Об’єм піраміди і конуса



1.

Об’єм Піраміди Хеопса V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

2.

Знайдемо відношення довжин висоти і сторони основи на прикладі піраміди Хеопса.

Площа основи піраміди – квадрат з площею 5,3 га. Отже, сторона основи дорівнює приблизно 230,22 м.

Відношення стoрони основи до висоти: Обєм піраміди і конуса що приблизно дорівнює

Співвідношенню золотого перерізу.

З.

Нехай висота n-кутної піраміди Н – 10 м.

1. Об’єм правильної трикутної піраміди: Обєм піраміди і конуса

2. Об’єм правильної чотирикутної піраміди:

Обєм піраміди і конуса

3. Об’єм правильної шестикутної піраміди: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1) Обєм піраміди і конуса 2) Обєм піраміди і конуса 3) Обєм піраміди і конуса

4.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – дана піраміда, SO – висота, SO = Н,

BD + АС, BD = h, BE – медіана, АЕ = ЕС.

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відпoвідь: 1 : 1.

5.

Обєм піраміди і конуса

Нехай АВСА1В1С1 – дана призма, АВ = ВС = АС = а, ВВ = H.

Об’єм V призми: Обєм піраміди і конуса

Об’єм V2піраміди: Обєм піраміди і конуса

Об’єм V3частини призми

без піраміди:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1 : 5.

6.

ГМТ вершин рівновеликих пірамід із спільною основою є площина паралельна основі.

Відповідь: площина паралельна основі.

7.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCDEF – дана піраміда, SO + (ABCDEF), SO = 1 м.

SL – апофема, ∠LSO = 30°.

З ΔSOL: Обєм піраміди і конуса

Нехай в ΔOLE ОЕ = 2х, EL = х, тоді: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

8.

1)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС = СА = а.

Проведемо AD + ВС, за теоремою про три перпендикуляри

Отримаємо SD + AD, отже, ∠SDA = 45°.

OD – радіус вписаного кола в ΔABC, Обєм піраміди і конуса

∠SOD – прямокутний, ∠SDA = 45°, отже, ∠OSD = 45°,

Обєм піраміди і конуса

Об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса

2)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA = а.

Проведемо OK + CD, тоді SK + CD (за теоремою про три перпендикуляри),

Отже, ∠SKO = 45°. Обєм піраміди і конуса

3 ΔSOK: Обєм піраміди і конуса оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45°.

Об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса

3)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCDEF – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = a.

Проведемо OK + DE, тоді SK + DE (за теоремою про три перпендикуляри).

З ΔОКЕ: Обєм піраміди і конуса

В ΔSOK SO = OK, оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45°, Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1) Обєм піраміди і конуса 2) Обєм піраміди і конуса 3) Обєм піраміди і конуса

9.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – правильний тетраедр. АВ = ВС = АС = SA = SB = SC = а.

Площа основи Обєм піраміди і конуса ВМ – медіана, бісектриса і висота, Обєм піраміди і конуса

Нехай SO – висота, тоді Обєм піраміди і конуса

З ΔSOB: Обєм піраміди і конуса

Отже, шуканий об’єм: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

10.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда.

АВ = ВС = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a.

3 ΔACD: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3 ΔSOD: Обєм піраміди і конуса

Отже, шуканий об’єм: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

11.

Нехай SABC – правильна трикутна піраміда. SA = SB = SC = l, SO + (ABC).

