 = 5 (см).
Sбіч = π(ВС + AD) × CD = = π(13 + 18) × 13 = 403π (см2).
Sосн.1 = π × ВС2 = 169π (см2);
Sосн.2 = π × AD = π х 324 = 324π (см2).
Sповн = S біч + Sосн.1 + Sосн.2 = 403π + 169π + 324π = 896π (см2).
Відповідь: 896π см2.
28.
Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса. Чотирикутник АВ –
Рівнобічна трапеція. За властивістю рівнобічної трапеції ∠A = ∠D, ∠В = ∠С,
∠A + ∠В = 180°, звідси ∠А + ∠С = 180°.
Навколо чотирикутника можна описати коло,
Якщо сума його протилежних κуτ?в дорівнює 180°.
Твердження доведено.
29.
Нехай АB – твірна зрізаного конуса, AS = 8 см, ∠ВAD = ∠CDA = 60°,
∠BDA = 30°. Проведемо BF + АD.
З ΔBDF: BD = 2BF (оскільки ∠BDA = 30°).
O1D = 12 – 4 = 8 (см); AD = 4 + 12 =16 (см);
ВС = AD – 2AF =16 – 8 = 8 (см); ОС = 4 см.
Sбічн = π(ОС + O1D) × АВ = π(4 + 8) × 8 = 96π (см).
Sосн.1 = π × ОС2 = π × 16 = 16π (см 2);
Sосн.2 = π × О1D)2 = π × 64 = 64π (см2).
Sповн= Sбічн + Sосн.1 + Sосн.2 = 96π + 16π + 64 π = 176π (см2).
Відповідь: 176π см 2.
30.
1) Нехай ОС = 5 см, O 1D = 11 см, ∠ABF = 30°.
AF = AO – ВО = 11 – 5 = 6 (см)
З ΔABF: АВ = 2AF = 12 (см).
2) ∠ABF=45°. 3 ΔABF:
3) ∠ABF = 60°. З ΔАВF:
Відповідь: 1) 12 см; 2) 3)
31.
1) 1 випадок. Нехай ВО = AB = n, ∠BAF = 30°.
З ΔABF:
2 випадок. Нехай АВ = AO1 = n, ∠BAF = 30°.
З ΔABF:
Sосн.2 = π × AO12 = π × n2 = πn2.
2) 1 випадок. Нехай BO = AB = n, ∠BAF = 45°.
З ΔАВF:
Sосн.2 = π × BO2 = πn2;
2 випадок. Нехай АВ = АO1 = n, ∠ВАF = 45°.
З AABF:
Sосн.1 = π × AO12 = π × n2 = πn2; Sосн.2 =π × ΒO2.
3) 1 випадок. Нехай ВО = AB = n, ∠BAF = 60°.
З ΔABF:
Sосн.1 = π × ВО2 = πn2.
2 випадок. Нехай АВ = АО1 = n, ∠BAF = 60°.
З ΔABF:
Відповідь: 1) πn2, 2) πn2, 3) πn2, або
32.
Нехай OB = 16 см, O1C = 25 см, AB = 2OB = 32 см, DC = 2O1C = 50 см.
Трапеція ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса.
AB + DC = AD + BC за властивістю описаного чотирикутника.
32 + 50 = AD + BC; 82 = 2AD; AD = 41 (см).
Радіус кола
Відповідь: 20 см.
33.
Нехай OB i O1A – радіуси основ зрізаного конуса,
ОВ : О1А = 1 : 3, ОО1 = h, ∠ΒΑΟ1 = 45°. З ΔABF: AF = BF = h,
Позначимо BO = x, AO1 = 3x. AO1- FO1 = AF;
3x – x = h; 2x = h;
Відповідь:
34.
Зобразимо на рисунку осьовий переріз зрізаного конуса.
Нехай AB і CD – твірні зрізаного конуса. AB = CD = 26 см,
ОО1 – вісь зрізаного конуса,
AD1 = 26,25 см. D1C = 13,75 см.
