Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Урок 38

Тема. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Мета уроку: формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

1. Перевірити виконання задач № 49, 50 за записами, зробленими до початку уроку на дошці.

Нехай ABПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?; АПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?, dПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?; АВ = b, ACПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинD, AC = a (рис. 214). За теоремою про три перпендикуляри ВСПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

class=""/>D, отже, ВС – відстань від точки В до прямої d. Із? АВС ВС = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин.

Відповідь.Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин.

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Нехай FBQD – квадрат (рис. 215). Оскільки точка А рівновіддалена від сто­рін квадрата, то основа перпендикуляра АО точка О (АОПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(АВС)) є центром кола, вписаного в квадрат FBCD, тобто точка О – точка перетину діагоналей квадрата. Проведемо ОМПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинCD, тоді AMПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинCD, AM = a. FC = BD = d.

Із? FCD FD = FC – cos45° = d – Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин= Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин. Тоді ОМ = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

class=""/>FD = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин.

Із? АОМ AO = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин = Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин= Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин.

Відповідь. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин.

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Периметр правильного трикутника дорівнює 36Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин см, а відстані від деякої точки до кожної із сторін трикутника – 10 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Варіант 2

Площа правильного трикутника дорівнює 108Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин см2. Точка відда­лена від площини трикутника на 8 см і рівновіддалена від його сторін. Знайти відстані від цієї точки до сторін трикутника.

Варіант 3

Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15 см. Точка простору від­далена від кожної сторони цього трикутника на 5 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Сторони трикутника дорівнюють 36, 25 і 29 см. Відстань від деякої точки до площини трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці відстані.

Відповідь. Варіант 1. 8 см. Варіант 2. 10 см. Варіант 3.3см. Варіант 4.17 см.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 216 ?Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?, бо площини? і? пере­тинаються по прямій с, площина?, перпенди­кулярна до с, перетинає? і? по прямих а і b, які перпендикулярні.

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини?. Дійсно, візь­мемо іншу площину?1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217).

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Оскільки сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин? та прямі a і b лежать у пло­щині? і перетинаються в точці А, то сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинА, сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинB (за означенням перпендикулярності пря­мої і площини).

Аналогічно сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинА1, сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинB1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах? і?. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин b, а || a1 і b || b1, то а1Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинB1 (теорема 3.1).

1. Наведіть приклади моделей перпендику­лярних площин із оточення.

2. Покажіть на моделі прямокутного паралеле­піпеда перпендикулярні грані (площини).

3. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Ука­жіть площини, які перпендикулярні до пло­щини:

А) АВС; б) ADC1; в) АСС1.

4. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі:

А) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні?

Відповідь проілюструйте прикладами з оточення.

5. Задача № 59 (1, 3, 5) із підручника (с. 39).

Ознака перпендикулярності площин

Доведення ознаки перпендикулярності двох площин провести, як це зроблено в підручнику (§ 3, п. 20, теорема 3.6).

Подамо зразок запису теореми 3.6 на дошці і в зошитах.

Теорема.

Дано:а, b, bПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?, ?, bПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?.

Довести: ?Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин ? (рис. 218).

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Нехай? і? перетинаються по прямій с, а пряма c перетинається з b в точці А. Через точку А в площині? проведемо пряму а, аПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинС. Через а і b прове­демо площину?, сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинА, сПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинB, отже, ?Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинС. Оскільки аПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площинB, то?Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин?.

Розв’язування задач,

1. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

2. ABCD – квадрат, MDПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(АВС) (рис. 219). Доведіть, що:

А) (MAD)Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(MCD); б) (MBC)Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(MCD).

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

3. У трикутнику АВС <C = 90°; PBПерпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(ABC) (рис. 220). Доведіть, що (РАС)Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин(РВС).

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

4. Задача № 54 із підручника (с. 38).

5. Чи правильні твердження:

А) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпен­дикулярну до цієї площини, і притому тільки одну;

Б) якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикуля­рна і до довільної прямої, паралельної цій площині?

6. Задача № 55 із підручника (с. 38).

7. Задача № 61 із підручника (с. 39).

III. Домашнє завдання

§3, п. 20; контрольні запитання № 11, 12;

Задачі № 59 (2; 4; 6), 60 (с. 39).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Які площини називаються перпендикулярними?

2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

3) Дано куб ABCDA1B1C1D1. Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведе­них тверджень правильні:

А) площини АD1С і AD1D перпендикулярні;

Б) площини AD1C і CDD1 перпендикулярні;

В) площини AD1C і ADC перпендикулярні;

Г) площини ADD1 і ADC перпендикулярні.

4) Дано дві перпендикулярні площини? і? та пряму с, яка перпен­дикулярна до площини?. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:

А) пряма с обов’язково належить площині?;

Б) пряма с може бути паралельною площині?;

В) якщо пряма с, належить площині?, то вона паралельна лінії пе­ретину площин? і?;

Г) будь-яка площина, яка містить пряму с, перпендикулярна до площини?.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Таблиця відмін іменників.
Ви зараз читаєте: Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин