Задачі на побудову та їх розв’язування

Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови

§ 26. Задачі на побудову та їх розв’язування

674.

Задачі на побудову та їх розвязування

Позначимо на прямій а точку А – початок відрізка AВ. Побудуємо циркулем коло із центром у точці А, радіус якого дорівнює AB. Це коло перетне пряму а у деякій точці D. Очевидно, що АВ =AD. Отже, AD – шуканий відрізок.

675.

Задачі на побудову та їх розвязування

Побудова аналогічна завданню 674.

676.

Задачі на побудову та їх розвязування

Коло перетне пряму m у двох точках.

677.

Задачі на побудову та їх розвязування

678.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) За допомогою лінійки проведемо довільну пряму р і позначимо на ній довільну точку В. Відкладемо на прямій р відрізок ВС = 8 см.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює 7 см, опишемо дугу із центром у точці С.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює 5 см, опишемо дугу кола із центром у точці В. Точка А – точка перетину дуг, проведених з точок В і С.

4) З’єднаємо точки А, В, С відрізками.

?ABC – шуканий.

679.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Проведемо довільну пряму т. На ній відкладемо відрізок СА = 7 см.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює 4 см, опишемо дугу кола із центром у точці А.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює 6 см, опишемо дугу кола із центром у т. С. Точка В – точка перетину дуг, проведених з точок А і С.

4) З’єднаємо точки А, В, С відрізками.

?ABC – шуканий.

680.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні АС трикутника АВС, опишемо дугу кола із центром у т. А.

2) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні СВ трикутника ABC, опишемо душу кола із центром у т. В. Точка D – точка перетину дуг.

3) З’єднаємо т. А, D, В.

?ADB – шуканий.

681. 1) Будуємо відрізок А1С1 = АС.

2) Розхилом циркуля, який дорівнює стороні AB? ABC, опишемо дугу кола із центром у точці A1.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює стороні ВС? ABC, опишемо дугу кола із центром у точці С1. Точка В – точка перетину дуг.

4) З’єднаємо точки А1, В1, С1 відрізками. Трикутник А1В1С1 – шуканий.

Задачі на побудову та їх розвязування

682.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) За допомогою лінійки проводимо довільну пряму р і позначимо на ній т. А.

2) За допомогою циркуля відкладемо засічкою на прямій р а відрізок AB = а.

3) Розхилом циркуля, що дорівнює а, опишемо дуги кола із центром у т. А і т. В. Точка С – точка перетину дуг.

4) З’єднаємо точки А, В і С відрізками.

?ABC – шуканий.

683.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо а.

2) Розхилом циркуля, який дорівнює Ь, проводимо дуги кіл із центрами у т. А і т. В. Точка С – точка перетину дуг.

3) З’єднаємо т. А, В і С відрізками.

?ABC – шуканий.

684.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Позначимо на сторонах даного кута А точки В іС.

2) Побудуємо? LKM, що дорівнює? ВАС, так щоб LK = BA, LM = ВС, КМ = АС.

3) ∠LKM = ∠BAC – як відповіді кути рівних трикутників.

4) ∠LKM – шуканий.

685.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Позначимо на сторонах даного кута т. В і т. С.

2) Побудуємо? ОРR, що дорівнює? ABC, так, щоб OP = AB, PR = ВС, OR = AC.

3) ∠POR = ∠BAC – як відповідні кути рівних трикутників.

4) ∠POR – шуканий.

686.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай ∠A = 70°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута А в точках В і С.

2) 3 т. В і С опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо промінь AD.

Промінь AD – шукана бісектриса.

687. Нехай ∠A = 110°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута А в точках В і С.

2) 3 точок В і С опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо промінь AD.

Промінь AD – шукана бісектриса.

Задачі на побудову та їх розвязування

688.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай AB – даний відрізок.

1) 3 т. А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка AB опишемо дугу.

2) 3 т. В таким самим радіусом циркуля опишемо дугу до перетину з першою дугою в точках М і N.

3) Через т. М і N проведемо пряму MN, яка перетинає відрізок AB в т. Р.

Р – шукана точка.

689.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай AB – даний відрізок.

1) 3 т. А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка AB опишемо дугу.

2) 3 т. В таким самим радіусом опишемо дугу до перетину з першою дугою в т. М і N.

3) Через т. М і N проведемо пряму MN. Пряма МТ перетинає відрізок AB в т. Р.

Р – середина AB.

690.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай т. М не належить прямій а.

