Описане та вписане коло трикутника

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 20. Описане та вписане коло трикутника

540. 1) Різносторонній гострокутний трикутник.

Описане та вписане коло трикутника

2) Прямокутний трикутник.

Описане та вписане коло трикутника

3) Тупокутний трикутник.

Описане та вписане коло трикутника

541. 1) Рівнобедрений гострокутний трикутник.

Описане та вписане коло трикутника

2) Рівнобедрений тупокутний трикутник.

Описане та вписане коло трикутника

542.

Описане та вписане коло трикутника

543.

Описане та вписане коло трикутника

544.

Описане та вписане коло трикутника

Вправи

545.

Медіана BD рівнобедреного трикутника ABC є в той же час і серединним перпендикуляром до сторони АС (тому що вона є висотою). Тому точка О належить прямій BD.

Описане та вписане коло трикутника

546. Висота ВН є також і бісектрисою, тому точка О належить прямій ВН.

Описане та вписане коло трикутника

547. Нехай ВН – висота. Якщо точка O належить ВН, то ВН є бісектрисою (бо обидві точки В і О належать бісектрисі ∠В), отже, ?ABC – рівнобедрений.

548. Кожний серединний перпендикуляр до сторін рівностороннього трикутника є також бісектрисою.

549. O1D і О2D – бісектриси кутів ADS i СDВ. Тому Описане та вписане коло трикутникаОписане та вписане коло трикутника

class=""/>

Відповідь: 90°.

550. O1B і O2B є бісектрисами ∠ABD і ∠CBD. Тому Описане та вписане коло трикутникаОписане та вписане коло трикутника

Відповідь: 25°.

551. ?AEM = ?CEM (за двома катетами: ME – спільний катет, АЕ = СЕ, оскільки АС ⊥ ME). Із рівності трикутників випливає, що AM = MC.

Описане та вписане коло трикутника

552. Р? ABC = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + KB + КС + СЕ + ЕА = 8 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 = 28 (см) (бо AM = ЕА, СЕ = КС, MB = ВК – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

553. ВМ = ВК = 3 см – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола.

КС = СЕ = ВС – ВК = 8 – 3 = 5(см). АE = AM = AB – ВМ = 13 – 3 = 10 (см). Тоді АС = АЕ + СЕ = 10 см + 5 см = 15 см.

Відповідь: 15 см.

554. ВН ⊥ АС, тому ВН є серединним перпендикуляром до сторони АС, отже, AH = НС. Тому ВН є медіаною, отже, ?ABC – рівнобедрений.

Описане та вписане коло трикутника

555. Точка О належить бісектрисі кута ABC. Тому бісектриса кута є також і медіаною. Отже, ?ABC – рівнобедрений.

Описане та вписане коло трикутника

556. ?BOD = ?СОЕ (за катетом і гіпотенузою: BO = ОС, DO = OE), тому BD = CE. Оскільки AD = АЕ, маємо: AB =AD + BD = АЕ + CE = АС.

?AOD = ?COF (за катетом і гіпотенузою: АО = ОС, DO = OF), тому AD = CF. Оскільки BD = BF, маємо: AB = AD + BD = CF + BF = BC. Таким чином, AB = BC = АС, отже, ?ABC – рівнобедрений.

Описане та вписане коло трикутника

557. BD :DA = 7 : 5, P = 68 см.

Нехай AD = 5x CM, BD = 7 x см. Тоді AE = 5x см.

P? ABC = 2(AD + BD + AE) = 2(7x + 5x + 5x) = 34x. За умовою 34x = 68; x = 2. Отже, AB = AD + BD = 5x + 7x = 12x = 12 • 2 = 24 (см). BC = AD = 24 CM. AC = AE + EC = 5x + 5x = 10x = 10 • 2 = 20 (см).

Описане та вписане коло трикутника

Відповідь: 24 см, 24 см, 20 см.

558. Р? ABC = 52 см, AD : DB = 2 : 3, CF = 6 см.

Нехай AD = 2х см, DB = 3x см. Тоді BF = 3х см, ЕС = 6 см, АЕ = 2х см, AB = 5х см, ВС = (3х + 6) см, АС = (2х + 6) см.

5х + (3х + 6) + (2х + 6) = 52; 10х = 40; х = 4; 5х = 20; 3х + 6 = 18; 2х + 6 = 14.

Відповідь: 20 см, 18 см, 14 см.

559. Нехай ∠A = 30°, ∠B = 70°, ∠C = 80°. AD = AF – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ?ADF – рівнобедрений, Описане та вписане коло трикутникаОписане та вписане коло трикутника

CF = CE – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ?CFE – рівнобедрений, Описане та вписане коло трикутникаОписане та вписане коло трикутника

BD = BE – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ?BED – рівнобедрений,

Описане та вписане коло трикутника

Описане та вписане коло трикутника

Відповідь: 50°, 75°, 55°.

560. BM = BN – як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола. Отже, Описане та вписане коло трикутника

Описане та вписане коло трикутника Тому ∠BMN = ∠BAC як відповідні кути при прямих MN і АС і січній ВА. Отже, MN || АС.

Описане та вписане коло трикутника

561. ОА = OB, отже, ∠A = ∠OBA, OB = ОС, отже, ∠C = ∠OBC. Тому ∠ABC = ∠A + ∠C. Але ∠A + ∠C = 180° – ∠ABC. ∠ABC = 180° – ∠ABC; 2∠ABC = 180°; ∠ABC=90°. Отже, ?АВС – прямокутний.

Описане та вписане коло трикутника

562. М, К, L – точки дотику, ВС = а. Оскільки BM = ВК, CK = CL – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, то MB + CL = BK + CK = BC = а. Тоді Р? ABC = AM + AL + MB + BK +CK + CL. Оскільки BM = AL, то маємо P? ABC = 2AM + 2а. Звідси Р? ABC = 2р; 2АМ = 2р – 2а; Описане та вписане коло трикутника

Описане та вписане коло трикутника

563.

Описане та вписане коло трикутника

Описане та вписане коло трикутника

564. ?ABC – рівнобедрений (AB = BC), AC = 10 см.

Описане та вписане коло трикутника

Оскільки сума периметрів трикутників ADK, BEF і CMN дорівнює 42 CM, TO маємо, AС + AB + BC = 42, 2AB = 32, AB = 16 (см).

Описане та вписане коло трикутника

Відповідь: 16 см.

565. BD – медіана, BD = DC, AB = 7 см, ВС= 8 см.

Описане та вписане коло трикутника

Описане та вписане коло трикутника

Відповідь: 0,5 см.

566. Розглянемо? АМС. AN, NC – бісектриси. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, отже, MN – бісектриса кута М трикутника АМС. Тоді ∠AMN = ∠CMN.

Вправи для повторення

569. Оскільки BD – бісектриса кута ABC, то ∠ABD = ∠DBC.

Описане та вписане коло трикутника

∠ABP = ∠ABD. Отже, ∠ABP + ∠ABD + ∠DBC =180°; ∠ABP = ∠ABD = ∠DBC = 180° : 3 = 60°, ∠ABD = 60° х 2 = 120°.

Відповідь: 120°.

570. ?ABC – рівнобедрений (AB = ВС), AH ⊥ BC, CL – бісектриса кута С. ∠HOC = 64°.

З? HОС: ∠H = 90°, ∠HOC = 64°, ∠HCO = 90° – 64° = 26°.

Описане та вписане коло трикутника

Оскільки CL – бісектриса, то ∠C = 26° х 2 = 52°, оскільки? BAC – рівнобедрений, то ∠A = ∠C = 52°. ∠В = 180° – ∠A – ∠C = 180° – 52° – 52° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

571. AB = 3 см, ВС = 10 см, AK – бісектриса кута BAD.

Оскільки ВС || AD, то ∠KAD = ∠BKA, отже, ?ABC – рівнобедрений, BK = AB = 3 см, КС = ВС – ВК = 10 см – 3 см = 7 см.

Описане та вписане коло трикутника

Відповідь: 3 см, 7 см.

572. Оскільки? ABC – рівнобедрений, то КС і АМ є і бісектрисами.

Нехай ∠MAC = ∠KCA = α, тоді ∠AOC = ∠KOM = 180° – α, ∠CKM = ∠AMK = α. Отже, ∠MAC = ∠AMK = α. ∠MAC і ∠AMK – внутрішні різносторонні кути при прямих КМ і АС, і вони рівні, отже, КМ || АС.

Описане та вписане коло трикутника

573.

Описане та вписане коло трикутника


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Основні середовища існування.
Ви зараз читаєте: Описане та вписане коло трикутника