Властивості призми

1.

Властивості призми

2.

Властивості призми

3.

Ні, не можна.

4.

Бічні ребра перпендикулярні до основи. Усі бічні грані – прямокутники.

Бічне ребро є висотою призми. Площа бічної поверхні – добуток периметра

Основи на довжину бічного ребра.

5.

Так, може. Див. мал. до № 2.

6.

1) Основа правильної призми – правильний багатокутник,

Усі бічні грані – рівні прямокутники.

2) Усі грані куба є рівними квадратами.

7.

Так, можна. Бічне ребро прямої призми перпендикулярне до основи,

А

отже перпендикулярне будь-якій прямій, що належить площині основи.

8.

В основі призми лежить квадрат. АС + BD

(оскільки діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом).

АС + DD1 (оскільки бічне ребро перпендикулярне основі,

А отже перпендикулярне будь-якій прямій в цій площині).

Маємо АС + BD. АС + DD1прямі BD + DD1 — перетинаються,

А отже АС перпендикулярна площині BB1DD1.

Властивості призми

9.

Розгортка бічної поверхні похилого паралелепіпеда є паралелограмом.

Див. мал. до № 2.

10.

Якщо сума площ протилежних бічних граней прямої чотирикутної призми рівні між собою, то

в основі такої призми має бути багатокутник, у якого всі сторони рівні. Тобто в основі призми лежить квадрат або ромб.

11.

Оскільки у прямої призми бічні ребра перпендикулярні до основи, то бічні ребра перпендикулярні і до будь-якої прямої, що належить площині основи, в тому числі і прямим, які містять діагоналі основи.

12.

1) AD = 3 см; AA1= 4 см; DC = 6 см.

Розглянемо трикутник ACC1- прямокутний (∠ACC1= 90º).

За теоремою Піфагора: Властивості призми CC1 = AA1- оскільки бічні ребра рівні).

З трикутника ADC – прямокутного (∠ADC = 90º) знайдемо АС.

За теоремою Піфагора: АС2 = AD2 + DC2·, АС2 = 32 + 62 = 9 + 36 = 45.

Тоді Властивості призмиВластивості призми

Властивості призми

2) AD = 3 см; DC = 4 см; ∠C1AC = 30°.

Розглянемо трикутник АСС – прямокутний (∠ACC1 = 90°).

Властивості призми знайдемо з трикутника ACD-прямокутного (∠ADC = 90°).

За теоремою Піфагора: АС2 = AD2 + DC2 ; АС2 = 32 + 42 = 25; АС = 5.

Тоді Властивості призми

Властивості призми

3) AD= 2 см; DС = 3 см; ∠D1AD = 60°.

Розглянемо трикутник ADD1- прямокутний (∠ADD1 = 90°).

DD1= AD × tg∠D1AD; Властивості призми

Розглянемо трикутник BAD – прямокутний (∠BAD = 90°).

За теоремою Піфагора: BD2= АВ2 + AD2.

AB = DC (оскільки ABCD – прямокутник).

BD2 = З2 + 22 = 9 + 4 = 13; Властивості призми

Розглянемо трикутник B1BD прямокутний (∠B1BD = 90º).

За теоремою Піфагора Властивості призми

BВ1 = DD1(оскільки бічні ребра прямокутного паралелепіпеда рівні).

Властивості призми B1D = 5 см.

Властивості призми

13.

Знайдемо площу бічної основи прямої чотирикутної призми.

S = Росн × h. Висота прямої призми дорівнює довжині бічного ребра.

S = (2 + 3 + 2,5 + 4,5) × 5 = 60 (см2).

14.

Знайдемо площу повної поверхні призми. Sповн = Sбічн + 2Sосн

В основі призми лежить ромб зі стороною 5 см і гострим кутом 30°.

Його площа S = а2 × sin α; Властивості призми

Знайдемо площу бічної поверхні. Sбічн = Росн × h.

Висота дорівнює довжині бічного ребра, оскільки призма пряма.

Sбічн = 4 × 5 × 10 = 200 (см2).

Тоді площа повної поверхні: Sповн = 200 + 2 × 12,5 = 225 (см2).

15.

Знайдемо площу повної поверхні правильної чотирикутної призми.

Sповн = Sбічн + 2 Sосн

В основі лежить квадрат зі стороною 10 дм, його площа:

Sосн = 102 = 100 (дм2). Знайдемо площу бічної поверхні: Sбічн = Росн × h.

Висота дорівнює довжині бічного ребра, оскільки призма правильна.

Sбічн = 4 × 10 × 8 = 320 (дм2).

Тоді площа повної поверхні: Sоcн = 320 + 2 × 100 = 520 (дм2).

16.

Розглянемо призму, в основі якої лежить n-кутник.

Ця призма має 2n тригранних кутів (n при нижній основі, n – при верхній),

А це число парне.

17.

Призма має n граней. Дві з них є основами. Отже бічних граней n – 2,

А в основі призми лежить n-2-кутник.