1) 3 т. М довільним радіусом, більшим за відстань від т. М до прямої а, проведемо дугу, яка перетинає пряму а в точках B і С.

2) Із точок В і С тим самим радіусом циркуля опишемо дуги до їхнього перетину в точці N по інший бік від точки М.

3) Проведемо пряму MN.

Пряма MN – шукана пряма.

691.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай Р є m.

1) На даній прямій то довільним радіусом циркуля відкладемо від т. Р два рівних відрізка РМ і PN.

2) Із точок М i N радіусом, що дорівнює MN, опишемо дуги до їхнього перетину. Отримаємо т. К.

3) Проведемо пряму KP.

KP – шукана пряма.

692.

Задачі на побудову та їх розвязування

Щоб побудувати прямокутний трикутник за двома катетами, слід побудувати прямий кут і на його сторонах відкласти відрізки, що дорівнюють катетам: АВ = 3 см, АС = 5 см.

?ABC – шуканий.

693.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) 3 точки А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка АВ, опишемо дугу.

2) 3 точки В таким самим радіусом проведемо дугу до перетину з першою дугою в точках М і N. Через т. М і N проведемо пряму, яка перетинає AB в точці Р. Р – середина сторони АВ.

Проведемо пряму CP. СР – шукана медіана.

694.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) 3 точок А і С проводимо кола довільного радіусу, які перетинаються в точках N i F.

2) Знаходимо точку М перетину прямої FN та сторони АВ.

3) СМ – шукана медіана.

4) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром в т. А, яка перетинає сторони кута А в точках E i R.

5) 3 точок E i R опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їхнього перетину. Отримаємо т. Р.

6) АР, а отже, і АК – бісектриса кута А.

695.

Задачі на побудову та їх розвязування

Побудова аналогічна завданню 694.

696.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Ділимо відрізок АВ навпіл.

2) Ділимо відрізок СВ навпіл.

3) Відрізок AD = 3/4AB.

697.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Ділимо відрізок АВ навпіл.

2) Ділимо відрізок CD навпіл.

3) DB = 1/4BA.

698.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) На прямій а існує дві точки M i N, віддалені від т. А на відстань 4 см.

2) На прямій а існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань більше 4 см, це промені NK і ML без початків.

3) На прямій а існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань меншу ніж 4 см, це відрізок MN без його кінців.

699.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо коло з центром у т. О і з радіусом R.

2) 3 довільної точки В кола будуємо коло радіуса b, яке перетинає побудоване коло в точках А і С.

3) ?ABC – шуканий.

700.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо кут ∠A = 105°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки AB = 3 см, АС = 5 см.

3) ?ABC – шуканий.

701.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо кут ∠K = 80°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки KL = 6 см, КМ = 4 см.

3) ?KLM – шуканий.

702.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Побудуємо кут ∠D = 40°.

2) На одній стороні кута відкладаємо відрізок DE = 6 см.

3) Будуємо ∠E = 80°.

4) Точка F – точка перетину сторін кутів D i E.

5) ADEF – шуканий.

703.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо ∠N = 50°.

2) На одній стороні відкладемо відрізок NP = 4 см.

3) Будуємо ∠P = 100°.

4) ?NPT – шуканий.

704.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо AB = 4 см.

2) Будуємо ∠ВАС = 70°.

3) Будуємо ∠ВАС = 70°.

4) ?ABC – шуканий.

705.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо відрізок АС = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього трикутника.

2) За допомогою циркуля проведемо дуги з центром у точках А і С, радіусом, який дорівнює АС.

3) Оскільки центр вписаного кола є точкою перетину...

бісектрис, будуємо бісектриси кутів А і С. О – точка перетину бісектрис – центр вписаного кола.

706.

Задачі на побудову та їх розвязування

?ABC – довільний трикутник. Оскільки центром описаного кола навколо трикутника є точка перетину серединних перпендикулярів, то побудуємо серединні перпендикуляри до сторін AB і АС.

1) Знайдемо середини відрізків AB і АС. Точки М і К – середини відрізків відповідно AB і АС.

2) Побудуємо перпендикуляри до сторін трикутника АВ і АС, які проходять через точки М і К відповідно, т. О – точка перетину серединних перпендикулярів – центр описаного кола.

707.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо прямокутний трикутник ABD за катетом BD = 6/2 = 3 (см) і AD = 4 см.

2) На промені BD від точки D відкладемо DC = 3 см.

3) ?АBС – шуканий.

