Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

567. (5а + 3)2 = 25а2 + 30а + 9.

568. Тотожності: 3) (12а – b)2= 144а2 – 24аb + b2.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Рівняння коренів не має.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

577. (a – b)2 = (b – a)2 – тотожність, бо (a – b)2 = a2 – 2ab + b2; (b – a)2 = b2 – 2ab + a2, a a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

584. 1) Якщо m = -4, то 2m(m – 6)2 – m2(2m – 15) = 2m(m2 – 12m + 36) – 2m3 + 15m2 = 2m3 – 24m2 + 72m – 2m3 + 15m2 = -9m2 + 72m = -9 • (-4)2 + 72 • (-4) = -9 • 16 – 288 = -144 – 288 =

-432.

2) Якщо х = -3,5, то (2х – 5)2 – 4(x + 1)(x – 7) = 4×2 – 20х + 25 – 4(х2 – 7x + x – 7) = 4х2 – 20x + 25 – 4х2 + 28х – 4х + 28 = 4х + 53 = 4 • (-3,5) + 53 = -14 + 53 = 39.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

588. х см – шукана сторона, S = х2 см2. (х + 5) см – сторона після збільшення. S = (х + 5)2 см2. За умовою (х + 5)2 – х2 = 95; х2 + 10х + 25 – х2 = 95; 10x = 95 – 25; 10х = 70; х = 70 : 10; х= 7 (см) – сторона квадрата.

589. a см – сторона даного квадрата. S = а2 см2. (а – 8) см – сторона нового квадрата. S = (a – 8)2 CM2. За умовою a2 – (a – 8)2 = 352; a2 – a2 + 16a – 64 = 352; 16a = 352 + 64; 16a = 416; a = 416 : 16; a = 26 (CM) – сторона даного квадрата.

590. Нехай х, х + 1, х + 2 – шукані числа, тоді 2(х + 2)2

– 79 = х2 + (х + 1)2;

2(х2 + 4х + 4) – 79 = x2 + x2 + 2х + 1; 2х2 + 8х + 8 – 79 = 2×2 + 2х + 1; 2×2 + 8х – 2×2 – 2x = 1 + 79 – 8; 6x = 72; x = 72 : 6; х = 12.

Тоді 12, 13, 14 – шукані числа.

591. Нехай х, х + 1, х + 2, х + 3 – шукані числа, тоді (х + 1)2 + (х + 3)2 – 82 = x2 + (х + 2)2; x2 + 2x + 1 + х2 + 6x + 9 – 82 = x2 + x2 + 4x + 4; 2×2 + 8х – 72 = 2×2 + 4х + 4; 2×2 + 8х – 2×2 – 4х = 72 + 4; 4х = 76; х = 76 : 4; х = 19.

Отже, 19, 20, 21, 22 – шукані числа.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

593. 1) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) – тотожність; a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); 2a2 + 2b2 = 2a2 + 2b2 – правильна рівність.

2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab – тотожність; a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; 4ab = 4ab – правильна рівність.

3) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab – тотожність; a2 + b2 = a2 + 2ab + b2 – 2ab; a2 + b2 = a2 + b2 – правильна рівність.

4) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + db)2 + (ad – bc)2 – тотожність;

A2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + 2acbd + b2d2 + a2d2 – 2adbc + b2c2;

A2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + bd2 + a2d2 + b2c2 – правильна рівність.

594. 1) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab – тотожність; a2 + b2 = a2 – 2ab + b2 + 2ab; a2 + b2 = a2 + b2 – правильна рівність.

2) (a – b)2 + (ab + 1)2 = (a2 + 1)(b2 + 1) – тотожність;

A2 – 2ab + b2 + a2b2 + 2ab + 1 = a2b2 + a2 + b2 + 1;

A2 + b2 + a2b2 + 1 = a2b2 + a2 + b2 + 1 – правильна рівність.

595. 1) (x – 3)2+ (x + 3)2- 2(x – 6)(x + 6) = x2 – 6x + 9 + x2 + 6x + 9 – 2(x2 – 36) = 2×2 + 18 – 2×2 + 72 = 90. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

2) (4х3 + 5)2 + (2х3 – 1)2 – 4(5х3 + 4)(х3 + 1) = 16х6 + 40х3 + 25 + 4х6 – 4х3 + 1 – 4(5х6 + 5х3 + 4х3 + 4) = 20х6 + 36х3 + 26 – 20х6 – 20х3 – 16х3 – 16 = 10.

Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Отже, значення виразу залежить від значення змінної х.

597. 2n + 1 – непарне число. (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 – непарне число, бо 4n2 + 4n = 4(n2 + n) – парне при будь-якому значенні n, тоді 4n2 + 4n + 1 більше, ніж 4n2 + 4n, на 1, тому непарне.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

601. 1) Знайдемо площу квадрата як суму чотирьох чотирикутників: двох квадратів і двох прямокутників.

S = (а + b)2 або S = а2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Отже, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2) a2 = (a – b)2 + b2 + (a – b) • b + (a – b) • b; a2 = (a – b)2 + b2 + ab – b2 + ab – b2; a2 = (a – b)2 + 2ab – b2; a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 або (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

602. 2n + 1 – непарне число. (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. Оскільки n і n + 1 – послідовні натуральні числа, то одне з них парне і ділиться на 2. Тому 4n(n + 1) ділиться націло на 8, тоді остача від ділення числа (4n(n + 1) + 1) на 8 дорівнює 1.