18.

Припустимо, що з вершини виходить 4 ребра, це означає, що призма має два бічних ребра, які не співпадають, тобто не паралельні, а це суперечить означенню призми. Значить, з однієї вершини може виходити лише три ребра.

19.

Нехай в основі призми лежить n-кутник.

Тоді кількість його ребер Зn, тобто кратне 3. 14 не кратне 3.

Отже не існує призми, яка має 14 ребер.

20.

Обернене твердження. Якщо бічні грані призми рівні прямокутники, то це правильна шестикутна призма.

Це твердження хибне. Розглянемо пряму призму, в основі якої лежить правильний трикутник, бічні грані цієї призми будуть рівними прямокутниками, але це не означає, що в її основі лежить шестикутник.

21.

1) Похила призма, основою якої є правильний багатокутник із непарною кількістю сторін може мати одну грань у формі прямокутника,

2) Похила призма, основою якої є правильний багатокутник із парною кількістю сторін може мати дві грані у формі прямокутника.

22.

Доведемо, що утворена фігура буде квадратом.

За умовами АК + DM = AD; МС + ВК = ВС.

Складемо рівності АК + DM + МС + ВК =AD + ВС; АВ + DC=AD + ВС;

АВ = DC; AD = ВС; 2АВ = 2AD; AB =AD.

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (оскільки трапеція прямокутна). Отже ABCD – квадрат. Бічні ребра перпендикулярні основі. Утворене тіло буде правильною чотирикутною призмою.

Властивості призми

23.

AВ1С – пеперіз, що проходить через три несуміжні вершини. Властивості призми

ABCDA1B1C1D1 – куб. Всі його грані рівні, а отже рівні і діагоналі граней.

Трикутник AB1C – правильний.

Площа правильного трикутника: Властивості призми

Звідси Властивості призми Властивості призми Властивості призми

Розглянемо трикутник ADC – прямокутний, рівнобедрений (∠ADC = 90°).

∠CAD = 45°; AD = АС × cos∠CAD; AC = АВ1; Властивості призми

Властивості призми

24.

Властивості призми Трикутник ABC – правильний, його площа Властивості призми

Властивості призми Властивості призми АВ = 6 см.

Оскільки висота в три рази більше, АА1 = 18 см. Тоді площа бічної поверхні

Sбічн = Росн × h; h = АА1. Sбічн = 3 × 6 × 18 = 324 (см2).

Властивості призми

25.

Трикутник АСВ – прямокутний рівнобедрений (∠ACB = 90°).

Його площа Властивості призми Звідси Властивості призми Властивості призми

З трикутника АСВ за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2;

АС = ВС. АВ2 = 62 + 62 = 72; Властивості призми

Площа бічної поверхні Sбічн = (AB + BC + AC) × AA1;

Властивості призми

Властивості призми

Властивості призми

26.

Трикутник ABC – рівнобедрений, АС СВ = 5 см, АВ = 8 см,

СК – висота трикутника ABC, проведена до основи.

Оскільки ΔАВС – рівнобедрений, то СК буде також і медіаною,

Властивості призмиКВ = 4 см. АВ + СК (оскільки СК – висота).

Розглянемо трикутник СКВ – прямокутний (∠CKB = 90). З теореми Піфагора

Маємо: СК2 = ВС2 – КВ2; СК2 = 52 – 42 = 9. СК = 3 см, АА1 = СК = З см (за умовами).

Тоді площа бічної поверхні Sбічн = (АВ + ВС + АС) × АА1;

Sбічн = (8 + 5 + 3) × 3 = 54 (см2).

Властивості призми

27.

1 випадок: АВ =10 см, AD = 26 см. Властивості призми ∠B1DB = 45º,

Розглянемо трикутник ABD. За теоремою косинусів:

BD2 = AB2+AD2- 2AB × AD cos∠BAD.

З основної тригонометричної тотожності: cos2∠BAD =1 – sin2∠BAD;

Властивості призми Властивості призми

Тоді Властивості призми Властивості призми

Обчислимо площу бічної поверхні:

Sбічн = 2(АB + AD) × ВВ1, ВВ1 знайдемо з трикутника B1ВD –

Прямокутного (∠B1BD = 90°), рівнобедреного (ΒD = ВВ1). Властивості призми

Тоді Властивості призми

Властивості призми

2 випадок: АВ = 10 см, AD = 26 см; Властивості призми ∠C1AC = 45°.

Розглянемо трикутник ADC. cos∠ADC = – cos∠BAD.

За теоремою косинусів: АС2 = AD2 + DC2- 2AD × DC × cos∠ADC;

Властивості призми Властивості призми

ΔACC1- прямокутний, рівнобедрений (∠ACC1 = 90°; АС = СС1). Властивості призми

Тоді площа бічної поверхні Sбічн = 2(АВ + ВС) × СС1

Властивості призми

Властивості призми

28.

Нехай довжина ребра куба дорівнює а, КС1 = КА.