Оскільки AD – висота і медіана трикутника ABC, то трикутник ABC – рівнобедрений.

708.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Із точки С відкладемо рівні відрізки АС = а.

2) Із отриманих точок проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

3) Через точку перетину кіл і точку С проводимо пряму СК.

4) Із точки А проводимо коло радіуса с, яке перетне пряму СК в точці В.

5) ?АВС шуканий, оскільки ВС ⊥ АС, бо ВС – серединний перпендикуляр, АС = а, ВА = с.

709. 1) Із точки С на прямій відкладаємо рівні відрізки СА = а.

2) Із отриманих точок проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

Задачі на побудову та їх розвязування

3) Через точку перетину кіл і точку С проводимо пряму КС.

4) Будуємо бісектрису кута С – СК.

5) На прямій СК відкладаємо бісектрису трикутника, яка дорівнює l. Отримаємо т. Р.

6) Через точки A і Р проводимо пряму до перетину з прямою СК, отримаємо точку В.

7) ?ABC – прямокутний шуканий трикутник, оскільки СК – серединний перпендикуляр.

710.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо? ABD за трьома сторонами: AB = a, BD = mb, AD = b/2.

2) Відкладемо на промені AD відрізок АС = b.

3) Проводимо відрізок ВС.

4) ?ABC – шуканий.

711. ОА – радіус кола. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, то побудуємо пряму, перпендикулярну до ОА.

1) На прямій О А довільним радіусом циркуля відкладемо від т. А два рівні від, різки AB і АС.

Задачі на побудову та їх розвязування

2) Із точок В і С радіусом, який дорівнює ВС, опишемо дуги до їхнього перетину. Отримаємо т. D.

3) Проведемо пряму b через т. D і А, яка перпендикулярна до ОА. Отже, b – дотична до кола.

712.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо прямокутний трикутник за катетом b і гіпотенузою, яка дорівнює mа.

2) Оскільки mа – гіпотенуза прямокутного? ABC, то відкладемо на прямій СК відрізок КВ = СК.

3) ?АВС – шуканий.

713.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Із т. С на прямій відкладемо рівні відрізки СВ = а.

2) Із отриманих точок D і В проводимо кола більшого радіуса, які перетнуться в точці К.

3) Через точку К і точку С проводимо пряму KС.

4) Розділимо відрізок СВ на дві рівні частини. Т. F – середина відрізка.

5) 3 точки F проведемо кола радіуса та до перетину з прямою КС. Отримаємо т. А.

6) З’єднаємо т. А з т. В.

?ABC – шуканий.

714.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо коло з центром у точці О і з радіусом R.

2) 3 довільної точки В кола будуємо коло з радіусом а.

3) Від променя ВС відкладемо кут СВА = α, сторона якого перетне коло у точці А.

4) ?АВС – шуканий.

715.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо? ADC за двома сторонами AD = l, АС = b і кутом між ними ∠DAC = α/2.

2) Будуємо ∠BAD = α/2, точка В – точка перетину сторони AB кута BAD і продовження сторони DC.

716.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо коло з центром у т. О і радіусом R.

2) 3 довільної точки А будуємо коло з радіусом а, яке перетне побудоване коло в точці В.

3) 3 цієї ж точки А будуємо коло з радіусом 6, яке перетне побудоване коло в точці С.

4) ?АВС – шуканий.

717.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо відрізок AB = 4 см.

2) Від т. А відкладаємо ∠A = 40°.

3) Знайдемо ∠В. ∠В = 180° – 40° – 105° = 35°.

4) Від т. В відкладаємо кут 35°.

5) ?ABC – шуканий.

718.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) За допомогою косинця будуємо прямий кут. А.

2) Довільним радіусом описуємо коло з центром в т. А до перетину сторін кута в точках В і С.

3) 3 точок В і С, як з центрів проводимо дві дуги того ж радіуса до перетину з побудованим колом в точках М і N.

4) ∠BAM = 30°, ∠MAC = 60°.

719.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Спочатку будуємо кут NAC, який дорівнює 30° (як в попередньому завданні).

2) Будуємо бісектрису ∠NAC. Проводимо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута NAC в точках Р і R.

3) 3 точок Р і R опишемо дуги у внутрішній області кута таким самим радіусом до їхнього перетину, отримаємо точку К.

4) Проведемо промінь AK. АК – бісектриса. Отже, ∠NAK = ∠KAC = 15°.

720. I.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Будуємо прямий кут А за допомогою косинця.

2) Від точки А на стороні кута відкладаємо 5 см, отримаємо AВ = 5 см.

