Призми



701.

Ні, не існує. 100-кутна призма має 300 ребер, 200 вершин.

703.

Призми

Нехай дано правильну п’ятикутну призму, ∠ABC – двогранний кут при бічному ребрі ВВ1.

∠ABC – лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі. ВВ1.

Призми

Відповідь: 108

704.

Призми

Нехай дано призму, бічне ребро якої АА1 = l, нахилене до площини основи під кутом α. ∠Α1ΑΟ = α. А1O + (ABC).

А1О – висота.

A1Ο = l × sin α.

Відповідь: l sin α.

705.

Діагональні перерізи

правильної чотирикутної призми рівні.

Діагональні перерізи правильної п’ятикутної призми не рівні між собою.

706.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму, висота якої дорівнює h.

АА1 = h.

AB = ВС = CD = AD = а.

Sбічн. =Pосн × h = 4 × a × h

.Призми де SAA1C1C = AC × C1C,

707.

Призми

Нехай дано діагональ правильної чотирикутної призми. BD1 = d.

Діагональ ВD1 нахилена до площини основи під кутом ∠D2BD = φ.

BD1 похила, BD – проекція BD1 на площину ABCD.

ΔBDD1 – прямокутний.

DD1 = d × sin φ; BD = d × cos φ.

ABCD – квадрат.

src="/images/image1831_1.jpg" class=""/>

Призми

Призми

Відповідь: ПризмиПризми

708.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму, площа основи SABCD = 144 см2; AA1=10 см.

SABCD = a2; a2 =144; а = 12 см.

Призми

Призми

Відповідь: Призми

709.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму.

Sповерхні = 40 см;

Sбічн. = 32 см2;

2Sоснови = Sповерхні – Sбічн. = 40 – 32 = 8 (см 2);

Призми

Призми

Відповідь: 4 см.

710.

ПризмиПризми

Грані призми AΒA1Β1, ВСС1B1, СDD1С1 – квадрати.

Грані МВС і NB1C1 – рівносторонні трикутники.

АВСА1В1С1 – призма.

Sбічн. = 2 × 3 × 2=12 (см2).

Призми

711.

Призми

Нехай дано призму АВСА1В1С1 – пряма трикутна призма.

АВ = ВС = АС = А1В1 – A1C1 = АА1 = ВВ1 = СС1 = а

Sбічн. 27 см2.

Sбічн. = Росн. × l, Pосн. – периметр основи, l – бічне ребро.

27 = 3 × а × a, 3а2 =27; а2 =9; а = 3.

Призми

Відповідь: Призми

712.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму, площа діагонального перерізу дорівнює S.

SAA1C1C = S.

Нехай АВ = а; тоді Призми

Призми Призми

Призми

Відповідь: Призми

713.

Призми

Нехай дано призму, основа якої ромб ABCD, ∠А = 60°,

АВ = ВС = СD = AD = а, бічні грані: ΑΑ1Β1Β; BB1C1C; DD1С1С;

AA1D1D – квадрати.

А1С і D1S – діагоналі призми.

DD1В1В і АА1С1С – діагональні перерізи призми.

ΔАВD – рівносторонній.

BD = AD = АВ = a; ΔАОВ – прямокутний; AO + ОВ.

Призми

ΑΑ1Β1Β – квадрат. А1А = АВ = а.

Призми

Sперерізу DD1B1B = BD × АА1 = a × а = a 2.

ΔАА1С – прямокутний.

А1С2 = АА12 + АС2 = а2 + 3а2 = 4а2.

А1С = 2а;

ΔDD1B – прямокутний.

D1B2 = DD12 + BD2= a2 + a2 = 2а2;

Призми

Відповідь: 2а; Призми Призми а2.

714.

Призми

Нехай дано призму, у якої діагональні перерізи А1С1СА і DD1Β1Β перетинаються і мають спільний відрізок ОО1. АА1С1С-паралелограм,

DD1B1B – паралелограм.

АА1 ? С1С; DD1 ? В1В. ОО1 – спільний відрізок. ОО1 ? АА1; ОО1 ? DD1.

ОО1 = АА1 = С1С = D1D = В1В, що й треба довести.

715.

Призми

Нехай АВСА1В1С1 – призма. ΔMNP – перпендикулярний переріз призми.

PN = 13 см; PM = 7 см; MN = 8 см.

ΔΡΜΝ – найбільший кут при ребрі призми.

PN2= РМ + MN2- 2РМ × NM cos ∠Μ за теоремою косинусів.