ΔАD1О1 – ΔCD1О(∠D1AO1 = ∠D1CO як внутрішні
Різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD
І січній АС, ∠OD1C = ∠ADO1 як вертикальні кути).
Нехай ОС = а, АО1 = b. З подібності трикутників отримаємо:
B = 26,25x; а = 13,75x; КD = О1D – О1К = b – а.
З ΔСКD: СК2 = CD2- KD2 = 262 – (b – а)2.
З ΔАСК: СК2 = АС2 – АК2 = 402 – (b + а)2.
Порівняємо дві останні рівності: 26s – (b – а)2 = 402 – (6 + а)2;
676 – b2 + 2ab – а2 = 1600 – b2 – 2аb – а2;
4аb = 924; ab = 231; 13,75x × 26,25x = 231;
Х = 0,8.
Звідси маємо: а = 13,75 × 0,8 = 11 (см); b = 26,25 – 0,8 = 21 (см).
Відповідь: 11 см і 21 см.
35.
Нехай твірна конуса АВ = І, радіуси основ BO = r, AO1 = R,
Висота конуса BF = H. l = R + r, H = R – r. AF = АО1 – BО = R – г.
З ΔBFA:
З іншого боку
Відповідь:
ГМТ середин відрізків з кінцями на колах протилежних основ
Зрізаного конуса є круг.
Відповідь: круг.
Нехай SA – твірна конуса, ОА – радіус конуса, SA = 16 дм,
ОА = 10 дм, О1А1 = г,
SA1 = l. ΔSA1O1 = ΔSAO.
Знайдемо площу повної поверхні конуса з твірною SA1.
S повна конуса з твірною SA:
S = π × ОА(ОА + SA) = π × 10(16 + 10) = 260π.
Порівняємо площі повної поверхні конуса і зрізаного конуса:
32r2 = 2600; 4r2 = 325;
3 ΔSAO:
Знайдемо довжину твірної меншого конуса:
З ΔSA1O1:
Відповідь·.
38.
Нехай SA = AD = l. Проведемо OK + AF, SK + AF.
З ΔSAK:
Знайдемо площу цієї грані:
Тоді площа бічної поверхні піраміди S дорівнює:
Відповідь:
39.
Нехай SA – твірна конуса, SA = 5 см,
З ΔАВС:
Оскільки трикутник ABC – прямокутний,
То центр описаного кола лежить на гіпотенузі,
Точка О – центр основи конуса,
SO – висота конуса, яка, є і висотою піраміди.
Отже,
Відповідь: 4 см.
40.
Нехай OK – радіус основи конуса, SO – його висота,
OK = 6 см, SO = 8 см. Проведемо SK + СВ, тоді OK + СВ
(за теоремою про три перпендикуляри).
З ΔSOK:
Розглянемо ΔОВК. ∠K = 90°, ∠ОВК = 30°,
Знайдемо площу однієї грані піраміди:
Отже, площа бічної поверхні піраміди S дорівнює:
Відповідь:
41.
Нехай SFK – осьовий переріз конуса,
Нехай а – сторона тетраедра. ΔABC – правильний трикутник,
FO – радіус вписаного кола в ΔABC.
OF + АС (за теоремою про три перпендикуляри).
З ΔSFC:
З ΔSFO:
За умовою
Відповідь:
43.
Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС = АС = 12 см,
SA = SB =SC = 13 см. Оскільки конус рівносторонній, позначимо OF = х,
Тоді FS1 = 2х.
З ΔOPS:
Оскільки ΔАВС – правильний, то S1B – радіус описаного кола,
З ΔSKB:
3 ΔSS1К:
ΔSS1K – ΔSOF (за першою ознакою, ∠OSF – спільний, ∠SFO = ∠SBS1).
Звідси висота конуса
Відповідь:
44.
Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда. SD = а;
З ΔSDK:
З ΔSOK:
Оскільки конус рівносторонній, то ОК1 = 2О1К1.
Позначимо О1К1 = х, ОК1 = 2х.
З ΔO1К1О:
ΔSOK – ΔSO1K1(за першою ознакою подібності).
Звідси
Відповідь:
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...