ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК



РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ

& 16. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Трикутник наливають прямокутним, якщо один із його кутів – прямий. Сума двох інших його кутів дорівнює 90°, бо 180° – 90° = 90°.

Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута, – це гіпотенуза, дві інші його сторони – катети (мал. 196). На малюнку прямий кут іноді позначають квадратиком. У кожному прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від кожного катета.

Згодом нам будуть потрібні ознаки рівності прямокутних трикутників. З першої і другої ознак рівності

трикутників (див. & 12) безпосередньо випливають такі ознаки.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 196

Два прямокутні трикутники рівні, якщо:

1) катети одного з них дорівнюють відповідно катетам іншого:

2) катет і прилеглий гострий кут одного трикутника дорівнюють відповідно катету і прилеглому гострому куту іншого;

3) гіпотенуза і прилеглий кут одного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі і прилеглому куту іншого.

Ще одна ознака рівності прямокутних трикутників потребує доведення.

Теорема 21 Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі

іншого, то такі трикутники – рівні.

Доведення. Нехай у трикутниках ABC і А1В1С1 кути С і С1 – прямі і АВ = А1В1, АС = А1С1 (мал. 197). Доведемо, що ∆АВС = ∆А1С1.

Прикладемо ∆A1B1C1 до трикутника АВС так, щоб вершина А1 сумістилась із вершиною А, С1 – із С, a ∆A1B1C1 зайняв положення трикутника AB2C. Оскільки кути С і С1 прямі, то точки В, С і В, розмістяться на одній прямій. ∆АВВ2 – рівнобедрений, ∠B = ∠B2 = ∠B1. Тоді ∠ВСА = ∠B2AC = ∠A1. Отже, у даних трикутниках між відповідно рівними сторонами АВ =А1В1, АС = A1С1 лежать рівні кути А і А1. За першою ознакою рівності трикутників ∆АВС = ∆А1В1С1.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 197

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 198

Уведемо ще кілька важливих понять, пов’язаних з прямокутним трикутником. Якщо АНМ – прямокутний трикутник із прямим кутом Н, то його катет AН – перпендикуляр, проведении я точки А на пряму НМ (мал. 198).

Гіпотенузу AM називають також похилою, проведеною з точки А до прямої НМ, а катет НМ – проекцією цієї похилої на пряму НМ.

Довжину перпендикуляра АН називають також відстанню від точки А до прямої НМ.

Узагалі, відстань між двома геометричними фігурами – це відстань між їх найближчими точками (якщо такі точки існують). Наприклад, відстань між двома паралельними прямими дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки однієї прямої на іншу (мал. 199). А відстань від точки К до відрізка РТ, зображених на малюнку 200, дорівнює КТ.

Розглянемо деякі властивості прямокутних трикутників.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 199

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 200

Теорема 22 У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет.

Доведення. У кожному трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона (ДИВ. теорема 19). Оскільки гіпотенуза лежить проти прямого кута, а катет – проти гострого, і прямий кут більший за гострий, то гіпотенуза – більша за катет.

Наслідок Якщо з однієї точки, яка не лежить на прямій, до цієї прямої проведено перпендикуляр і похилу, то:

1) перпендикуляр менший від похилої;

2) проекція похилої менша від похилої.

Ще одни дуже цікава властивість прямокутних трикутників наведена в рубриці “Виконаємо разом”.

Для допитливих

Прямокутні трикутники становлять тільки частину всіх трикутників. Якщо трикутник не має прямого куга, його називають непрямокутним трикутником. Отже, залежно від того, має чи не має трикутник прямий кут, усі трикутники можна поділити на два класи. Схематично цей поділ можна зобразити малюнком 201.

Якщо катети прямокутного трикутника рівні, то він водночас є і рівнобедреним трикутником. Співвідношення між такими видам и три кутників можна зобразити, як показано на малюнку 202.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 201

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 202

Прямокутні трикутники в геометрії відіграють важливу роль, бо будь-який трикутник можна розрізати на два прямокутні трикутники, а для кожного прямокутного трикутника справджується славнозвісна теорема Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Докладніше про теорему Піфагора і про застосування властивостей прямокутних трикутників ви дізнаєтесь у 8 класі.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення прямокутного трикутника.

2. Як називають сторони прямокутного трикутника?

3. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності прямокутних трикутників.

4. Що таке перпендикуляр, похила і проекція похилої?

5. Що таке відстань від точки до прямої?

6. Що таке відстань між фігурами?

7. Сформулюйте та доведіть властивості прямокутних трикутників.