1)

Обєм піраміди і конуса

∠CΒΟ = β. 3 ΔSOB: SO =SB × sin∠SBO=l × sinβ; OB = SB × cos∠SBO= l × cosβ;

OB – радіус описаного кола. Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди дорівнює: Обєм піраміди і конуса

2) Проведемо ВК + АС, тоді SK + АС (за теоремою про три перпендикуляри),

∠SKO = а. Позначимо АВ = ВС = АС = а, тоді КО – радіус вписаного кола в ΔABC,

Обєм піраміди і конуса

З ΔSKO: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3 ΔSKC: SC2 – KC2 = SK2; Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

L2× 12 cos2 α = a2(3cos2 α + 1); Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, AB = BC = СА, SA = SB = SC = І,

∠ASC = ∠CSB = ZASB = γ. Проведемо SD + AC. Оскільки трикутник SAC

Рівнoбедрений, то SD буде і бісектрисою. Обєм піраміди і конуса

З ΔASD: Обєм піраміди і конуса тоді Обєм піраміди і конуса

Оскільки в основі лежить правильний трикутник, то АО – радіус описаного кола.

Обєм піраміди і конуса

З прямокутного ΔSOA: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

4)

Обєм піраміди і конуса

Нехай DABC – правильна трикутна піраміда, DО – висота, F – середина АС.

Проведемо СЕ + DB, АЕ + DB, ∠AEC = δ.

Позначимо сторону трикутника ABC через а. Обєм піраміди і конуса

Нехай ∠ZDBC = ∠ZDCF = х. Знайдемо кут х.

З прямокутного трикутника ЕВС: EC = СВ × sin∠EBC = а × sin х.

З прямокутного ΔEFC: Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

З ΔDFC: DF = l × sin∠DCF = l × sin х; FC = l × cos х. Звідси а = 2l cos х.

Тоді

Обєм піраміди і конуса

Знайдемо DO:

Обєм піраміди і конуса

Отже, шуканий об’єм

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1) Обєм піраміди і конуса 2) Обєм піраміди і конуса 3) Обєм піраміди і конуса4) Обєм піраміди і конуса

12.

1.1)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, AS = ВС = CD = DA; SA = SB = SC = SD = l,

∠SCA = β.`

3 ΔSOC: OC = SC × cos ∠SCA = l cos β; AC = 2l cos β; SO = SC × sin∠SCA = l sin β.

З ΔABC: AC2 = AB2 + BC2; 4l cos2 β = 2AB2; AB2 = 2l2 cos2β; Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

1.2)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD = l.

Проведемо OK + DC, тоді за теоремою про три перпендикуляри SK + DC,

Отже, ∠SKO = α. Нехай сторона квадрата дорівнює а, тоді Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔSDK: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

1.3)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD =l,

∠ASB = ∠BSC = ∠CSD = ∠DSA = γ.

Проведемо SK + DC. Трикутник SDC – рівнобедрений,

Отже, SK – також є і бісектрисою, Обєм піраміди і конуса

З ΔSKD: Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конусаАО – радіус описаного кола, Обєм піраміди і конуса

З прямокутного ΔSAO:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

1.4)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SO – висота піраміди. ∠BED = δ, Обєм піраміди і конуса Позначимо ∠SCO = х, DC = а.

З ΔOED: Обєм піраміди і конуса

З ΔOЕС: Обєм піраміди і конуса отже, Обєм піраміди і конуса

З ΔSOC: ОС = SC × cos x, Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1.1) Обєм піраміди і конуса 1.2) Обєм піраміди і конуса1.3)Обєм піраміди і конуса1.4)Обєм піраміди і конуса

12.2.

1)

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда,

SA = SB = SC =SD = SE = SF = l, ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ∠SDO = ∠SEO = ∠SFO = β.

3 ΔSFO: SO = SF × sin ∠SFO = l × sin β; OF = SE × cos ∠SFO = l × cos β.

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

2) Рисунок з попереднього пункту.

Проведемо OK + DE, тоді SK + DE за теоремою про три перпендикуляри. ∠SKO = α.

Нехай ЕК = а, тоді ОЕ <= 2а.

З ΔΟΚΕ: Обєм піраміди і конуса

З ΔSOK: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔSKE: SE2 = SK2 + ЕК2: Обєм піраміди і конуса

L2 cos2 α = 3а2 + a2 cos2α; l2 cos2α = а2(3 + cos2α);

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V:

Обєм піраміди і конуса

3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠ESD = γ, тоді Обєм піраміди і конуса

(оскільки SK є і медіаною і бісектрисою).

