Комбінації тіл



1073.

Нехай ABCDA1B1C1D1 – куб, вписаний в кулю з центром О,

B1O = OD = 8 см. Тоді B1D = 2В1О = 2 × 8 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

1074.

Див. рис.

Комбінації тілКомбінації тілКомбінації тіл

1075.

Див. рис.

Комбінації тілКомбінації тілКомбінації тіл

1076.

Див. рис.

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

1077.

Див. рис.

Комбінації тіл Комбінації тіл

1078.

Див. рис.

Комбінації тіл Комбінації тіл

class=""/>

1079.

Комбінації тіл

Нехай ABCA1B1C1 – правильна трикутна призма. Sбіч. = 27 см2.

Нехай AB = а, тоді 3а × AA1= 27, звідси а × AA1 = 9.

Комбінації тіл Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1080.

Комбінації тіл Комбінації тіл

Нехай SM – апофема правильної n-кутної піраміди,

O1M – проекція апофеми правильної n-кутної піраміди

На основу піраміди. ∠SMO1 = α,

Тоді Комбінації тіл і O – центр кулі, вписаної в n-кутну піраміду.

Нехай AB – сторона правильного n-кутника, AB = а.

Тоді зі ΔАО1М: Комбінації тіл

class=""/> Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1081.

Комбінації тіл

Нехай в конус (Δ SAB – осьовий переріз конуса) вписано кулю

З центром в точці О, OO1 + АВ, OO1 = r, ∠SAO1 = α.

Комбінації тіл

Із ΔAOO1: Комбінації тіл

Із ΔSAO1: Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Якщо r = 2 м, α = 50°, то

S ос. пер.= 22 × сtg225° × tg 50° = 4 × (2,1445)2 × 1,1918 = 22 (м2)

Відповідь: Комбінації тіл ≈ 22 м2.

1082.

Комбінації тіл

Нехай у прямому паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1,

У якого A1C = 6 см, B1D = 8 см, вписано кулю з центром в точці О.

ABCD – ромб, висота якого дорівнює діаметру кулі,

Або висоті паралелепіпеда. Нехай АA1 = 2x,

Тоді із ΔAA1C: Комбінації тіл

Iз ΔBB1D: Комбінації тіл

Із ΔAO1D: Комбінації тіл

Комбінації тілКомбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл і Комбінації тіл

То Комбінації тіл або

Комбінації тіл

(36 – 4х2)(64 – 4х2) = (25 – 2х2) × 16х2·,

4 × 4(9 – x2)(16 – x2) = (25 – 2×2) × 16×2; (9 – x2)(16 × x2) = x2(25 – 2×2);

144 – 9×2 – 16×2 + x4 = 25×2× 2×4; 3×4- 50×2 + 144 = 0;

Комбінації тіл

Якщо Комбінації тіл то Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл – не задовольняє умову, бо Комбінації тіл

Якщо Комбінації тіл то Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1083.

Комбінації тіл

Нехай SABC – правильна трикутна піраміда AS = 12 см, ∠SAO1 = 60°,

SO1+ (ABC). O – центр кулі, описаної навколо піраміди.

Проведемо промінь SO до перетину з поверхнею кулі в точці S1.

Тоді ΔSAS1- прямокутний, у якого AS = 12 см і

∠ ASS1= 90° – ∠SAO1 – 90° – 60° = 30°.

Із ΔSAS1: Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1084.

Комбінації тіл

Нехай правильна шестикутна призма ABCDKFA1B1C1D1K1F1 вписана в кулю з центром О. AA1 = 12 см, OC = 10 см.

Iз ΔFF1C:

Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тілКомбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1085.

Комбінації тілКомбінації тіл

Нехай SABC – правильна трикутна піраміда, вписана в кулю з центром О,

OA = OB = OC = OS = 13 см. SO1- висота піраміди OO1 = 5 см.

Проведемо промінь SO до перетину з поверхнею кулі в точці S1.

І випадок (точка O лежить між точками S і O1).

SO1 = SO + OO1= 13 + 5 = = 18 (см),

SS1 = 2SO = 2 × 13 = 26 (см).

Тоді із прямокутного трикутника SAS1:

AS2= SO1× SS1 = 18 × 26 = 468;

Комбінації тіл

II випадок (точка O лежить між точками S і О).

SO1 = SO – OO1 = 13 – 5 = 8 (см).

SS 1 = 2SO = 2 × 13 = 26 (см).

Тоді із прямокутного трикутника SAS 1:

AS2 = SO 1 × SS1 = 8 × 26 = 208;

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл і Комбінації тіл

1086.

Комбінації тіл

SABC – трикутна піраміда, в якій ∠ ABC = 90°, AB = 12 см, BC = 16 см,

SO1+ (ABC). Оскільки ΔABC – прямокутний, то O1- центр кола,

Описаного навколо трикутника ABC:

Комбінації тіл

Оскільки піраміда SABC вписана в кулю з центром О, то продовживши промінь SO до перетину його з поверхнею кулі в т. S1маємо:

AO1 = SO1 × O1S; 102 = SO1× (SS1 – SO1);

100 = SO1(20 – SO1); SO 1 – 20 × SO1 +100 = 0; SO1 = 10 см.

Далі із ΔASO1: Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1087.

Комбінації тіл

SABC – піраміда, ∠ABC = 90°, AB = 10 м, BC = 24 м, SO + (ABC).

K, L, M – точки дотику вписаного в основу піраміди кола:

∠SLO = ∠SMO = ∠SKO = 60°.

Із ΔABC: Комбінації тіл

Комбінації тіл

Із Δ SOL: Комбінації тіл

Sкон. = Sбічн.+Socн. = π × OL × SL+π × OL2 = π×4×8+ π×42 = 32π+16π = 48π (см2).

Відповідь: 48π см2.

1088.

Комбінації тіл

SABC – трикутна піраміда, AC = SC, AB = a, ∠BAC = α; ∠ABC = α. SO + (ABC).

Оскільки усі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, то O – центр кола, описаного навколо трикутника ABC: ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = β.

За теоремою синусів із трикутника ABC маємо: Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Із Δ SOC: Комбінації тіл

Тоді площа S бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди,

Дорівнює π × OC × SC.

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1089.

Комбінації тіл

ABCA1B1C1 – пряма трикутна призма, AB = с, ∠CAB = α, ∠ABC = β, ∠B1AB = φ.

За теоремою синусів із трикутника ABC маємо: Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Де R – радіус кола, описаного навколо трикутника ABC;

Радіус основи циліндра, описаного навколо призми.

Із ΔABB1: BB = AB × tg ∠ B1AB = с tg φ.

Тоді Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1090.

Комбінації тіл

SABCD – правильна чотирикутна піраміда, SO1 + (ABC).

SO = AO = BO = CO = DO = r. ∠SAO1 = ∠SBO1 = ∠SCO1= ∠SDO1 = α.

Проведемо промінь SO до перетину його з сферою в точці S1.

Із прямокутного трикутника SAS1маємо

AS = SS1× cos ∠ASS1 = 2r × cos(90° – α) = 2r sin α.

Із ΔАSS1: AS2 = SO 1 × SS1, тоді

Комбінації тіл

Відповідь: 2r sin2а.

1091.

A)

Комбінації тіл

ABCDA1B1C1D1- прямокутний паралелепіпед, у якого AB = a, AD = b, AA1= с.

O – центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда.

Оскільки OA = OB = OC = OD = OA1 = OB1= OC1= OD1, то O – точка перетину діагоналей паралелепіпеда, а довжина діагоналі дорівнює діаметру кулі.

Тоді Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

Б)

Комбінації тіл

ABCA1B1C1-· пряма призма, AA1 = с, ∠ABC = 90°, AB = a, BC = b.

Оскільки ΔABC – прямокутний, то AC – діаметр кола, описаного навколо трикутника ABC.

Оскільки ΔA1B1C1 – прямокутний, то A1C1- діаметр кола, описаного навколо трикутника A1B1C1.

O – центр сфери, описаної навколо прямої призми.

Із ΔАВС: Комбінації тіл

Із ΔACC1: Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

В)

Комбінації тіл

SABC – піраміда, в якій SA + SB, SA + SC, SB + SC, SA = a, SB = b, SC = с.

O1- центр кола, описаного навколо трикутника SAB. Проведемо переріз сфери площиною, яка проходить через точку C і паралельна площині (SAB).

О2 – центр перерізу.

Тоді точка O – центр кулі є серединою відрізка O1O2, тоді

Комбінації тіл

Із ΔASB маємо: Комбінації тіл

Із ASOO1: Комбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл – радіус кулі, то її діаметр дорівнює Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1092.

Комбінації тіл

Нехай ABCDA1B1CiD1- куб, AB = а. За умовою PA = 2а. ΔPAD = ΔРАB,

Тоді ΔPAD – ΔPA1D2.

Звідси Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл

ΔPA1C2- ΔРАС, тоді Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл

ΔPDC = ΔPBC, ΔPD2C2 = ΔPB2C2, тоді

Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1093.

Комбінації тіл

Нехай ABCDA1B1C1D1- похила призма, в якій AA1 = BB1 = CC1 = DD1= 12 см.

Нехай O і O1- точки дотику сфери, вписаної в похилу призму, з основами призми, тоді O1O = 2 × 3 = 6 (см) і OO1- висота призми.