Розглянемо трикутник KD1C1 – прямокутний.

За теоремою Піфагора Властивості призми Властивості призми

(К – середина ребра DD1). Тоді Властивості призми Властивості призми

Знайдемо довжину діагоналей куба AC1

З трикутника ADC – прямокутного рівнобедреного

(∠ADC = 90°). Властивості призми Властивості призми

З трикутника АСС1 – прямокутного (∠ACC1 = 90°)

За теоремою Піфагорa: .

Властивості призми Властивості призми Властивості призми

Знайдемо площу трикутника AКC1 за формулою Герона.

Властивості призми

Властивості призми

Властивості призми

За умовами: Властивості призми

Отримуємо рівняння: Властивості призми а2 = 200; Властивості призми

29.

ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед.

АВ = 5 см, AD = 3 см. Властивості призми

Розглянемо трикутник ADC – прямокутник (∠ZADC = 90°).

За теоремою Піфагора: АС2 = ΑD2 + DC2; АС2 = 52 + З2 = 25 + 9 = 34:

Властивості призми

АС = BD, К – точка перетину діагоналей основи. Властивості призмиВластивості призми

Розглянемо трикутник В1ВК – прямокутний (∠B1BK = 90°).

Властивості призми

Розглянемо трикутник AB1C. Його площа Властивості призми Властивості призми

30.

KLCB1- утворений переріз. KLCB1 – трапеція (KL? В1С),

B1K = LC1 трапеція рівнобічна.

Розглянемо трикутник B1A1C – прямокутний (∠B1A1K1 = 90°).

За теоремою Піфагора Властивості призмиВластивості призми

З трикутника В1ВС – прямокутного Властивості призми– за теоремою Піфагора.

Властивості призми

З трикутника KD1L – прямокутного Властивості призми – за теоремою Піфагора.

Властивості призми Властивості призми

Знайдемо висоту трапеції КМ. Оскільки трапеція рівнобічна:

Властивості призми Властивості призми

Розглянемо трикутник В1KМ – прямокутний (∠B1KМ = 90°).

З теореми Піфагора: Властивості призми МК2 = 100 – 10 = 90; Властивості призми

Обчислимо площу перерізу. Властивості призми Властивості призми

Властивості призми

31.

AD1C – утворений переріз. ∠D1KD = 60º; АВ = 4 см.

Розглянемо трикутник D1DK – прямокутний (∠D1DK = 90°).

Властивості призми Властивості призми

З трикутника DAB – прямокутного за теоремою Піфагора DB2 = AD2+ АВ2;

DB2 = 16 +1 = 32; Властивості призми Властивості призми

Тоді Властивості призмиAC = DB.

Площа трикутника AD1C: Властивості призмиВластивості призми

Властивості призми

32.

ABCD – ромб, SAA1C1C =4 см2; SBB1D1D = 3 см2.

Позначимо АС = d1, BD = d2, АА1 = h.

Площа діагональних перерізів d1h = 3, d2h = 4. Властивості призми Властивості призми

Отримуємо рівняння: Властивості призми Властивості призми

Розглянемо трикутник AOD – прямокутний (∠AOD = 90°).

AD2 = AO2 + OD2 – за теоремою Піфагора.

Властивості призми Властивості призми

Площа бічної поверхні Sбічн = 4AD • АА1; Властивості призми

Оскільки d1h = 3, маємо: Властивості призми

Властивості призми

33.

АВСА1В1С1 – правильна трикутна призмаВластивості призми

Властивості призми

Розглянемо трикутник ABC – правильний. ВК – його висота.

Трикутник ΑKΒ- прямокутний, ∠AВK = 30°, оскільки ВК є також і бісектрисою,

Властивості призми, оскільки ВК – медіана. ВК = АК × ctg∠ΑΒΚ;

Властивості призмиВластивості призми

Знайдемо площу перерізу. SВВ1К1К = ВК × ВВ1; Властивості призми

Знайдемо площу бічної поверхні: Sбічн = ЗАС × ВВ1; Властивості призми

Знайдемо площу основи Властивості призми Властивості призми

Тоді площа повної поверхні: Sповн = Sбічн + 2Sосн

Властивості призми

Властивості призми

35.

Введемо прямокутну систему координат із початком у точці А

І спрямуємо вісь Ох вздовж ребра АО, Оу – вздовж ΑΒ, Οz – вздовж АА1.

Тоді координати точок (оскільки ребро куба дорівнює a) D(a; 0; 0), В(0; а; 0),

Властивості призми Властивості призми

Запишемо рівняння площини, що проходить через точки В, D I E.

Рівняння площини має вигляд: nх + mу + рz + 1 = 0.

Знайдемо коефіцієнти n, m і р.

Властивості призми Властивості призми Властивості призми Властивості призми

Тоді рівняння площини:

Властивості призми

2х + 2у + z – 2а = 0.

Знайдемо відстань від точки Р до площини.

Властивості призми


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Ви зараз читаєте: Властивості призми