З ΔSKE: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔЕОК: Обєм піраміди і конуса

З ΔSOK: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

4) Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда з ребром l.

Проведемо СК + SD, ЕК + SD, тоді ∠CKE = 5.

З ×CDE за теоремою косинусів маємо:

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔΚΝΕ: Обєм піраміди і конуса

Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β,

Тоді ∠SDN = β.

З ΔKDN: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔSОD. Обєм піраміди і конуса

Sin2β + cos2β = 1; Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1) Обєм піраміди і конуса 2) Обєм піраміди і конуса 3) Обєм піраміди і конуса

4)Обєм піраміди і конуса

12.3.

1)

Обєм піраміди і конуса

На рисунку зображена частина n-кутної піраміди, ∠SBO = β, SB = l.

З ΔSBO: SO = I sin β; BO = І cos β.

Знайдемо площу основи: Soсн = n · SABCD;

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔNOC: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Тоді Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

2) Рисунок з пункту 1.

Обєм піраміди і конуса

Проведемо ON + ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри SN + ВС, ∠SNO = α.

З ΔSNO: SO = NO × tg а.

З ASCO: SO2 = SC2- CO2; Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠BSC = γ, тоді Обєм піраміди і конуса

З ΔBSN: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔBON: Обєм піраміди і конуса

З ΔSON: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

4) На рисунку зображено частина n-кутної піраміди, ∠AKC = 5 – двогранний кут при бічному ребрі.

Знайдемо об’єм піраміди V. Обєм піраміди і конуса

З ΔBAC за теоремою косинусів маємо:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3 ΔBMC: Обєм піраміди і конуса

Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β, тоді ∠SBM = β.

З ΔСКМ: Обєм піраміди і конуса

З ΔКМВ: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔSBO: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔΒΟΝ: Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь·. 1) Обєм піраміди і конуса2) Обєм піраміди і конуса

3) Обєм піраміди і конуса 4) Обєм піраміди і конуса

13.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда. Обєм піраміди і конуса ВС = 4 м, АС = 3 м, ∠SBO = 30°.

З ΔABC за теоремою косинусів: АВ2 = ВС2 + АС2 – 2ВС × АС × cos∠BCA;

3 = 4 + 9 – × 3 × 2 × cos α; 12 cos α = 10; Обєм піраміди і конуса cos2 α + sin2 α = 1;

Обєм піраміди і конуса

З ΔABC за теоремою синусів: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3 ΔSOB: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 0,5 м3.

14.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, АВ = ВС = CD = AD, ∠BAD = 60°.

Проведемо SK + DC, тоді OA + DC (за теоремою про три перпендикуляри).

Отже, ∠SKO = 60°, ОК – радіус вписаного у ромб кола. Обєм піраміди і конуса

З ASOK: Обєм піраміди і конуса

Проведемо BL + AD. BL = 2R.

З ΔABL: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 8 см3.

15.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС; АС = 6 см, ВК = 9 см,

SA = SB = SC = 13 см, О – центр описаного кола, ОВ = R.

ОК = ВК – OB = ВК – R = 9 – R.

З ΔАОК: АО2 = АК2 + ОК2; R2 = 9 + (9 – R)2; R2 = 9 + 81 – 18R + R2; 18R = 90;

R = 5; ОВ = 5 (см).

З ΔSOB: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 108 см3.

16.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, SA = SB = SC, SO + (ABC), SO = 3 см.

Проведемо SD + AC, тоді OD + AC (за теоремою про три перпендикуляри).

Отже, ∠SDO = 30°.

Проведемо SF + ВС, тоді OF + СВ (за теоремою про три перпендикуляри),

Отже ∠ SFO = 60°.