169 = 49 + 64 – 2 × 7 × 8 × cos ∠M;

169 = 113 – 112 cos ∠Μ ;

112cos ∠M = -56;

Призми

Призми

∠Μ = 120°.

Відповідь: ∠Μ = 120°.

716.

Призми

Нехай дано призму АВСА1В1С1, відстань між бічними ребрами MN = 18 см;

МР = 20 см; NP = 22 см; Sбічн. призми = SΔMNP

Призми

Призми Призми

Призми

Призми

Sбічн = PΔMNP × C1C

Призми

Відповідь: Призми

717.

Призми Призми

Нехай основою призми є трапеція ABCD, у якої AD = 21 см; ВС = 11 см;

АB = CD = 13 см. Через ребра AD і B1С1 проходить переріз АB1С1D.

PперерізуАА1С1С = 58 см.

AA1

СА + AD. СК – висота трапеції АВСD.

KD = (AD – ВС) : 2 = (21 – 11) : 2 – 5 (см).

ΔАСА -· прямокутний.

ΔС2 = АK2 + СK2. АK = 21 – 5 = 16 (см).

ΔCKD – прямокутний.

СK2 = СD2 – KD2 = 169 – 25 = 144. СK = 12 см.

ΔАСK: АС2 = 162 +122 = 256 + 144 = 400 (см2).

АС = 20 см.

PперерізуАА1С1С = 2AA1 + 2A1C1;

58 = 2 × AA1 + 2 × 20;

58 = 2 × ΑΑ 1 + 40; 2AA1 = 18; AA1 = 9 см.

Sповерхні = Sбічне + Sоснови.

Призми

Призми

Sбічне = PABCD × AA1 = (13 + 11 + 13 + 21) – 9 = 522 (см2).

Sповн. = 2 × 96 + 522 = 714 (см2).

Призми

ΔAA1B1 – прямокутний.

AВ12 = AА12 + А1В12; = 169 + 81 = 250.

Призми

ΔAB1F – прямокутний.

B1,F2 = h2 = AB2 – AF2 = 250 – 25 = 225.

H = B1F = 15.’

Призми

Відповідь: 714 см2; 240 см2.

718.

Призми

Нехай дано правильну трикутну призму, всі бічні грані якої квадрати, площа бічної поверхні 12 см2; площа однієї грані 12 : 3 = 4 (см2), сторона квадрата 2см.

АВ = АС = ВС = 2 см.

ВВ1 = АА1 = СС1 = 2 см.

∠BMP – кут між площиною основи і площиною, проведеною через ребро основи і середину протилежного ребра.

Призми

Призми

Призми

Призми

Відповідь: Призми

719.

Призми

Нехай через середини двох сторін основи правильної трикутної призми під кутом α до основи проведено площину, яка перетинає два бічних ребра в точках M1і N1.

МР + М1N1, KР + АС; МK + АС.

∠BMP = а – кут нахилу площини MM1N1N до площини основи ABC.

Призми Призми MN – середня лінія ΔАВС. M1N1 ? MN ;

M1N1 ? АС. M1N 1 = AC=a.

Призми

ΔМРK – прямокутний. Призми

ΔАМK – прямокутний. Призми

∠KAM = 60°; Призми

Призми

Призми

720.

ПризмиПризми

Нехай дано правильну шестикутну призму, площа бічної грані якої дорівнює S. SAA1B1B = S – площа бічної грані правильної шестикутної призми. Переріз MM1N1N перпендикулярний до більшої діагоналі АD і ділить цю діагональ навпіл.

ПризмиR = ОВ = ОС; r = ОМ.

Sбічної грані = a × l, де l = B1B. Призми

ΜΜ 1 = l. Призми

Призми

Відповідь: Призми

721.

Призми

Нехай дано – правильну трикутну призму AВСA1В1С1. Через сторону основи АВ проведено площину АМВ, яка перетинає грань B1BСС1 по прямій ВМ, а грань AA1С1С по прямій AM, ∠AMB = α.

МС + ABC; СK + АВ; АK = KВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри

МK + AB.

∠МКС – кут між площиною ΔАМВ і площиною ΔАВС.

Нехай АВ = ВС = АС = а, тоді

Призми Призми

ΔМВK: МK + ВK;

Призми

ВМ = AM із рівності прямокутних трикутників. ΔBMC = ΔАМС.

Призми Призми

ΔМKС – прямокутний.

Призми

Призми Призми

Відповідь: Призми

722.

Призми

Нехай дано пряму трикутну призму, в· основі якої лежить прямокутний трикутник ΔABC.

Призми – гіпотенуза.

Діагональ грані AA1С1С дорівнює 10 см.