Провівши A1K? OO1із ΔAA1K, маємо: Комбінації тіл

Отже, Комбінації тіл

Отже, бічне ребро нахилене до площини основи під кутом 30°.

Відповідь: 30°.

1094.

А)

Комбінації тіл

Нехай SABCDS1- правильний октаедр, AB = а.

Розглянемо переріз правильного октаедра площиною, яка проходить через точки S, S1і K – середина ребра DC. SKS1L – переріз – ромб,, оскільки

Комбінації тіл Комбінації тіл

Радіус вписаної в октаедр кулі дорівнює радіусу круга, вписаного в ромб SKS1L, тобто половині висоти ромба.

Із ΔSOK маємо: Комбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

Б)

Комбінації тіл

Нехай SABCDS1- правильний октаедр, AB = а. Радіус кулі, описаної навколо правильного октаедра, дорівнює довжині відрізка SO.

Із ΔSOC: SO2 + OC2 = SC2; 2SO2 = SC2; 2SO2= а2;

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

В)

Комбінації тіл

Нехай SABCDS1- правильний октаедр, AB = а.

Радіус кулі, яка дотикається до всіх ребер даного октаедра, дорівнює радіусу круга, вписаного в квадрат ABCD, тобто Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1095.

Комбінації тіл

Нехай в призму ABCDA1B1C1D1вписано кулю з центром О; O1і O2 – точки дотику кулі до основ призми. O1O2 = 2r. Периметр основи призми дорівнює Р.

Комбінації тіл

Відповідь: 3Pr.

1096.

Комбінації тіл

Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса; а круг, вписаний в трапецію ABCD, – переріз кулі, вписаної в зрізаний конус. AO2 = R, BO1= r.

Нехай OK + AB, OL + CD, тоді KB = BO1, O1C = CL і AK = AO2, DO2 = DL.

Тоді ∠AOB = 90° (оскільки BO і AO – бісектриси кутів. O1BK і KAO2і

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Із ΔAOB: Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1097.

Комбінації тіл

SABCD – правильна піраміда, яка вписана в кулю з центром О. Нехай SO = 4х,

OO1 = 3х. S1- точка перетину променя SO з поверхнею кулі, тоді

S1O1 = OS1- OO1 = 4x – 3х = х.

Із прямокутного трикутника SAS1:

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Проведемо KB + SC, KD + SC.

Із ΔSCD: SM × CD = DK × SC (SM + CD), тоді

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Із Δ BKD: BK2 + DK2- 2BK × KD cos φ = BD2;

Комбінації тіл

735 + 735 – 2 × 735 cos φ = 28 × 56;

1470 -1578 = 1470 cos φ;

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1098.

Комбінації тілКомбінації тіл

Нехай в правильний тетраедр вписана сфера з центром в точці О, тоді

O1O2 = 2R. Нехай AB = х, тоді Комбінації тіл Комбінації тіл

Враховуючи, що Комбінації тіл

Оскільки ΔSOM – ΔSKO1, то Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

SA1B1C1 – правильний тетраедр, тоді радіус кулi вписаної в цей тетраедр, дорівнює Комбінації тіл

Знайдемо A1C1. Оскільки ΔSO1K – ΔSO2K, то Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Оскільки Комбінації тіл

То Комбінації тіл

І тоді Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1099.

Комбінації тіл

Нехай ребро кубаABCDA1B1C1D1, вписаного в конус, дорівнює x, тоді

Комбінації тіл Комбінації тіл

ΔSOD2- ΔSO1H1, тоді Комбінації тіл звідси Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1100.

Комбінації тіл

Нехай призма ABCA1ByC1вписана в конус. Комбінації тілA2O = 10 см, причому

Комбінації тіл

Нехай AB = х, тоді AA1 = 2х.

ΔA2SO – ΔA1SO1, тоді Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: 72 см2.

1101.

Комбінації тіл

SABC – правильна піраміда, SO + (ABC), BK + АС, тоді SK + AC (за теоремою про три перпендикуляри), ∠SKO = α, M – середина SB, OM = m; оскільки ΔSOB – прямокутний і OM – медіана, то SB = 2OM = 2m.

Нехай OK = х, тоді OB = 2х; Комбінації тіл Комбінації тіл

Із ΔASK: AS2 = АК2 + SK2, Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1102.

Комбінації тіл

Нехай ABCA1B1C1- пряма призма, в якій AB = с, ∠A = a, ∠B = β. ∠B1AB = φ.

Із ΔАВС: Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Із ΔABC: Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл

Комбінації тіл

Із ΔABB1: BB1= AB × tg φ = ctg φ.

Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1103.

Комбінації тіл

ΔОАВ – ΔOCD, тоді Комбінації тіл або Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1104.

Комбінації тіл

Нехай SABC – правильний тетраедр, SA = SB = SC = AB = BC = AC = а.

Центр кулі, яка дотикається трьох ребер правильного тетраедра, які виходять з однієї вершини, повинен лежати на бісектрисі відповідного трьохгранного кута, яка збігається з висoтою тетраедра, проведеної з цієї ж вершини. Оскільки всі чотири бісектриси перетинаються в одній точці – центрі вписаної в тетраедр кулі. Тому досить розглянути трикутник SOC, де SO – висота тетраедра, SC – його ребро, SC = а, O – центр шуканої кулі і кулі, вписаної в тетраедр.

ΔSOA – ΔSDO1, тоді Комбінації тіл

Оскільки SC = а, Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл

То Комбінації тіл звідси Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1105.

Комбінації тіл

DABC — тетраедр, AB = CD = 6, Комбінації тіл

Нехай K i L – середини ребер AB і CD. Оскільки трикутники ADB і ACB – рівнобедрені, то CK + AB і DK + AB. Отже, кут DKC – лінійний кут двогранного кута з ребром АВ. Із прямокутних трикутників ADK і ACK знаходимо

Комбінації тіл

ΔDKC – рівнобедрений, тому KL – бісектриса кута CKD. Тоді півплощина ALB (з межею АВ) – бісектор двогранного кута з ребром АВ.

Аналогічно встановлюємо, що CDK – півплощина (з межею CD) є бісектором двогранного кута з ребром CD. Центр кулі, вписаної в тетраедр, лежить на відрізку KL – перетині цих бісекторів. Комбінації тіл

Із прямокутного трикутника LKB: Комбінації тіл

Нехай О1 – центр вписаної кулі, r – її радіус. Проведемо перпендикуляри OM і ON до граней DBA і DBC, тоді ON = OM = г. Позначимо ще ∠BLK = α, ∠DKL = β.

Із прямокутних трикутників BLK і DKL знаходимо Комбінації тіл Комбінації тіл

Із прямокутного трикутника O1ML маємо Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Тоді із прямокутного трикутника O1NK одержуємо рівняння

Комбінації тіл тоді Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл r = 1,2.

Відповідь: 1,2.

1106.

Комбінації тіл

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда,

В якій AB = BC = CD = AD = 2а. O – центр вписаної і описаної куль.

Нехай SK + ВС, ∠O1KS = 2α. Тоді SO1 = a tg 2α; OO1 = a tg α;

OB = SO1 = OO1 = a tg 2α – а tg α. Комбінації тіл

Із прямокутного трикутника OO1B: OB 2 = OO1 +O1B

(a tg 2α – а tg α)2 – a2 tg2α + 2а2; tg22α – 2 tg α tg 2α + tg2 α = tg2 α + 2;

Tg22α – 2 tg 2а × tg α – 2 = 0;

Комбінації тіл 4 tg2 α – 4 tg2α(1 – Ig2α) – 2(1 – tg2α)2 = 0;

4 tg2α – 4 tg2α + 4 tg2α – 2 + 4 tg2α – 2 tg4α = 0; 2 tg4 α + 4 tg2α – 2 = 0;

Комбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл то Комбінації тіл

Оскільки tg α > 0, то Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл Комбінації тіл

Тоді Комбінації тіл

Далі із Δ SBC: SB2 + SC2- 2SB × SC × cos φ = BC2;

Комбінації тіл Комбінації тіл

Комбінації тіл Комбінації тіл Комбінації тіл φ = 45°.

Відповідь: 45°.

1108.

Комбінації тіл

Нехай ребро куба дорівнює a, AB – його діагональ. O – центр кулі, яка дотикається до граней KLAR, LMNA, RANP, тоді CO = OD = OF = r

І Комбінації тіл Комбінації тіл

Оскільки куля дотикається до ребер KB, BM і BP в точках G, H і Q, то

OG = OH = OQ = r. В ΔOGB: OG = r, GB = а – r, Комбінації тіл

Тоді маємо: OB2= OG2 + GB2; Комбінації тіл

3a2- 6аr + 3r2 = r2 + а2 – 2аr + r2; r2 – 4аr + 2а2 = 0;

Комбінації тіл

Оскільки Комбінації тіл то це значення r умову задачі не задовольняє.

Отже, Комбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл

1109.

Комбінації тілКомбінації тіл

Розглянемо переріз куба площиною, яка проходить через, точки М, N, K – середини ребер куба.

Нехай ребро куба дорівнює а, тоді Комбінації тіл

Радіус вписаної кулі в куб дорівнюєКомбінації тіл Тоді Комбінації тіл Комбінації тіл

І із прямокутного трикутника OAB: Комбінації тіл

ТодіКомбінації тіл

Відповідь: Комбінації тіл


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Кількість груп зчеплення дорівнює.
Ви зараз читаєте: Комбінації тіл