З ΔSDO: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔSOF: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

ODCF – прямокутник, Обєм піраміди і конуса

З Δ О DC:

Обєм піраміди і конуса

З ΔSOC: Обєм піраміди і конуса

Оскільки всі ребра рівні, то Обєм піраміди і конуса

З ΔASD: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3 Δ SFВ: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 18 см3.

17.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, АС = а, ВС = b, ∠ ACB = 90°, ∠ SCO = φ,

SO + (ABC). З ΔАВС: Обєм піраміди і конуса

Точка О – середина гіпотенузи AO = ОВ. Отже, ОС – медіана ΔABC.

Обєм піраміди і конуса

З ΔSOC: Обєм піраміди і конуса

Звідси об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

18.

Обєм піраміди і конуса

Нехай в піраміді SABC бічні ребра SA = a, SB = b, SC = с.

Приймемо за основу піраміди одну з бічних граней, наприклад, SAB.

Тоді основою такої піраміди буде прямокутний трикутник SAB,

А висотою – ребро SC.

Об’єм V такої піраміди буде дорівнювати:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

19.

Обєм піраміди і конуса

Нехай DABC – заданий тетраедр. АА1 = 2 см, BB1 = 3 см, СС1 = 4 см,

DA = DB = DC = а, A1D = а – 2; В1D = а – 3; С1D = а – 4.

V1 =A1D × В1D × С1D = (а – 2)(а – 3)(а – 4); V2 = AD × CD × BD = a × a × a = a3.

V = V2- V1 = a3 – (a – 2)(a – 3)(a – 4): Обєм піраміди і конуса

8((a – 2)(a – 3)(a – 4)) = a3 – (a – 2)(a – 3)(a – 4);

8(a3 – 9a2 + 26a – 24) = a3 – (a3 – 9a2 + 26a -24);

8a3 – 81a2 + 234a – 216 = 0; a = 6.

Відповідь: 6 см.

20.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, AB = a; BC = b; AC = c; SA = SB = SC = l.

AO – радіус описаного кола, S – площа ΔABC. Обєм піраміди і конуса

3 ΔSAO:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Де Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса де Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

21.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана чотирикутна піраміда, АВ = BC = CD = DA = a,

О – центр вписаної кулі. В точках О1 і L куля дотикається до основи

І бічної грані відповідно, OO1 + Ο1K, OL + SK, OL = ОО1 = R. SSDC = SABCD;

SABCD = AB × AD = а2. Обєм піраміди і конуса

За умовою Обєм піраміди і конуса 2а2 = а × SK; SK = 2а.

З ΔSO1K: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

ΔSO1K – ΔSLO. З подібності трикутників маємо: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

22.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – задана піраміда, SO + (ABC), AB = BC = CD = DA.

О1- центр описаної кулі. Проведемо OK + CD, тоді за теоремою

Про три перпендикуляри. SK + CD, ∠SKO = α, SO1 = R, О1В = R.

Нехай сторона основи дорівнює a.

З ΔSOK: Обєм піраміди і конуса

З ΔABD: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔBO1O: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

4 aR tg α=a2 tg2α + 2α2; 4R tg α = a(tg2α + 2);

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

23.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, АС = AB; ∠CAB = β; O1L – ОО1 = r.

Проведемо SK + СВ, тоді АК + СВ (за теоремою про три перпендикуляри).

ΔO1LK = ΔO1OK (O1L = ΟΟ1. Ο1Κ – спільна гіпотенуза). Обєм піраміди і конуса

З ΔO1OК: Обєм піраміди і конуса

З ΔSOK: Обєм піраміди і конуса

Нехай СВ = а, Обєм піраміди і конуса

З ΔACK: Обєм піраміди і конуса

Для знаходження радіуса вписаного кола в ΔABC скористаємося формулою:

Обєм піраміди і конуса де Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

24.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана піраміда, АВ = ВС, ∠ABC = ∠АСВ = α; ∠SAO1 = β;

AO = OS = R. ∠ASO1 = 90° – β; ∠SAO = 90° – β; ∠AOO1 = 2(90° – β) = 180° – 2β.

З ΔΑΟΟ1: АО1 = ΑΟ × sin∠ΑΟΟ1 = R × sin(180° – 2β) = R sin 2β;

ΟΟ1 = AO × cos∠AOO1 = R × cos(180° – 2β) = – R cos 2β.

3 ΔΑBC: Обєм піраміди і конуса ΑΒ = 2R sin 2β × sin а.

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

25.

Об’єм зрізаної піраміди у дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Де h – висота зрізаної піраміди, S1, S2 – площі основ.

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь·. Обєм піраміди і конуса

26.

Об’єм зрізаної піраміди дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Де h висота зрізаної піраміди, S1, S2 – площі основ.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса 21 = 3(4 + а2 + 2а); 7 = 4 + а2 + 2а; а2 + 2а – 3 = 0; а 1 = -3; а2 = 1.

А3 = -3 – не задовольняє умові, отже, сторона верхньої основи a2 = 1.

Відповідь: 1.

27.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCA1B1C1 – зрізана піраміда, AB = BC = СА= a, А1B1 =В1С1 = C1A1= 0,5а. Бічна грань зрізаної трикутної піраміди рівнобока трапеція. Проведемо A1L + АС, тоді

Обєм піраміди і конуса

З ΔA1LA: Обєм піраміди і конуса

O1 і О – центри описаних кіл навколо трикутників А1B1C1 i ABC.

Знайдемо радіуси описаних кіл. Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔΒ1ΒΚ: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

28.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна зрізана піраміда, АС = 8 см, А1С1 = 5 см,

∠A1AC = 45°, АВ = ВС = CD = AD = а; А1В1 = В1C1 = C1D1 = D1A1 = a1.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

АК2 = AD2 + CD2; 64 = 2a2; a2 = 32; Обєм піраміди і конуса S2 = a2 = 32.

Розглянемо діагональний переріз піраміди – AA1C1C.

AA1C1C – рівнобока трапеція. Обєм піраміди і конуса

З Δ A1KA: Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 32,25 см3.

29.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDA1B1C1D1- правильна зрізана чотирикутна піраміда.

АВ = ВС = CD = DA = 14 см, А1В1 = B1C1 = C1D1 = 10 см, A1C = 18 см,

S1 = АВ × ВС = 196 см3; S2 = A1B1 × B1C1 = 100 см 2.

3 ΔA1C1D1: Обєм піраміди і конуса

3 ΔACD: Обєм піраміди і конуса

Розглянемо діагональний переріз піраміди – AA1C1C. AA1C1C – рівнобока трапеція. Проведемо A1K + АС.

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3 ΔΑ1KC: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм зрізаної піраміди:

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 872 см3.

30.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна зрізана чотирикутна піраміда.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса ∠A1AK = 60°.

Проведемо Α1Κ + AD. Обєм піраміди і конуса

3 ΔA1AK: Обєм піраміди і конуса

Проведемо A1L + AC.

3 ΔΑ1C1D1: Обєм піраміди і конуса

3 ΔACD: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3 ΔA1LA: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 42 см 3.

31.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDA1B1C1D1- правильну зрізана чотирикутна піраміда,

SABCD – правильна чотирикутна піраміда.

SABCD = 4 см2, SA1B1C1D1 = 1 см, V зріз. піраміди = 21 см3, O1O = h, SO1 = h1.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

(A1B1C1D1) ? (ABCD); Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конусаH1 = 9.

Отже, висота піраміди SO = SO1 + ОО1 = 9 + 9 = 18 (см).

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 24 см3.

32.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCDEF – правильна шестикутна піраміда,

SO – висота, SO = Η, AB = BC = CD = DE = EF = FA = a.

Нехай S1 – площа ABCDEF. Проведемо площину A1B1C1D1E1F1? ABCDEF. Отримаємо піраміду SA1B1C1D1E1F1. Нехай S2 – площа a1B1C1D1E1F1.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

3QH2= S1H3 – S1h3; S1h3 = S1H3 – 3QH2;

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

33.