3) За допомогою циркуля будуємо кут А = 60°.

4) За допомогою циркуля будуємо кут В = 45°.

5) ?ABC – шуканий.

II. Нехай т. В належить прямій а.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) На дані й прямій а довільним радіусом відкладемо від т. В два рівних відрізка ВМ і BN.

2) Із точок М і N радіусом, що дорівнює MN опишемо дуги до їхнього перетину, отримаємо точку К.

3) Проведемо пряму KB. КВ ⊥ МС.

4) Побудуємо кут, який дорівнює 60°. Для цього поділимо кут КВМ на три рівних кути (див. завдання 718). Отримаємо: ∠ABK = 60°, тоді ∠ABC = 60° + 90° = 150°.

5) Відкладемо на сторонах кута ВА = ВС = 4 см.

6) З’єднаємо точки А і С. Отримаємо? АДС – шуканий.

721. I.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) На прямій а відкладемо КМ = 4 см.

2) 3 точок К і М проведемо прямі перпендикулярні до прямої а.

3) Побудуємо кут, який дорівнює 30° з вершиною в точці К (див. завдання 718).

4) Побудуємо кут, який дорівнює 45° з вершиною в т. М (див. завдання 720.1)).

5) ?КРМ – шуканий.

II.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) На прямій m позначимо т. М.

2) Проведемо LM ⊥ m.

3) Побудуємо кут, який дорівнює 30°, тоді ∠KMP = ∠KML + ∠LMP = 30° + 90° = 120°.

4) На сторонах кута КМР відкладемо відрізки КМ = МР = 5 см.

5) ?КМР – шуканий.

722. Знайдемо кут при основі трикутника.

Задачі на побудову та їх розвязування

1) Побудуємо кут, який дорівнює 80° і суміжний з ним кут.

2) Поділимо суміжний кут навпіл, це і буде кут при основі трикутника. Будуємо трикутник за стороною і двома прилеглими кутами. Отже, ?ABC – шуканий.

723. Побудова аналогічна завданню 722.

724.

Задачі на побудову та їх розвязування

Оскільки в рівносторонньому трикутнику медіана є і бісектрисою, то кут при вершині трикутника ділиться на два рівних кути кожен по 30°.

Рис. 1) Будуємо медіану AM.

2) 3 т. А відкладаємо кути 30° по різні боки від медіани.

3) Через т. М проводимо пряму с ⊥ АМ.

4) ?ABC – шуканий.

725.

Задачі на побудову та їх розвязування

∠OAC = 30°, ОС ⊥ AB (оскільки AB – дотична, ОС – радіус кола), ОС = 5 см. Оскільки? АОС – прямокутний (∠C = 90°) з кутом 30°, то АО = 2ОС = 2 x 5 = 10 см.

Відповідь: 10 см.

726.

Задачі на побудову та їх розвязування

Hexaй ∠A = 15°, ∠C : ∠B = 7 : 8. ∠B + ∠C = 180° – 15° = 165°, тоді Задачі на побудову та їх розвязування Задачі на побудову та їх розвязування

Оскільки зовнішній кут при вершині трикутника суміжний з внутрішнім кутом і вони в сумі дорівнюють 180°, то зовнішній кут, тим менше, чим більше внутрішній кут, суміжний з ним.

Найбільший кут трикутника дорівнює 88°, отже, найменший зовнішній кут дорівнює 180° – 88° = 92°.

Відповідь: 92°.

727.

Задачі на побудову та їх розвязування

Нехай? KLM = ?K1L1M1, KN, K1N1 – бісектриси. Оскільки? KLM = ?K1L1M1, то ∠M = ∠M1, KM = K1M1, ∠NKM = ∠N1K1M1 – як половини рівних кутів. Тоді? NKM = ?N1K1M1 – за стороною і двома прилеглими кутами. Отже, KN = K1N1.

728.

Задачі на побудову та їх розвязування

?ABC – прямокутний, ∠A = 30°, AB = 60 CM. CD ⊥ AB.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 30° = 60°.

З прямокутного? СDB: ∠DCB = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

З? АВС: CB = 1/2AB = 1/2 • 60 = 30 (CM).

З? CDB: DB = 1/2CB = 1/2 • 30 = 15 (см).

AD = AB – DB = 60 – 15 = 45 (см).

Відповідь: 15 см, 45 см.

729.

Задачі на побудову та їх розвязування

Відповідь: 40.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Задачі на побудову та їх розв’язування