Діагональ грані CC1B1B дорівнює Призми

Діагональ грані ΑΑ1Β1Β дорівнює Призми

Нехай сторони основи АВ = с; АС = а; ВС = b; ВВ1 = AA1 = СС1 = l.

ΔАСС1 – прямокутний.

Призми

А2 + l2 = 100;

ΔВСС 1 – прямокутний.

Призми

B2 +12 = 261;

ΔАВВ1 – прямокутний.

Призми

С2 + l2 = 325 ;

Призми

С2 – b2 = 325 – 261; с2 – b2 = а2; а2 = 64; а = 8 см.

64 + l2 =100; l2 = 100 – 64 = 36; l = 6 см.

B2 =261 – 36 = 225; b = 15 см.

С2 = а2 + b2 = 64 + 225 = 289; с = 17 см.

Призми

S бічн. = Росн. × l = (АС + ВС + АВ) × АА 1 = (8 +15 +17) × 6 = 240 (см2).

S повн. = Sбічн. + 2Sосновн = 240 +120 = 360 (см2).

Відповідь: 360 см2.

723.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму ABCDA1B1C1D1i, у якої діагоналі А1С і B1D, B1D + BD1, кут між діагоналями А1С і B1D дорівнює 60°.

∠A1ΟΒ1 – кут між діагоналями B1D і А1С. За умовою B1D + BD1

Отже BB1D1D – квадрат. Тому BD = DD1. Нехай BD = DD1 = а,

Тоді ΔABD – прямокутний. AB2 + AD2=a2; 2АВ2 = а2; Призми

Призми

ΔBB1D – прямокутний. Β1D2 = ВВ12 + BD2; Β1D2 = а2 + а2 = 2а ;

Призми Призми Призми Призми Призми

Отже АА1ОВ1 – рівносторонній.

∠A1OB1 – 60°, що й треба було довести.

724.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму, діагональ BD1 = d, діагональ призми утворює з бічною гранню кут α. ∠D1ВС1 = α (кут між прямою BD1 і її проекцією BC1 на площину).

A) ∠D1BD – кут між діагоналлю призми і площиною основи.

ΔВD1С1 – прямокутний. D1С1 = d × sin α; BC1 = d × cos α ;

Призми Призми Призми

Б) ΔDD1В: DD1 = BD1 × sin ∠DBD1; або

Призми

Призми

Призми

В) площа бічної поверхні:

Призми

725.

ПризмиПризми

Нехай дано правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює а.

АВ = ВС = DC = ED = EE = a. AΑ1 = BB1 = СС1 = DD1 = EE1 = FF1 = a.

Через сторону нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи проведено переріз ABD1E1.

Sперерізу = АВ × АЕ1. ABD1E1 – прямокутник. E1F + площині основи. ЕА + АВ.

Е1А + АВ за теоремою про три перпендикуляри.

ΔЕОА – рівнобедрений трикутник. ОЕ = ОА = R = а.

ΔЕОР – прямокутний. ∠ΕΟΡ = 60°;

Призми

ΔЕ1ЕА – прямокутний, Е1Е + АЕ.

Ε1A2 = Ε1Ε2 + АЕ2 = а2 + 3а2 =4а2; Е1А = 2а.

SперерізуABD1E1 = a × 2а = 2а 2.

Відповідь: 2а2.

726.

ПризмиПризмиПризми

Нехай дано пряму призму, в основі якої лежить трапеція ABCD.

АВ = ВС = СD= 0,5AD.

A1С 1СА – діагональний переріз призми.

Sперерізу = АА1 × АС

Нехай АВ = ВС = CD = а, тоді AD = 2а;

Призми

ΔАВK – прямокутний,

Призми Призми

ΔACF – прямокутний,

АС2 = CF2 + AF2; Призми

Призми Призми

Призми

Sбічн. = РAВСD × АА 1; S = (а + а + а + 2а) × l; S = 5al;

Призми Призми

Відповідь: Призми

727.

Призми

Нехай дано АВСА1В1С1 – правильну трикутну призму.

∠BA1C = α.

ΔΒA1С – рівнобедрений, Призми А1М + ВС. Нехай ВС = а.

Призми

ΔΑ1ΑΒ – прямокутний, Призми

Відповідь: Призми

728.

ПризмиПризми

Нехай дано правильну трикутну призму AВСА1В1С1, у якої кут між прямими Α1B і АС, дорівнює α. Бічне ребро АА1 = ВВ1 = СС1 = b. А1В і АС1 – мимобіжні прямі. Проведемо CD? АВ, BD? АС, ABCD – і ромб. Через D проведемо DD1 ? ВВ1.

B1D1 ? BD; C1D1 ? CD. ABDCA1B1D1C1 – чотирикутна призма, в основі якої ромб ABCD. У грані CC1D1D проведемо C1D? A 1B, ∠AC 1D = α.

Нехай АВ = BD = a; ΔOBD – прямокутний.

∠B = 120°, Призми Призми ΔAC1D – рівнобедрений, АС1 = DC1 = х.

За теоремою косинусів маємо: ПризмиПризми

Призми Призми Призми

ΔАА1С1 – прямокутний, Призми

Призми Призми Призми Призми Призми

Призми

Sбічн. = 3а × b;

Призми

729.

A)

Призми

Нехай дано похилу призму АВСА1В, С1, основою якої є правильний трикутник ΔABC, AB = АС = ВС = а. Вершина B1 проектується на середину сторони АС. Бічні ребра утворюють із площиною основи кут 60°.

В1В2 + АС; Призми ∠B1ΒB2 = 60°.

ΔАВВ2 – прямокутний, В1В2 + ВВ2.

ΔВВ1В2 – прямокутний.

Із ΔАВВ2 за теоремою Піфагора:

Призми Призми

ΔВ1ВВ2 – прямокутний: Призми

У площині (В1ВВ2) проведемо В2K + ВВ1. АK + ВВ1; KС + ВВ1.

ΔАKС – перпендикулярний переріз призми АВСА1В1С1.

Із ΔВKВ2 Призми

Із ΔАKВ2 Призми Призми

Призми

Б)

Призми

Нехай дано похилу призму, основою якої є правильний ААВС зі стороною a.

В 1 проектується на середину сторони АС, точку В2. Двогранні кути при ребрах AB і ВС дорівнюють 60°.

В1В2 + АС, отже, В1В2 + площині ААВС.

Проведемо В2D + АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри B1D + АВ, отже, ∠B1DB2 = 60° – лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ.

Аналогічно В2Р + ВС, В1Р + ВС, ∠В1РВ2 – лінійний кут двогранного кута при ребрі ВС.

∠В1РВ2 = ∠Β1DΒ2 = 60°.

Δ AB2D – прямокутний, ∠A = 60°;

Призми

Δ B2DB2- прямокутний.

Призми

SABB1A1 = B1D × АВ = АР × ВВ1, де АР + ВВ1.

АР і B1D – висоти бічної грані – паралелограма ABB1A1.

Призми Призми

Призми Призми

Призми Призми

Призми Призми

Призми АР = PC.

Призми

730.

Призми

Нехай дано похилу призму АВСА1В1С1, усі ребра якої дорівнюють а.

АВ = АС = ВС = А1В1 = А1С1 = В1С1 = а. ВВ1 = АА1 = СС1 = a.

∠ Β1ΒΑ = ∠ B1BC = α.

Sповерхні = 2Sоснови + Sбічн.

Призми

ΔАВС – рівносторонній.

Проведемо АР + ВВ1; CP + BВ1,

ΔАРС – перпендикулярний переріз призми AВСA1В1С1.

ΔАВР: AP = AB × sin α = a × sin α.

РΔАВС = АР + РС + АС.

РΔАВС = a × sin α + a × sin α + a = 2asin α + a = a(2sin α + 1)

Sбічн.= BB1 × P ΔАPС = a2(2sin α +1).

Призми

Відповідь: Призми

731.

Призми

Нехай дано трикутну призму АВСА1В1С1, у якої кожна сторона основи дорівнює а. АВ = ВС = АС = а; А1В1 = В1С1 – А1С, = а. Проекцією вершини А1 основи

А1В1С1 є точка О – центр основи ΔАВС.

ΔАВС – рівносторонній. АВ = ВС = АС = а;

Призми Призми

ОB – радіус описаного кола. Призми

∠А1АО = а. ΔAΑ1Ο – прямокутний.

Призми

АА1 – ребро призми.

ОК + АА1. ΔАKО – прямокутний.

OK = АО sina; Призми

ВK + АА,

Призми

Проведемо ВK + AΑ1, ВK2 = АВ2 – АK2.

Призми

Призми

Sбічн. ABCA1B1C1 = PΔBKC =(ВK + KС + ВС) × АА1.

Призми

732.

Призми

Нехай дано правильну трикутну призму АВСА1В1С1. Площа основи SΔABC = S1.

Переріз проходить через ребро нижньої основи АВ і протилежну вершину С1 верхньої основи ΔА1В1С1. SΔBC1 = S2.

