Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х



УРОК 18

Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометрич­них функцій: у = arcsin х, у = arccos х.

І. Перевірка домашнього завдання

Математичний диктант.

Закінчіть математичні твердження:

1. Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називається…

2. Оберненою до функцій у = х + 3 є функція…

3. Оберненою до функцій у = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х є функція…

4. Оберненою до функцій у = х2, х > 0 є функція…

5. Графіки даної

функції і оберненої до даної симетричні…

6. Якщо дана функція у = f(x) – зростаюча, то обернена до неї функція…

7. Область визначення функції у = f(x), для оберненої функції буде областю…

8. Область значень функції у == f(x) для оберненої функції буде областю…

Відповідь: 1. оборотною. 2. у = х – 3. 3. у = х2 + 1, хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[0; +Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х). 4. у =Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х. 5. відносно прямої у = х. 6. зростаюча. 7. значень. 8. визначення.

II. Сприймання і усвідомлення поняття arcsin? і властивостей функції у = arcsin х

Як ви знаєте, функція у = sin х зростає на проміжку Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х і приймає

всі значення від -1 до 1, тобто кожне своє значення функція приймає в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, ¦а¦Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х 1 на проміжку Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х має єдиний корінь, який називається арксинусом числа а і позначається arcsin a.

Арксинусом числа а називається таке число із проміжку Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хСинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х , бо sin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х і Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Приклад 2. Знайдемо arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х, бо sin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х= Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х і Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Виконання вправ________________________

1. Обчисліть:

A) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin (-1); г) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; д) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; є) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Відповідь: a) 0; б) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) –Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; г) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; д) –Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; e) – Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

2. Які із поданих виразів мають смисл і чому:

A) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) arcsin 1,5; в) arcsin?; г) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; д) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х?

Відповідь: а); г); д).

3. Знайдіть:

А) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) sin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Відповідь: а) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Оскільки кожному значенню х Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[-1; 1] можна поставити у відповідність єдине значення arcsin x, то можна говорити, що існує функція у = arcsin х.

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 110). Розглянемо влас­тивості функції у = arcsin х.

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(у) = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) arcsin (-х) = – arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2 то arcsin х1 > arcsin х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. уmах = y(1) = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х, ymіn = y(-1) = –Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

A) arcsin 0,3 і arcsin 0,2;

Б) arcsin 0,3 і arcsin (-0,3);

В) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х і arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Відповідь: a) arcsin 0,3 > arcsin 0,2;

Б) arcsin 0,3 > arcsin (-0,3);

В) arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х< arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

2. Розташуйте в порядку зростання:

A) arcsin 0,4; arcsin 0,2; arcsin 0,8;

Б) arcsin (-0,1); arcsin (-0,2); arcsin (-0,3);

В) arcsinОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; arcsin (-0,3); arcsin 0,9.

Відповідь: a) arcsin 0,2; arcsin 0,4; arcsin 0,8;

Б) arcsin (-0,3); arcsin (-0,2); arcsin (-0,1);

В) arcsin (-0,3); arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; arcsin 0,9.

3. Знайдіть область визначення функцій:

А) у = arcsin (х + 1);

Б) у = arcsin (х2 – 1);

В) у = arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х ;

Г) у = arcsin 5х.

Відповідь: а) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[-2; 0]; б) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[- Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х]; в) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х(-Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; 0] U [2; +Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х); г) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[-0,2; 0,2].

4. Знайдіть область значень функцій:

А) у = arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) у = arcsin Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Відповідь: а) уОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) уОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

5. Побудуйте графіки функцій:

А) у = arcsin (х – 1); б) y = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х+ arcsin х ; в) у = arcsin | х |; г) у = | arcsin х |.

Відповідь: а) рис. 111; б) рис. 112; в) рис. 113; г)рис. 114.

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

III. Сприймання і усвідомлення поняття arccos a і властивостей функції у = arccos x

Функція у = cos x спадає на відрізку [0; ?] і приймає всі значення від -1 до 1, тому рівняння cos x = а, |а| < 1 на проміжку [0; ?] має єдиний корінь, який називається арккосинусом числа а і позначається arccos a.

Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; ?], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х, бо cos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х= Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х i Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[0;?].

Приклад 2. Знайдіть arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х, бо cos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х = –Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х і Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[0;?].

Виконання вправ______________________________

1. Обчисліть:

A) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) arccos 0; r) arccos (-1); д) arccos 1; є) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Відповідь: a) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; г) ?; д) 0; є) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

2. Які з поданих виразів мають смисл і чому:

A) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; г) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; д) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; є) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х?

Відповідь: б); д); е).

3. Знайдіть:

A) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) arccosОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) cos (arccos (-1)).

Відповідь: a) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в)-1.

Аналогічно можна говорити про функцію у = arccos x. Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, xОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[0; ?] пере­творенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 115).

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Розглянемо властивості функції у = arccos х.

1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(y) = [0;?].

3. Графік не симетричний ні віднос­но початку координат, ні віднос­но осі OY. arccos (-х) = ? – arccos х.

4. Функція спадна. Якщо х1 > х2 то arccos х1 < arccos х2.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. уmах = y(-1) = ?, ymіn = y(1) = 0.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

A) arccos 0,1 і arccos 0,2; б) arccos 0,1 і arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) і arccos (-0,3).

Відповідь: a) arccos 0,1 > arccos 0,2; б) arccos 0,1 < arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) < arccos (-0,3).

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) arccos 0,55; arccos 0,7; arccos 0,1;

Б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9);

В) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

Відповідь: a) arccos 0,7; arccos 0,55; arccos 0,1; б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9); в) arccos Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

3. Знайдіть область визначення функцій:

А) у = arccos (х – 1); б) у = arccos 2x; в) у = arccos (х2 + 1); г) у = arccos (|х| – 1).

Відповідь: а) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[0; 2]; б) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[-0,5; 0,5]; в) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х{0}; г) хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х[-2; 2].

4. Знайдіть область значень функцій: а) у = arccos |х|; б) у = arccos (-|х|).

Відповідь: а) уОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) уОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos хОбернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

5. Побудуйте графіки функцій:

А) у = arccos(x – 1) – Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; б) у = arccos | х | – Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х; в) у = ¦arccos х – Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х¦; г) у = ¦arccos | х | – Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х¦.

Відповідь: а) рис. 116; б) рис. 117; в) рис. 118; г) рис. 119.

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х

IV. Підведення підсумку уроку

V. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (2; 3). Запитання і завдання для повторення розді­лу II № 6; 7; 9; 10; 11; 12 (1, 2, 5, 6, 7, 8).


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Ланцюг живлення це.
Ви зараз читаєте: Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х