Коло і круг



Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 15. Коло і круг

588. 1) Хордами є відрізки: KB, NC, KN, CB, LD.

2) Діаметрами є відрізки: LD, NC, КВ.

3) Радіусами кола є відрізки: OL, OK, ОС, OD, OB, ON.

589. Дотичні до кола: АС, CB, AB. ON ⊥ AC, ОМ ⊥ CB, OK ⊥ AB.

590.

Коло і круг

591.

Коло і круг

592. Щоб знайти діаметр кола, треба радіус збільшити вдвічі:

1) 6,5 см х 2 = 13 см; 2) 2,6 см х 2 = 5,2 см; 3) m х 2 = 2m см; 4) 2n х 2 = 4n см.

593. Щоб знайти радіус кола, треба діаметр кола поділити пополам:

1) 4,2 : 2 = 2,1 см; 2) 8,2 : 2 = 4,1 см; 3) а

: 2 = a/2 см; 4) 2а : 2 = а см.

594. З однієї точки можна провести:

1) безліч хорд;

Коло і круг

2) один діаметр;

Коло і круг

3) один радіус.

Коло і круг

595. Оскільки хорда не може бути більше діаметра, то:

1) Може; 2) може; 3) ні; 4) може.

596.

Коло і круг

1) АМ не завжди дорівнює ВМ. Рівність досягається, якщо точка М співпадає з центром кола.

2) CM = DM завжди, оскільки? СОМ = ?DOM (за гіпотенузою і катетом: СО = OD – як радіуси кола, ОМ – спільна), то CM = DM.

597.

Коло і круг

Щоб знайти хорду, треба довжину даного відрізка помножити на

2:

1) 0,5 дм х 2 = 1 дм; 2) 30 мм х 2 = 60 мм; 3) 4,5 см х 2 = 9 см; 4) 0,07 дм х 2 = 0,14 дм.

598.

Коло і круг

CM = MD, AB – діаметр. Доведемо, що AB ⊥ DC.

?COD – рівнобедрений, отже, OD = ОС, LD = LC.

?OCM = ?ODM за першою ознакою рівності трикутників (OD = ОС, CM = DM, LD = LC). Отже, ∠OMC = ∠OMD = 180°/2 = 90°. AB ⊥ DC.

599. Якщо відрізки рівні і не дорівнюють радіусу кола, то можна стверджувати, що AB ⊥ CD.

1) 2 см = 0,2 дм, отже, AB ⊥ CD;

2) 30 мм ≠ 0,3 см, отже, AB не перпендикулярна CD;

3) 40 см = 4 дм, отже, AB ⊥ CD;

4) 26 см ≠ 0,26 дм, отже, AB не перпендикулярна CD.

600.

1) Перетинаються.

Коло і круг

2) Дотикаються.

Коло і круг

3) Не мають спільних точок.

Коло і круг

4) Дотикаються.

Коло і круг

601. 1)

Коло і круг

Через дану точку, що лежить поза колом, можна провести дві різні дотичні.

2)

Коло і круг

Через дану точку, що лежить на колі, можна провести тільки одну дотичну.

3) Через точку кола, яка лежить всередині кола, дотичну провести не можна.

602. 1) Не мають спільних точок (R = 10 см, r = 5 см).

ОО1 = 16 см.

Коло і круг

2) Дотикаються зовні (R = 8 см, r = 6 см).

ОО1 = 14 см.

Коло і круг

3) Дотикаються внутрішньо (R = 16 см, r = 12 см).

ОО1 = 4 см.

Коло і круг

603. a)

Коло і круг

Якщо R = 6 см, r = 4 см, то ОО1 = R + r = 6 см + 4 см = 10 см.

Б) ОО1 = 6 см – 4 см = 2 см.

Коло і круг

Відповідь: 10 см, 2 см.

604. Кола 1 і 2, 1 і 3, 1 i 4, 1 і 5 дотикаються (внутрішній дотик).

Кола 2 і 3, 3 і 4, 4 і 5, 5 і 2 перетинаються.

Мал. 345.

Коло і круг

Кола 2 і 4, 3 і 5 дотикаються (зовнішній дотик).

Мал. 346.

Коло і круг

Кола 1 і 2, 2 і 3 перетинаються.

Кола 2 і 5, 2 і 4 мають внутрішній дотик.

Кола 1 і 3, 5 і 4 мають зовнішній дотик.

605. 1) Всередині круга.

Коло і круг

2) На колі.

Коло і круг

3) Всередині круга.

Коло і круг

4) Поза кругом.