SΔАВС = S1. Нехай АВ = ВС = АС = а,

Призми Призми Призми Призми

А – ребро основи.

ΔВСK – прямокутний. СК + ВС.

Призми ВС = а; Призми Призми

Призми

SΔABC1 = S2; Призми

Призми

ΔС1СK – прямокутний; С1С + (ABC), С1С + KС.

Призми

Призми

Призми

Sбічн. АВСА1В1С1 = Pоснови × CC1.

Призми

Відповідь: Призми

733.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму ABCDA1B1C1D1, у якої сторона основи АВ = ВС = DC = AD = а; бічне ребро АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 = b. Через середину відрізка O1O, який з’єднує центри О2 і О основ і середини двох суміжних сторін, основи AD і АВ, проведено площину PMN. AN = BN; АР = PD; O1М = ОМ.

MO + ABCD; AO + BD; PN – середня лінія ΔABD.

PN? BD, Призми PN + АО; за теоремою про три перпендикулярі MF + АО,

Отже, ∠MFO – кут між площиною перерізу APMN і площиною основи.

ОО1 = СС1 = b.

Призми Призми

Призми

Призми

Відповідь: Призми

734.

ПризмиПризми

Нехай дано правильну трикутну призму ABCA1B1C1, у якої сторона основи

АВ = ВС = АС = 2а; бічні ребра АА1 = ВВ1 = СС1, = b. Через сторону АВ нижньої основи під кутом α до неї проведено площину ABN.

NC + ABC; CM + АВ; NM + АВ. ∠NMC = α – кут між площинами ABC і ABN.

Призми Призми

АРKВ – переріз.

АРKВ – трапеція.

РK? A1В1; АВ + A1В1, отже, РK? АВ1. СМ + AB; NM + AB; ∠NMB = α, кут між площиною ААВС і площиною трапеції ΔВРК. ΜΝ – висота трапеції.

Призми

735.

Призми

Нехай дано правильну чотирикутну призму. Через середину більшої діагоналі перпендикулярно до неї проведено переріз. Висота призми в 2 рази більша за сторону основи, площа бічної поверхні 48 см2. Висота призми АА1 = 2АВ. Нехай АВ = а, тоді АА1 =2а.

AA1D1D – діагональний переріз призми, в якому AD = 2а, АА1 = AD, отже,

ΑΑ1D1D – квадрат, AD1 – діагональ призми.

Через середину діагоналі АD1 точку О проведено перпендикулярний переріз.

Sбічної поверхні = Pоснови × h = PАBCDEF × АА1 = 6a × 2a = 12a2;

12a2 = 48; а2 = 4; а = 2, отже, АВ = 2 см; АA 1 = 4 см.

Sперерізу = 2а × а = 2a2 = 2 × 22 = 8 (см2).

736.

Місце центроїда всіх вершин правильної призми – точка перетину діагоналей цієї призми.

737.

Призми Призми Призми Призми

Нехай дано призму, в основі якої трапеція ABCD. Основи призми ABDCA1B1D1C1 – рівні трапеції ABCD і A1B1C1D1, паралельні сторони AB і CD, непаралельні – AD і ВС.

ΑΒ = Α1Β1= 8,8 дм:

DC = D1C1 = 5,6 дм:

AD = ВС = 3,4 дм.

АА1С1С – діагональний переріз, перпендикулярний до основи, і є ромбом.

AA1C1C – ромб.

АА1 = АС = СС1 = А1С1; ∠A1AC = 45°.

Розглянемо трапецію ABCD.

Проведемо BF + AD; CM + AD.

ΔABF = ΔDCM (АВ = CD; BF = CM).

Призми

Призми

ΔABF – прямокутний.

BF2 = АВ2 – AF2 = 3,42-1,62 = 9;

BF2 = 9 (дм2). BF = 3 дм.

ΔACM – прямокутний.

АС2 = АМ2 + МС2; АМ = AF + FM = 1,6 + 5,6 = 7,2.

АС2 = 7,22 + 9 = 60,84.

Призми

AA1C1C – ромб.

A1K + AС; А1K – висота ромба, А1K – висота похилої призми ABDCA1B1D1C1.

ΔΑΑ1K – прямокутний.

Призми

Отже, висота призми Призми

Діаметр призми АС1 – діагональ призми. Розглянемо ромб АА1С1С.

∠A = 45°; ∠A1 =135°.

Із ΔAА1С1 за теоремою косинусів маємо:

Призми

Призми

Відповідь: Призми Призми


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Народні прикмети які допомагають передбачити погоду.
Ви зараз читаєте: Призми