603. 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3 – чотири послідовних натуральних числа. 4n кратне 4, тому квадрат цього числа ділиться націло на 4.

(4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 1= 4(4n2 + 2n) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.

(4n + 2)2 = 16n2 + 16n + 4 = 4(4n2 + 4n + 1). Остача від ділення на 4 дорівнює 0.

(4n + 3)2 = 16n2 + 24n + 9 = 16n2 + 24n + 8 + 1 = 4(4n2 + 6n + 2) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.

Отже, остача від ділення квадрата натурального числа на 4 дорівнює 0 або 1.

604. х2 + (х + 1)2 – 2х(х + 1) = х2 + х2 + 2х + 1 – 2х2 – 2х = 1. Отже, різниця не залежить від вибору чисел.

605. 16n + 4 – дане натуральне число. (16n + 4)2 = 256n2 + 128n + 16 = 16(16n2 + 8 + 1); ділиться наділо на 16, бо 16 ділиться на 16.

606. 25n + 5 – дане число. (25n + 5)2 = 625n2 + 250n + 25 = 25(25n2 + 10n + 1) – кратне 25, бо 25 кратне 25.

607. 9n + 5 – дане натуральне число. (9n + 5)2 = 81n2 + 90n + 25 = 81n2 + 90n + 18 + 7 = 9(9n2 + 10n + 2) + 7. Остача від ділення квадрата даного числа на 9 дорівнює 7.

608. 11n + 6 – дане число.

Його квадрат (11n + 6)2 = 121n2 + 132n + 36 = 121n2 + 132n + 33 + 3 = 11(11n2 + 12n + 3) + 3.

Остача від ділення квадрата числа на 11 дорівнює 3.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

При а = 1 рівняння має вигляд 0 • х = -1 і не має коренів.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Якщо 6а + 1 = 0, тобто 6а = -1; а = -1/6, рівняння має вигляд Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів і не має коренів.

613. (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2 – тотожність;

4n2 + 4n + 1 + 4n4 + 8n3 + 4n2 = 4n4 + 4n2 + 1 + 8n3 + 4n2 + 4n;

8n2 + 4n4 + 8n3 + 4n + 1 = 4n4 + 8n2 + 8n3 + 4n + 1 – рівність правильна.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Рівність правильна.

615. Нехай x – 2, x – 1, x, x + 1, x + 2 – послідовні натуральні числа (х > 2).

Тоді (х – 2)2 + (х – 1)2 + х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 = х2 – 4х + 4 + х2 – 2х + 1 + х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 = 5х2 + 10 = 5(х2 + 2).

Щоб це число можна було подати у вигляді квадрата натурального числа, необхідно, щоб х2 + 2 було кратне 5.

Але х2 + 2 може закінчуватися цифрами: 3, 6, 7, 8, 1, тому не може бути кратним 5.

Отже, число 5(х2 + 2) не можна подати у вигляді квадрата натурального числа.

616. 1) 3600 • 0,25 = 900 т цукру одержимо з 3600 т буряків;

2) 900 : 0,18 = 5000 т цукрової тростини необхідно для того, щоб отримати 900 т цукру.

617. Нехай апельсинів було х ящиків, тоді бананів (80 – х) ящиків. Апельсинів привезли 10 кг, а бананів 8(80 – х) кг.

Тоді 10 + 8(80 – х) = 740; 10х + 640 – 8х = 740; 2х = 740 – 640; 2x = 100; х = 100 : 2; х = 50 ящиків апельсинів привезли до магазину; 80 – 50 = 30 ящиків бананів привезли до магазину.

50 • 10 = 500 кг апельсинів привезли до магазину;

30 – 8 = 240 кг бананів привезли до магазину.

618. Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів – ймовірність витягнути білу кульку з першої коробки.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів – ймовірність витягнути білу кульку з другої коробки.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів – ймовірність витягнути білу кульку з третьої коробки.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів – ймовірність витягнути білу кульку з четвертої коробки.

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Отже, ймовірність навмання витягнути білу кульку для всіх коробок однакова.

619. 1) Найменше значення виразу х2 дорівнює 0 при х = 0.

2) Найменше значення виразу х2- 16 дорівнює -16 при х = 0.

3) Найменше значення виразу (х + 4)2 + 20 дорівнює 20 при х = -4.

620. 1) Найбільше значення виразу – х2 дорівнює 0 при х =0.

2) Найбільше значення виразу – х2 + 4 дорівнює 4 при х = 0.

3) Найбільше значення виразу 12 – (х – 1)2 дорівнює 12 при х = 1.

621. 1) (х – 1)2 + (х + 1)2 = -10. Ця рівність не виконується при жодному значенні х.

2) (х – 1)2 + (х + 1)2 = 0; таких значених немає, при яких виконується ця рівність.

3) (х2 – 1)2 + (х + 1)2 = 0; рівність виконується при х = -1.

622. 1) (х + 2)2 + (у – 6)2 = -1; таких значень х і у немає, при яких виконується рівність.

2) (х + 2)2 + (у – 6)2 = 0. Ця рівність виконується при х = -2 і у = 6.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Ви зараз читаєте: Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів