Кут між площинами

Урок 55

Тема. Кут між площинами

Мета уроку: формування поняття кута між площинами та вмінь учнів знаходити кути між площинами.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

1. Фронтальне опитування.

1) Що таке кут між прямою і площиною?

2) Чому дорівнює кут між прямою і площиною, якщо відомо, що пряма:

А) паралельна площині;

Б) перпендикулярна до площини?

3) В яких межах знаходиться кутова міра кута між прямою і пло­щиною?

4) Чи правильно, що:

А) пряма, яка перетинає паралельні площини, перетинає

їх під однаковими кутами;

Б) площина, яка перетинає паралельні прямі, перетинає їх під однаковими кутами?

2. Відповіді на запитання учнів, що виникли в них при виконанні до­машніх задач.

Задача № 36.

Дано: АВ = а; АСКут між площинами?; 1) Кут між площинамиABC = 45°; 2) Кут між площинамиABC = 60°; Кут між площинамиABC = 30° (рис. 284).

Знайти: ВС.

Кут між площинами

1) BC = AB cos Кут між площинамиABC = a cos 45° = Кут між площинами;

2) ВС = AB cos Кут між площинамиABC = a cos60° = Кут між площинами;

3) BC = AB cos Кут між площинамиABC = a cos 30° = Кут між площинами.

B і д

п о в і д ь. а) Кут між площинами; б) Кут між площинами; в) Кут між площинами.

Задача № 38.

Дано: АОКут між площинами?; АО = a; Кут між площинамиABO = 30°; Кут між площинамиACO = 45°;

Кут між площинамиCAB = 90° (рис. 285).

Знайти: ВС.

Кут між площинами

1) Із? АОВ АВ = Кут між площинами = Кут між площинами = 2a.

2) Із? АОС АС = Кут між площинами = Кут між площинами = aКут між площинами.

3) Із? АВС ВС = Кут між площинами = Кут між площинами = аКут між площинами.

Відповідь. аКут між площинами.

Задача № 40.

Дано: АОКут між площинами? ; АО = а; Кут між площинамиABO = Кут між площинамиACO = 30°; Кут між площинамиBOC = 120° (рис. 286).

Знайти: ВС.

Кут між площинами

1) ?АОВ = ?АСО, звідси BO = CO.

2) Із? АОС OC = AO ctg Кут між площинамиACO = a ctg Кут між площинами30° = aКут між площинами.

3) ?ВОС – рівнобедрений. Проведемо OKКут між площинамиВС, тоді Кут між площинамиBOK = Кут між площинамиKOC = 120° : 2 = 60°.

4) Із? ОKС КС = ОС sin Кут між площинамиKOC = аКут між площинамиSin60° =Кут між площинами=Кут між площинами.

Тоді ВС = 2КС = 2 – Кут між площинами = 3а.

Відповідь. 3а.

3. Математичний диктант.

SOКут між площинами(ABO), SA і SB – похилі, SO = а, <AOB = 90°.

Варіант 1. Кут між площинамиSAO = 60°, Кут між площинамиSBO = 45° (рис. 287).

Кут між площинами

Варіант 2. Кут між площинамиSAO = 45°, Кут між площинамиSBO = 30° (рис. 288).

Кут між площинами

Користуючись зображенням, знайдіть:

1) проекцію похилої SA на площину АОВ; (2 бали)

2) довжину похилої SA; (2 бали)

3) проекцію похилої SB на площину АОВ; (2 бали)

4) довжину похилої SB; (2 бали)

5) відстань між основами похилих; (2 бали)

6) відстань між прямими SO і АВ. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. 1) Кут між площинами; 2) Кут між площинами; 3) а; 4) aКут між площинами; 5) Кут між площинами; 6) Кут між площинами.

Варіант 2. 1) а; 2) аКут між площинами; 3) аКут між площинами; 4) 2а; 5) 2а; 6) Кут між площинами.

Нехай дано дві площини? і?, які пере­тинаються по прямій с (рис. 289). Проведемо площину, яка перпендикулярна до прямої с, вона перетне площини? і? по прямих а і b. Кут між прямими а і b називається кутом між площинами? і?.

Кут між площинами

Кут між двома площинами, які перетинаються,- це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпенди­кулярною до лінії перетину даних площин. Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°. Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90°. Отже, якщо? – кут між площинами, то 0°Кут між площинами?Кут між площинами90°. Далі учні самостійно знайомляться з доведенням того, що означений так кут між площинами не залежить від вибору січної площини, за під­ручником (§ 4, п. 33).

Розв’язування задач

1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і ABD (рис. 290).

Кут між площинами

Кут між площинами

Кут між площинами

Кут між площинами

Кут між площинами

Кут між площинами

Рис. 290

Відповідь, а) 90°; б) 45°; в) arctg Кут між площинами; г) 2arctg Кут між площинами; д) 0°; е) 90°.

2. Задача № 43 із підручника (с. 57).

3. Задача № 44 із підручника (с. 57).

4. Задача № 46 із підручника (с. 58).

5. Задача № 47 із підручника (с. 58).

§4, п. 33; контрольне запитання № 16; задачі № 42, 45 (с. 57).

1) Дайте означення кута між площинами.

2) Чи залежить величина кута між площина­ми від вибору січної площини?

3) Площини? і? перетинаються по пря­мій m (рис. 291), точка А належить пло­щині?, точка В – площині?, точка С – прямій m; АСКут між площинамиM, ВСКут між площинамиM, <ACB = 60°. Укажіть, які з наведених тверджень пра­вильні, а які – неправильні:

А) площина АВС перпендикулярна до пря­мої m;

Б) кутом між площинами? і? є кут між прямими ВС і m;

В) кут між площинами? і? дорівнює куту між прямою АС і пло­щиною?;

Г) кут між площинами? і? більший 60° ;

Д) кут між площинами? і? дорівнює 120°.

Кут між площинами


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Текст з диэприкмитниковими зворотами.
Ви зараз читаєте: Кут між площинами