Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини



Урок 27

Тема. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

Мета уроку: формування поняття прямої, перпендикулярної до площини. Вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при виконанні домаш­нього завдання.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1) Промені OВ, ОС, OD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо OD = а, DC = b, DB = с. (6 балів)

2) Дано прямокутний паралелепіпед

ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АСПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниСС1. (6 балів)

1) Промені 0В, ОС, OD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка ОС, якщо BD = а, DC = b, OB = с. (6 балів)

2) Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1. Доведіть, що АВПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниВ1С1. (6 балів)

Варіант 3

1) У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 АВ = b, А1В = а, AD = с. Знайдіть A1D. (6 балів)

2) У трикутній піраміді SABC, всі ребра якої рівні, точки М і N – се­редини ребер АС і SB відповідно. Доведіть, що MNПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAC. (6 балів)

1) У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 BD = с, ВА1= а, AD = b. Знайдіть ребро АА1. (6 балів)

2) У трикутній

піраміді SABC, всі ребра якої рівні, точки М і N – се­редини ребер AS і ВС відповідно. Доведіть, що MNПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAS. (6 балів)

Відповідь. Варіант 1. 1) Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Варіант 2. 1) Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Варіант 3. 1) Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Варіант 4. 1) Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертика­льно поставлені стовпи – вони перпендикулярні до поверхні землі, пер­пендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

На рис. 137 пряма с перпендикулярна до площини?. Пишуть: сПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини?. З означення ви­пливає, що сПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниA, сПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниB.

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

1. Укажіть в оточуючому просторі моделі прямих і площин, які перпендикулярні.

2. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій площині?

3. Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини?

4. Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Укажіть перпендикулярні прямі (рис. 138).

(Відповідь. SAПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAB; SAПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAC; SAПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAD)

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендику­лярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й прохо­дять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і про­ходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Далі колективно розбирається доведення сформульованої теореми за заготовленим рисунком і умовою теореми.

Наводимо запис, що робиться на дошці і в зошитах учнів.

Дано:

AПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниС, aПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниB, bПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини?, сПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини?; а, b, с перетинаються в точці А; хПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини?.

Довести: аПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниХ (рис. 139).

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

Доведення

Додаткові побудови: проводимо пряму в площині?, яка перетинає прямі b, х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а АА1 = АА2.

Номер п/п

Твердження

Аргументи

1

?А1СА2 – рівнобедрений

AC – висота за умовою та медіана за побудовою

2

?А1ВА2 – рівнобедрений

АВ – висота за умовою та медіана за побудовою

3

?А1СВ = ?А2СВ

За третьою ознакою рівності трикутників (А1В = А2В із п. 2; А1С = А2С із п. 1; СВ – спільна)

4

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниA1BX = Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниA2BX

Із п. 3

5

?А1ВХ = ?А2ВХ

За першою ознакою рівності трикутників (Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниA1BX = Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниA1BX із п. 4; A1B = ВA2 із п. 3; ВХ – спільна)

6

A1X = A2X

Із п. 5

7

?А1ХА2 – рівнобедрений

A1Х = А2Х

8

ХА – медіана є висотою: ХАПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниА1А2

?А1ХА2 – рівнобедрений

Розв’язування задач

1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Довести, що:

А) АА1Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини(АВС);

Б) ADПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини(DCC1);

В) B1D1Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини(A1C1C);

Г) А1В1Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниВС1;

Д) ?AB1C1 – прямокутний;

Е) AB1C1D – прямокутник.

2. Дано: ABCD – паралелограм; МА = МС, MB = MD. Довести, що МОПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини(АВС) (рис. 140).

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

3. Дано: ABCD – квадрат; MB = MD (рис. 141). Довести, що BDПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини(MAO).

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

4. Задача № 6 із підручника (с. 34).

III. Домашнє завдання

§3, п. 15; контрольні запитання № 3, 4; задача № 7 (с. 34).

IV. Підведення підсумку уроку

1) Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини.

2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.

3) Точка S лежить поза площиною ромба ABCD, причому SBПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниBC, SBПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAB, Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниBAD = 60° (рис. 142). Які з наведених тверджень пра­вильні, а які – неправильні:

А) пряма SB перпендикулярна до площини АВС;

Б) пряма AB перпендикулярна до прямої SB;

В) пряма BC перпендикулярна до площини ASB;

Г) пряма SB перпендикулярна до прямої BD?

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини

4) Точка S лежить поза площиною трикутника АВС, причому SAПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAC, ABПерпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площиниAC, SA = SB = AB (рис. 143). Які з наведених тверджень пра­вильні, а які – неправильні:

А) пряма SA не перпендикулярна до площини АВС;

Б) пряма AB перпендикулярна до площини SAC;

В) пряма АС перпендикулярна до площини SAB;

Г) пряма BC перпендикулярна до площини ASC?

Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Обчислення способом округлення 3 клас.
Ви зараз читаєте: Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини