Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо – Савара – Лапласа
ФІЗИКА
Частина 3 ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ
Розділ 9 МАГНЕТИЗМ. МАГНІТНЕ ПОЛЕ ЕЛЕКТРИЧНОГО СТРУМУ
9.3. Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо – Савара – Лапласа
У 1820 р. французькі вчені Ж. Біо і Ф. Савар дослідили магнітні поля, створені в повітрі прямолінійним струмом, коловим струмом, соленоїдом тощо. На основі багатьох дослідів вони дійшли таких висновків:
А) в усіх випадках індукція В магнітного поля електричного струму пропорційна силі струму;
Б) магнітна індукція залежить від форми й розмірів провідника
В) магнітна індукція В у довільній точці поля залежить від положення цієї точки щодо провідника зі струмом.
Ж. Біо і Ф. Савар намагалися знайти загальний закон, який би дав змогу визначити індукцію в кожній точці магнітного поля, утвореного електричним струмом, що проходить по провідниках довільної форми. Проте зробити це їм не вдалося. На їхнє прохання це завдання розв’язав видатний французький учений П. Лаплас. Урахувавши векторний характер індукції В, він висловив важливу гіпотезу про те, що індукція 
у кожній точці магнітного поля довільного провідника зі струмом
елементарних магнітних полів, утворених кожною ділянкою Δl цього провідника (рис. 9.4). Інакше кажучи, П. Лаплас скористався принципом суперпозиції для магнітних полів. Він узагальнив результати експериментів Ж. Біо і Ф. Савара у вигляді диференціального закону, який пізніше дістав назву закону Біо – Савара – Лапласа:
У векторній формі закон Біо – Савара – Лапласа має такий вигляд:
Де I – сила струму, що проходить по провіднику; Δ
– вектор, що чисельно дорівнює довжині Δl елемента провідника і за напрямом збігається з напрямом електричного струму; 
– радіус-вектор, проведений від елемента провідника Δl у досліджувану точку поля; r – модуль радіуса-вектора ; α – кут між Δl і радіусом-вектором ; k’ – коефіцієнт пропорційності, що залежить від вибору одиниць фізичних величин, які входять у формули (9.4) і (9.5), а також від магнітних властивостей навколишнього середовища. Напрям вектора Δ визначається напрямом векторного добутку, а тому вектор Δ перпендикулярний до площини, що містить вектори Δ I , і напрямлений так, що з кінця вектора Δ поворот від вектора Δ до суміщення з вектором за найкоротшим шляхом відбувається проти ходу стрілки годинника.
Рис. 9.4
У СІ 
, де μ – відносна магнітна проникність середовища, а μ0 – магнітна стала. Тоді
Таку форму запису закону Біо – Савара – Лапласа називають раціоналізованою. Далі користуватимемося саме нею.
Формули (9.4)-(9.6) визначають індукцію магнітного поля, що спричинюється в даній точці А елементом струму Δl. Повна індукція магнітного поля у точці А дорівнюватиме векторній сумі Δ полів усіх елементів, на які умовно розбито контур зі струмом:
Крім магнітної індукції вводиться також інша векторна характеристика магнітного поля, яку називають напруженістю. Напруженість магнітного поля 
не залежить від магнітних властивостей середовища і характеризує магнітне поле, що його створює струм.
У випадку однорідного й ізотропного середовища
Закон Біо – Савара – Лапласа можна записати і для напруженості магнітного поля
Або у векторній формі
Порівняння векторних характеристик електростатичного (
і 
) та магнітного ( і ) полів показує, що аналогом вектора напруженості електростатичного поля є вектор магнітної індукції , оскільки і визначають силові дії полів і залежать від властивостей середовища, в якому створено відповідні поля. У свою чергу, аналогом вектора електричної індукції є вектор напруженості магнітного поля.
Розглянемо застосування закону Біо – Савара – Лапласа до розрахунків конкретних полів.
Визначимо індукцію магнітного поля струму, що проходить по нескінченно довгому прямолінійному провіднику, в точці А, яка розміщена на відстані R від провідника (рис. 9.5). За законом Біо – Савара – Лапласа елемент Δli провідника зі струмом І створює в точці А магнітне поле з індукцією
Оскільки вектори ΔI i І для всіх ділянок прямолінійного провідника містяться у площині рисунка, всі вектори ΔI, що характеризують магнітні поля, від окремих елементів провідника в точці А напрямлені перпендикулярно до площини рисунка (до читача). Це спрощує визначення індукції результуючого магнітного поля. Вектор напрямлений також перпендикулярно до площини рисунка, а його модуль дорівнює алгебраїчній сумі модулів векторів Δ:
Рис. 9.5
Із трикутників abc і Aba (див. рис. 9.5), які мають спільну сторону аb, випливає, що 
Звідси
Розділивши ліву і праву частини рівності (9.13) на ri2 і замінивши ri sin αi = R, дістанемо
Підставивши вираз (9.14) у (9.12), перейдемо до інтегрування, беручи Δαi та Δli нескінченно малими. У випадку нескінченно довгого прямолінійного провідника кут φ змінюватиметься від 0 до π. Ці значення візьмемо за межі інтегрування. Тоді можна записати
Отже, індукція В у кожній точці магнітного поля нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом І прямо пропорційна силі струму і обернено пропорційна найкоротшій відстані цієї точки від провідника зі струмом.
Напруженість магнітного поля нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом визначають за формулою
Обчислимо індукцію магнітного поля в центрі колового струму. Нехай струм проходить по кільцевому провіднику радіуса R. Тоді, за законом Біо – Савара – Лапласа, індукція магнітного поля dВ від елемента dl у центрі кільця буде
Оскільки в цьому разі r = R і α = 
, то
Напруженість магнітного поля в центрі колового струму визначають зі співвідношення
Аналогічно можна показати, що індукція та напруженість магнітного поля нескінченно довгого соленоїда на його осі
Де n – число витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...