Нехай V1- об’єм першої піраміди, V2- об’єм другої піраміди,

Ребро першої піраміди 7х, ребро другої піраміди 5х.

V1 – V2 = q, V2 = V1 – q.

Об’єми подібних многогранників відносяться як кути їхніх

Відповідних лінійних розмірів. Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

125V1 = 343V1 – 343q; 218V1 = 343g;

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

34.

Нехай V1 – об’єм першої піраміди, V2 об’єм другої піраміди,

Mх – ребро першої піраміди, nх – ребро другої піраміди.

V1 + V2 = V; V2= V – V1.

Об’єми подібних многогранників відносяться як куби їхніх

Відповідних лінійних розмірів.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса V1n3 = Vm3 – V1m3; V1 (n3 + m3) = Vm3;

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

35.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Нехай АВСА1B1С1 – зрізана піраміда, ∠A1С1B1 = 90°, А1В1 = n,

∠ACB = 90°, АВ = m.

З ΔA1B1C1: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔABC: АС2 + СВ2 = AB2; 2АС2 = m2; Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

CD – медіана ΔАВС, С1D1 – медіана Δ A1B1C1. Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔD1KD: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм V зрізаної піраміди:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

36.

Обєм піраміди і конуса

Нехай V1 – об’єм піраміди SABC, V2 – об’єм піраміди SA1B1C1,

H – висота піраміди SA1B1C1.

Обєм піраміди і конуса V 1 – V2 = V2 – m: V 1 = V2m + V2 = V2(m + 1).

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

39.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ОА – радіус основи конуса, ОА = 15 см, SA = 25 см.

З ΔSAO: Обєм піраміди і конуса

Об’єм конуса: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1500 см3.

40.

1) Обєм піраміди і конуса

2) Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3) Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 1) 2,25π см3; 2) 9 см; 3) Обєм піраміди і конуса

41.

Нехай діаметр основи – d, радіус основи r = 5 см.

H = d = 2 × 5 = 10 см.

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

42.

Обєм піраміди і конуса

Нехай радіус основи конуса – г, твірна – l, тоді

Sповн. = πr (r + l); πr (r + l) = 45π; r(r +l) = 45.

Довжина кола основи конуса дорівнює С = 2πr, що за умовою

Дорівнює довжині дуги сектора розгортки бічної поверхні конуса,

Обмеженої дугою 60°.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса 6 πr = πl; l = 6г; г(г + 6г) = 4; 7r2 = 45;

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Знайдемо висоту конуса SO з ΔSAO:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

43.

Обєм піраміди і конуса

Нехай AO = r – радіус конуса, SA = l – твірна, Обєм піраміди і конуса

Довжина кола основи конуса С = 2πr.

Обєм піраміди і конуса

З другого боку Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔSOA: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 3 cм3.

44.

Обєм піраміди і конуса

Нехай АО = г – радіус основи конуса, SA = l – твірна конуса,

Обєм піраміди і конуса Довжина кола основи конуса дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Що за умовою задачі дорівнює довжині дуги сектора розгортки

Бічної поверхні конуса, обмеженої дугою, міра якої 90°.

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3 ΔSAO: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 5 см3.

45.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано конус,

АВ = ВС = CD = DA = a, OK – радіус основи піраміди, Обєм піраміди і конуса

SO = H.

Об’єм піраміди V дорівнює: Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Об’єм конуса V, дорівнює: Обєм піраміди і конуса

Відповідь: 72.

46.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма,

АВ = ВС = CD = НА = а, OK – радіус основи конуса, вписаного в призму.

Обєм піраміди і конуса SO – висота конуса, SO = АА1 = H.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

204π = πa2 × Н; а2 × Н = 204. Vпризма = а2 × H = 204 (см3).

Відповідь: 204 см3.

47.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ОА = 27 см, O1A1= 18 см, А1А = 21 см.

