Квадратична функція – Функції та графіки



Математика – Алгебра

Функції та графіки

Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду Квадратична функція   Функції та графіки, де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому Квадратична функція   Функції та графіки.
Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння Квадратична функція   Функції та графіки.
Теорема. Якщо Квадратична функція   Функції та графіки і Квадратична функція   Функції та графіки – корені квадратного

тричлена Квадратична функція   Функції та графіки, то
Квадратична функція   Функції та графіки.
Приклади
1) Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки або
Квадратична функція   Функції та графіки.
2) Скоротити дріб.
а) Квадратична функція   Функції та графіки;
б) Квадратична функція   Функції та графікиКвадратична функція   Функції та графіки;
в) Квадратична функція   Функції та графіки
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду
Квадратична функція   Функції та графіки, де x – незалежна змінна, a, b, c – довільні числа, причому Квадратична функція   Функції та графіки.
Графіки функцій Квадратична функція   Функції та графіки і Квадратична функція   Функції та графіки – рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.
Будь-яку функцію Квадратична функція   Функції та графіки можна представити у вигляді Квадратична функція   Функції та графіки, де m і Квадратична функція   Функції та графіки, n – деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції Квадратична функція   Функції та графіки можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції Квадратична функція   Функції та графіки.
Приклад
Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки
Квадратична функція   Функції та графіки
Квадратична функція   Функції та графіки.
Отже, щоб дістати графік функції Квадратична функція   Функції та графіки, треба зробити з графіком функції Квадратична функція   Функції та графіки такі перетворення:
1) відобразити симетрично осі Ox;
2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;
3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.
Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції Квадратична функція   Функції та графіки:
Квадратична функція   Функції та графіки
При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.
1. Координати вершини параболи Квадратична функція   Функції та графіки:
xв= Квадратична функція   Функції та графіки; yв= Квадратична функція   Функції та графіки або yв= y(xв).
Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.
2. Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими:
Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння Квадратична функція   Функції та графіки.
Якщо це рівняння має два різних корені Квадратична функція   Функції та графіки і Квадратична функція   Функції та графіки, графік перетинає вісь Ox у точках Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Якщо це рівняння має один корінь (тобто Квадратична функція   Функції та графіки), то цей корінь Квадратична функція   Функції та графіки.
Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати Квадратична функція   Функції та графіки.
Якщо це рівняння не має коренів Квадратична функція   Функції та графіки, парабола не перетинає вісь Ox.
3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.
Якщо Квадратична функція   Функції та графіки, вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо Квадратична функція   Функції та графіки, вітки параболи напрямлені вниз.
4. Парабола є симетричною відносно прямої Квадратична функція   Функції та графіки.
На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.
1) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки; xвКвадратична функція   Функції та графіки.
2) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
x1 = x2 = xв=
= Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
3) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
xв> 0; Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
4) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки;
xв= Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
5) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки;
x1= x2= xв= Квадратична функція   Функції та графіки<0.
Квадратична функція   Функції та графіки
6) Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки;
xв= Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
Приклад
Побудувати графік функції Квадратична функція   Функції та графікиКвадратична функція   Функції та графіки. Квадратична функція   Функції та графіки – вітки параболи напрямлені вниз.
xв= Квадратична функція   Функції та графіки; xв= Квадратична функція   Функції та графіки;
yв= Квадратична функція   Функції та графіки, yв= Квадратична функція   Функції та графіки.
Вершина: (3; 1).
Точка перетину з віссю Oу:
Квадратична функція   Функції та графіки; (0; –8).
Точки перетину з віссю Ox:
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки;
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
(2; 0); (4; 0).
На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.
1. Квадратична функція   Функції та графіки.
2. Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки – множина значень функції, тобто множина всіх значень y.
3. Квадратична функція   Функції та графіки при Квадратична функція   Функції та графіки і при Квадратична функція   Функції та графіки.
4. Точки перетину графіка з осями коор­динат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5. Квадратична функція   Функції та графіки при Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки при Квадратична функція   Функції та графіки.
6. Функція зростає при Квадратична функція   Функції та графіки, функція спадає при Квадратична функція   Функції та графіки.
7. Найбільше значення функції – Квадратична функція   Функції та графіки, найменшого значення функції немає.
8. Графік функції – парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі Квадратична функція   Функції та графіки, вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду Квадратична функція   Функції та графіки, де Квадратична функція   Функції та графіки, b, c – дані числа, а правою – нуль, то таку нерівність називають Квадратною не­рівністю.
Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних ­функцій.
Для цього треба:
1) знайти корені тричлена Квадратична функція   Функції та графіки або з’ясувати, що їх немає;
2) зобразити схематично графік функції Квадратична функція   Функції та графіки, звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;
3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.
Приклади
1) Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
На ескізі графіка функції Квадратична функція   Функції та графіки (див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
2) Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).
Відповідь: (0; 0,9).
3) Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки – коренів немає.
Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
4) Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки
Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
5) Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
6) Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
7) Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки.
Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “за коренями”, а від’ємних – “між коренями”; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “між коренями”, а від’ємних – “за коренями”.

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду Квадратична функція   Функції та графіки, де Квадратична функція   Функції та графіки, називається Біквадратним.
Для його розв’язання вводять нову змінну:
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Приклади
1) Квадратична функція   Функції та графіки.
Нехай Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки. Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
2) Квадратична функція   Функції та графіки.
Нехай Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки не задовольняє умову Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
3) Квадратична функція   Функції та графіки.
Нехай Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки.
t1 і t2 не задовольняють умову Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: коренів немає.
Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види ­рівнянь.
Приклади
1. Квадратична функція   Функції та графіки.
Нехай Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки не задовольняє умову Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
2. Квадратична функція   Функції та графіки.
Нехай Квадратична функція   Функції та графіки.
Тоді Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
а) Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки,
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.
б) Квадратична функція   Функції та графіки.
Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки,
Квадратична функція   Функції та графіки; Квадратична функція   Функції та графіки.
Відповідь: Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки, Квадратична функція   Функції та графіки.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Об'ява про внесення готівки.
Ви зараз читаєте: Квадратична функція – Функції та графіки