Наслідки теореми косинусів



УРОК № 5

Тема. Наслідки теореми косинусів

Мета уроку: виведення наслідків із теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідків з неї до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему косинусів до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашнього завдання можна за

записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі

Нехай а = 5 м, b = 6 м, с = 1 м. Тоді:

1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos?; 25 = 36 + 49 – 2 • 6 • 7 • cos?; 84cos? = 60; cos? = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів.

2) b2 = a2 + c2 – 2accos?; 36 = 25 + 49 – 2 • 5 • 7 • cos?; 70cos? = 38; cos? = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів.

3) c2 = a2 + b2 – 2abcos?; 49 = 25 + 36 – 2 • 5 • 6 • cos?; 60cos? = 12; cos? = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів.

Відповідь. Наслідки теореми косинусів; Наслідки теореми косинусів; Наслідки теореми косинусів.

Самостійне виконання вправ

Двоє учнів виконують завдання за відкидними

дошками, решта – у зошитах. Після закінчення роботи слід виконати самоперевірку (взаємоперевірку) під керівництвом учителя за записами, що зроблені на відкидних дошках.

Варіант 1

1. Дві сторони трикутника дорівнюють 3Наслідки теореми косинусів см і 1 см, а кут між ними становить 135°. Знайдіть третю сторону. (Відповідь. 5 см) 2. Сторони трикутника дорівнюють 4Наслідки теореми косинусівСм, 7 см, 5 см. Знайдіть кут, який лежить проти найменшої сторони. (Відповідь. 45°)

Варіант 2

1. Дві сторони трикутника дорівнюють 3Наслідки теореми косинусівСм і 2 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть третю сторону. (Відповідь. 7 см) 2. Сторони трикутника дорівнюють 5Наслідки теореми косинусівСм, 13 см і 7 см. Знайдіть кут, який лежить проти найменшої сторони. (Відповідь. 30°)

II. Поетапне сприймання й усвідомлення навчального матеріалу

Застосування теореми косинусів

Формула a2 = b2 + c2 – 2bc cos? дозволяє знаходити довжину однієї зі сторін за відомими довжинами двох інших сторін і кутом між ними.

Теорема косинусів дозволяє також за даними сторонами трикутника знаходити його кути.

Так, із рівності a2 = b2 + c2 – 2bc cos? одержуємо: 2bc cos? = b2 + с2 – а2, звідси cos? = Наслідки теореми косинусів.

Якщо а2 < b2 + с2, то b2 + с2 – а2 > 0 і, отже, cos? > 0, тобто 0° < ? < 90° , кут Наслідки теореми косинусівА – гострий.

Якщо а2 = b2 + с2, то b2 + с2 – а2 = 0 і, отже, cos? = 0, тобто? = 90°, Наслідки теореми косинусівA – прямий.

Якщо а2 > b2 + с2, то b2 + с2 – а2 < 0 і, отже, cos? < 0, тобто 90° < ? < 180°, Наслідки теореми косинусівA – тупий.

Таким чином, користуючись теоремою косинусів, можна визначати вид кутів (гострий, прямий, тупий) трикутника, не обчислюючи самих кутів.

Розв’язування вправ

Визначте вид кута трикутника, який лежить проти найбільшої сторони, якщо сторони трикутника дорівнюють:

А) 7 м, 8 м, 12 м; б) 3 см, 4 см, 5 см; в) 8, 10, 12.

Розв’язання

А) Оскільки (72 + 82) – 122 = 49 + 64 – 144 = – 31 < 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є тупим.

Б) Оскільки (32 + 42) – 52 = 9 + 16 – 25 = 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є прямим.

В) Оскільки (82 + 102) – 122 = 64 + 100 – 144 = 20 > 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є гострим.

Наслідки з теореми косинусів

Якщо розглянути формулу a2 = b2 + с2 – 2bc cos?, то вираз bcos? являє собою проекцію сторони b на сторону с або продовження сторони с і позначається прсb.

Якщо 0° < ? < 90°, то із трикутника ACD (рис. 12, а) маємо

AD = bcos? = npcb, і тоді а2 = b2 + с2 – 2с прсb.

Якщо 90° < ? < 180°, то із трикутника ACD (рис. 12, б) маємо

AD = b • cos(l80°- ?) = – bcos? = npcb, і тоді а2 = b2 + c2 + 2c npcb.

Наслідки теореми косинусів

Таким чином, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін “±” подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої на першу. Знак “+” слід брати тоді, коли протилежний кут тупий, а знак “-” – коли гострий.

Розв’язування задач

1. Сторони трикутника дорівнюють 4 м, 5 м і 6 м. Знайдіть проекції сторін 4 м і 5 м на пряму, на якій лежить сторона 6 м.

Розв’язання

Нехай АВ = 5 м, ВС = 4 м, АС = 6 м (рис. 13).

Тоді ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АСпрАСАВ; 16 = 25 + 36 – 2 • 6 • прАСАВ;

12 • прАСАВ = 45; прАСАВ = Наслідки теореми косинусів = 3Наслідки теореми косинусів (м).

Аналогічно AS2 = ВС2 + AC2 – 2 • AC • npACВС; 25 = 16 + 36 – 2 • 6 • прАСВС; 12 • прАсВС = 27; прАСВС = Наслідки теореми косинусів = 2Наслідки теореми косинусів = 2Наслідки теореми косинусів (м).

Відповідь. 2Наслідки теореми косинусів м, 3Наслідки теореми косинусівМ.

Наслідки теореми косинусів

2. Знайдіть висоти трикутника, сторони якого дорівнюють 5 м, 6 м, 7 м.

Розв’язання

Нехай а = 5 м, b = 7 м, с = 6 м (рис. 14). Оскільки a2 = b2 + c2 – 2b npbc, то 25 = 49 + 36 – 14 • npbc, 14 • прbc = 60, прbc = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів = 4Наслідки теореми косинусів (м), AD = 4Наслідки теореми косинусів м.

Із трикутника ABD маємо: BD = Наслідки теореми косинусів= Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів = = Наслідки теореми косинусів (м).

Оскільки b2 = а2 + с2 – 2с прса, то 49 = 25 + 36 – 12 • прса, 12 • прса = 12, прса = 1, КВ = 1 м.

Із трикутника BCK маємо: СК = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів= Наслідки теореми косинусів= 2Наслідки теореми косинусів (м).

Оскільки c2 = a2 + b2 – 2a npab, то 36 = 25 + 49 – 2 • 5 • npab, 10 npab = 38, npab = Наслідки теореми косинусів = Наслідки теореми косинусів = 3Наслідки теореми косинусів (м), CF = 3Наслідки теореми косинусівМ.

Із трикутника ACF маємо: AF = Наслідки теореми косинусів= Наслідки теореми косинусів=Наслідки теореми косинусів=Наслідки теореми косинусів (м).

Відповідь. Наслідки теореми косинусівМ, 2Наслідки теореми косинусівМ, Наслідки теореми косинусівМ.

Наслідки теореми косинусів

ІІІ. Домашнє завдання

1. Вивчити наслідки з теореми косинусів. 2. Розв’язати задачі. 1) Дано дві сторони трикутника а і b, які дорівнюють відповідно 12 і 8 см та утворюють кут?, який становить 60°. Знайдіть третю сторону трикутника і два інших кути. 2) Дано три сторони трикутника: а = 4, b = 5, с = 1. Знайдіть кути цього трикутника. 3) Дано трикутник зі сторонами а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с. (Цю задачу можна запропонувати для учнів, які цікавляться математикою.)

IV. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Заповніть пропуски:

А) у трикутнику ABC b2 = с2 + … – …;

Б) у трикутнику ABC cos? = Наслідки теореми косинусів;

В) якщо в трикутнику ABC a2 = b2 + c2, то трикутник…;

Г) якщо в трикутнику ABC b2 > a2 + c2, то Наслідки теореми косинусівB – …;

Д) якщо в трикутнику ABC b2 < a2 + с2, то Наслідки теореми косинусівB – ….

2. Визначте вид кута трикутника, який лежить проти найбільшої сторони трикутника, сторони якого дорівнюють:

А) 2 см, 3 см, 4 см;

Б) 3 см, 4 см, 5 см;

В) 4 см, 5 см, 6 см.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Застосування нітратів і нітритів.
Ви зараз читаєте: Наслідки теореми косинусів