Переріз конуса площиною, яка проходить через діаметри основ –

Рівнобока трапеція AA1B1B. Проведемо АК + АВ.

АК = АО – А1O1 = 27-18 = 9 (см).

З ΔΑ1KΑ: Обєм піраміди і конуса

Об’єм V зрізаної піраміди дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

48.

Обєм піраміди і конуса

Нехай AB = ВС, Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

При обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи

Утворюються два рівновеликі конуси з радіусом основи ОВ

І висотою АО, Обєм піраміди і конуса

Об’єм конуса Обєм піраміди і конуса

Об’єм утвореної фігури V1 = 2V = 2 × 147 = 294 (см3)

Відповідь: 294 см3.

49.

Обєм піраміди і конуса

Нехай в ΔABC: Обєм піраміди і конуса ∠B = 90°, ∠CAB = 30°.

Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

З ΔАОВ: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

50.

Обєм піраміди і конуса

Нехай в ΔАВС АВ = ВС = СА = а. Проведемо СК + AB, тоді

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм утвореної фігури V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

51.

Обєм піраміди і конуса

Нехай ABCDEF – правильний шестикутник.

АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = а.

Об’єм утвореної фігури складається з об’єму циліндра,

Двох об’ємів зрізаного конуса без двох об’ємів конуса.

AD – найбільша діагональ шестикутника, AD = 2а.

З ΔAFD: Обєм піраміди і конуса

Vциліндра = π × FD2 × AF = π × 3a2 × a = 3πa3.

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Знайдемо об’єм зрізаного конуса:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Знайдемо об’єм конуса:

Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм утвореної фігури:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

52.

Обєм піраміди і конуса

Нехай SABC – задана правильна трикутна піраміда, АВ = ВС = СА = а.

О – центр кола – основи конуса, ОК – радіус вписаного кола, SO + (ABC),

Обєм піраміди і конуса

З ΔSOK: Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

За умовою Sбічна = 5Sосн. Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса 9H2 = 18а2; Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Отже, Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

53.

Обєм піраміди і конуса

Розглянемо переріз конуса площиною, яка проходить через центр кулі.

KLBA – рівнобока трапеція. Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

З ΔKAD: Обєм піраміди і конуса

Площина ділить піраміду у відношенні 1:1, отже, Обєм піраміди і конусаОбєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

54.

Обєм піраміди і конуса

Нехай О – центр кулі, вписаної в зрізаний конус, ОМ = OF = r, ∠DAM = г.

На рисунку зображено осьовий переріз. ΔAFO = ΔАМО, оскільки FO = МО,

АО – спільна гіпотенуза. Отже, Обєм піраміди і конуса

З ΔАОМ: Обєм піраміди і конуса

З ΔDON, де Обєм піраміди і конуса маємо: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм зрізаного конуса дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса

55.

Обєм піраміди і конуса

На рисунку зображено осьовий переріз конуса, в який вписано циліндр.

SD = l, ∠SDC = α, DE? SD, AF? SC.

З ΔSDO: DO = SD × cos ∠SDC = І × cos α; SO = SD × sin ∠SDC = l × sin α.

Нехай AO1 = r, AB = 2r, DE = 2r, оскільки ABED – паралелограм

(AB? DE, AD? BE). DO = DE + EO = 2r + r = 3r; 3r = l × cos α;

Обєм піраміди і конуса Обєм піраміди і конуса

3 ΔADE: Обєм піраміди і конуса

Отже, об’єм циліндра V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Об’єм конуcа V дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Об’єм V конуса, в основі якого лежить коло з центром у точці O:

Обєм піраміди і конуса

Об’єм V3частини простору, обмеженої січними поверхнями конуса,

Циліндра та їх спільною площиною дорівнює:

Обєм піраміди і конуса

Обєм піраміди і конуса

Відповідь: Обєм піраміди і конуса


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Загальна характеристика неметалічних елементів.
Ви зараз читаєте: Об’єм піраміди і конуса