Коло і круг

606. Не можуть.

607.

Коло і круг

Якщо АВ – діаметр, то AB = CD. Якщо AB – не діаметр, то CD > АВ.

608. ОК ⊥ АВ, ОК = 10 см.

Коло і круг

Оскільки? КОВ = ?FOC (∠B = ∠C – внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD і січній ВС, BO = СО, ∠OKB = ∠OFC = 90°), то OK = OF. Отже, OF = 10 см.

609.

Коло і круг

Оскільки AB = CD = KF, ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD, OP ⊥ KF, TO MO = ON = OP = 6 см.

610.

Коло і круг

?AOC = ?BOD (оскільки AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD), TO AC = BD і ∠OAC = ∠OBD.

Оскільки кути OAC і OBC – внутрішні різносторонні при прямих DB і АС та січній AB і рівні, то АС || ВН.

611.

Коло і круг

AD = 3 CM, CD = 8 CM.

P? ABC = OC + BC + OB = (OC + OB) + BC = AB + BC. Оскільки AB = CD, BC = AD, то Р? ABC = AD + CD = 3 CM + 8 CM = 11 CM.

Відповідь: 11 CM.

612.

Коло і круг

?АОС = 180° – 110° = 70°. ?АОС – рівнобедрений, отже,

Коло і круг

Коло і круг

Відповідь: 55°.

613.

Коло і круг

СК = 6 CM, DK = 12 см. CF ⊥ AB, DE ⊥ AB, ∠DKE = 30°.

З прямокутного трикутника KDE: DE = 1/2 DK = 1/2 • 12 = 6 (см).

З прямокутного? FKC: FC = 1/2CK = 1/2 • 6 = 3 (CM).

Відповідь: 6 см, 3 см.

614.

Коло і круг

ОС ⊥ АВ, ОК = СК.

З прямокутного? АОК маємо: ∠ОАК = 30° (оскільки АО = 2ОК).

З прямокутного? ВОК маємо: ∠ОВК = 30° (оскільки OB = 2OK).

З? АОВ: ∠AOB = 180° – ∠ОАК – ∠ОВК = 180° – 30° – 30° = 120°.

Відповідь: 120°.

615. Ні. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику, то припустивши, що коло дотикається до прямої в двох точках, отримаємо, що з центра кола до прямої можна провести два перпендикуляри, що неможливо.

616.

Коло і круг

1) Якщо ∠АОВ = 70°, то

Коло і круг

Коло і круг

Тоді ∠NAB = 90° – 55° = 35°.

2) Якщо AB = АО, то? АОВ – рівносторонній і ∠ВАО = 60°. Тоді ∠NAB = 90° – 60° = 30°.

617.

Коло і круг

Відповідь: 1) 35°; 2) 30°.

Оскільки OB ⊥ AB, ∠ВАО = 30°, АО = 8 см, то ВО = 1/2AО = 1/2 • 8 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

618.

Коло і круг

Оскільки В і С – точки дотику, то OB ⊥ AB, ОС ⊥ АС. ?АBО = ?АСО (за катетом і гіпотенузою: OB = ОС – як радіуси, ОА – спільна гіпотенуза), тоді АB = АС.

619.

Коло і круг

Згідно з результатами задачі 318: АС = BС. За умовою АB = АС, отже, ?ABC – рівносторонній і ∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60°.

Відповідь: 60°, 60°, 60°.

620.

Коло і круг

?АОС = ?ВОС (за гіпотенузою ОС і катетом AO = OB).

∠AOC = 1/2∠AOB = 1/2 • 150° = 75°. ∠ACO = ∠BCO = 90° – 75° = 15°.

Тоді ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO = 15° + 15° = 30°.

Відповідь: 30°.

621.

Коло і круг

?BАО = ?САО (за гіпотенузою і катетом: ОА – спільна, ОB = ОС).

∠BAO = ∠CAO = 90°/2 = 45°, тоді ∠BOA = ∠COA = 90° – 45° = 45°. Оскільки? ОBА і? ОСА – рівнобедрені, то АB = OB = R, АС = ОС = R. Отже, AB = АС = R.

Відповідь: AB = АС = R.

622.

Коло і круг

1) Оскільки? ABC – рівнобедрений (AB = АС) і ∠BAC = 60°, то? ABC – рівносторонній. Отже, ВС = АВ = АС.

2) Оскільки? ОВА = ?ОСА, то ∠OAB = ∠OAC = 30°. Із прямокутного трикутника ABO (∠B = 90°, ∠A = 30°) маємо: ОА = 2 х OB, тобто відрізок ОА дорівнює діаметру.

623.

Коло і круг

1) Оскільки AB = ВС = АС (задача 622), і якщо AB = 4 см, то ВС = 4 см.

2) Оскільки AB = ВС = АС (задача 622), то якщо AB + АС = 10 см, АВ = АС = 10/2 = 5 (см). Отже, ВС = АB = АС = 5 см.

Відповідь: 1) 4 см; 2) 5 см.

624.

Коло і круг

1) ?AOO1 = ?BOO1 за трьома сторонами (ОА = OB – як радіуси, O1A1 = O1В1 – як радіуси, OO1 – спільна сторона).

Із рівності цих трикутників маємо: ∠AOO1 = ∠BOO1.

2) ?ОАВ – рівнобедрений, тоді кути при основі рівні, тобто ∠OAB = ∠OBA.

3) Оскільки? ОАВ – рівнобедрений і ОМ – його бісектриса (∠AOO1 = ∠BOO1), то ОМ – медіана і висота, отже, ОО1⊥ АВ.

625.

Коло і круг

Оскільки АС = AO = СО, то? АОС – рівносторонній. Отже, ∠CAO = 60°.

Відповідь: 60°.

626.

Коло і круг

Оскільки AB = BO = АО = АС = СО, то? АВО і? АСО – рівносторонні. Отже, ∠BAO = 60°, ∠CAO = 60°. Тоді ∠BAC = ∠BAO + ∠CAO = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

627.

Коло і круг

Hexай AB – діаметр, АС = AB. Доведемо, що ∠CAO = ∠DAO.

?САО = ?DAO за трьома сторонами (СО = DО – як радіуси, АС = AD – за умовою, АО – спільна сторона). Із рівності цих трикутників випливає, що ∠CAO = ∠DAO.

628.

Коло і круг

Нехай AB = CD, ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що ОМ = ON.

Оскільки ОМ ⊥ AB, то AM = MB. Оскільки ON ⊥ CD, то CN = ND.

?OMA = ?ONC за гіпотенузою і катетом (ОА = ОС – як радіуси, AM = CN – як половини рівних хорд), тоді ОМ = ON.

629.

Коло і круг

Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні.

Нехай ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD, ОМ = ON. Доведемо, що AB = CD.

Оскільки ОМ ⊥ AB, ON ⊥ CD, то AM = MB, CN = ND.

?AOM = ?CON за гіпотенузою і катетом (АО = СО – як радіуси, ОМ = ON – за умовою), тоді AM = CN. Отже, AB = 2AM = 2CN = CD.

630.

Коло і круг

ОМ ⊥ AC, ОМ = 10 CM, ON ⊥ AB, ON = 30 CM, ?AMO = ?ONA за гіпотенузою і гострим кутом). Із рівності трикутників випливає, що AM = ON, MO = AN. Тоді АС = 2 х ON = 2 х 30 CM = 60 см, AB = 2 x ОМ = 2 х 10 см = 20 см.

Відповідь: 60 см, 20 см.

631.

Коло і круг

РО – бісектриса кута. ∠BPO = ∠DPO. Доведемо, що AB = CD.

BD ⊥ PO, АС ⊥ PO. ?PBK = ?PDK (за катетом і гострим кутом: РК – спільний катет, ∠BPK = ∠DPK), тоді PB = PD.

?РАМ = ?РСМ (за катетом і гострим кутом: РМ – спільний катет, ∠АРМ = ∠СРМ), тоді PA = PC.

Отже, AB = PB – PA, CD = PD – PC. Оскільки РВ = PD, PA = PC, то AB = CD.

632. Оскільки AB ll CD, то ∠ANM + ∠CMN = 180° (як сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній MN). NO – бісектриса кута ANM, МО – бісектриса кута CMN, тоді

Коло і круг

633.

Коло і круг

Оскільки? АСВ – ?АОВ і? АОС = ?ВОС, то

Коло і круг

Коло і круг

Тоді ∠АОВ = 2 х ∠АОС = 2 x 45° = 90°.

Відповідь: 90°.

634.

Коло і круг

OB ⊥ AB, ОС ⊥ АС, AM = МО.

?ОВА = ?ОСА, тоді ∠ВАО = ∠САО.

Із? ОВА (∠В = 90°, ОА = 2OВ) випливає, що ∠ВАО = 30°, тоді ∠ВАС = 2 х ∠ВАО = 2 х 30° = 60°.

Відповідь: 60°.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Середня лінія трикутника.
Ви зараз читаєте: Коло і круг