Виконаємо разом

Катет прямокутного трикутника, яким лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Доведіть.

– Нехай у ∆АВС ∠C = 90° і ∠A = 30° (Maл. 203). Доведемо, що ВС = 0,5 АВ.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 203

На прямій DC відкладемо відрізок CD, рівний стороні СВ, і проведемо відрізок AD. За двома катетами ∆ВСА = ∆DCA. Оскільки ∠BAD = 60°, то ∠B = ∠D = (180° – 60°) : 2 = 60°. Отже, всі кути трикутника ABD дорівнюють по 60°. Таку властивість мас тільки рівносторонній трикутник. Оскільки ВD = AВ і ВC = CD, то ВС = 0,5 AВ.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

465. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо один із них дорівнює: а) 30°; б) 46°; в) 70°.

466. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо один із них більший за інший: а) удвічі; б) у 9 разів; в) на 30°.

467. Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 м, 4 м і 5 м. Яка з них – гіпотенуза?

468. Знайдіть кути рівнобедреного прямокутного трикутника.

А

469. Один із гострих кутів прямокутного трикутника на 10° більший за інший. Знайдіть ці кути.

470. Кути трикутника пропорційні числам 3, 5 і 8. Доведіть, що цей трикутник прямокутний.

471. Один із кутів трикутника на 30° більший за другий і на 30° менший від третього. Знайдіть кути цього трикутника.

472. Доведіть, що бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника перетинаються під кутом 46°.

473. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо його висота, проведена з вершини прямого кута, утворює: з катетом кут 50°.

474. Із точки D, яка лежить на бісектрисі кута В, на сторони кута проведено перпендикуляри DA і DC. Доведіть, що DA = DC.

475. Точка В лежить на внутрішньому промені кута A; DK і DM – рівні перпендикуляри до сторін кута. Доведіть, що АВ – бісектриса кута А.

476. Пряма m перетинає відрізок АВ в його середині О. Доведіть, що точки А і В рівновіддалені від прямої m.

477. Якщо катет і протилежний кут одного трикутника дорівнюють відповідно катету і протилежному куту іншого, то такі трикутники – рівні. Доведіть.

478. У ∆АВС ∠С = 90°, ∠А = 60°, AD = 32 см. Знайдіть АС.

479. За малюнком 204 поясніть, як можна знайти ширину річки на основі властивостей прямокутного рівнобедреного трикутника.

480. Прямокутні трикутники ABC і А1В1С розташовані, як показано на малюнку 205. Знайдіть міру кута АСА1, якщо ∠BCB1 = а (грецька літера “альфа”).

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 204.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 205

Б

481. Сформулюйте і доведіть твердження, обернене до сформульованого в задачі, розв’язанні на с. 114.

482. У трикутнику ABC АВ = 18 см. ∠B = 30°, ∠C = 90°. Знайдіть:

А) відстань від точки А до прямої СВ;

Б) проекцію похилої АВ на пряму АС.

483. У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 46°, АВ = 19 см. Знайдіть:

А) відстань від точки С до прямої АВ;

Б) проекцію відрізка АС на пряму АВ.

484. Знайдіть відстань між паралельними прямими, якщо від січної, яка перетинає їх під кутом 30°, прямі відтинають відрізок завдовжки 54 см.

485. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо бісектриси двох його кутів перетинаються під кутом 70°.

486. Чи можуть бісектриси двох кутів прямокутного трикутника перетинатися під кутом 40°?

487. Знаючи, що всі сторони квадрата рівні, а всі кути прямі, доведіть, що квадрат ABCD відрізками АС і BD розбивається на 4 рівні прямокутні рівнобедрені трикутники.

488. Побудуйте на координатній площині трикутники з вершинами А (0; 1), В (2; 3), С (0; 3) і з вершинами К (1; 0), Р (3; 0), Т (3; 1). Чи рівні ці трикутники?

489. Медіана якого трикутника розбиває його на два менші трикутники, рівні між собою? Укажіть вид утворених трикутників.

490. CM – висота прямокутного рівнобедреного трикутника ABC, проведена до гіпотенузи. Знайдіть АВ, якщо CM = m.

491. Гіпотенуза АВ прямокутного трикутника ABC дорівнює 20 см, ∠B = 30°, СК – висота. Знайдіть АК.

Практичне завдання

492. Розгляньте малюнок 206. У такий спосіб давньогрецький учений Фалес Мілетський запропонував вимірювати відстань КС до корабля, який знаходився в морі.

Робилося це так. Нехай у точці К знаходиться корабель, а в точці С – спостерігач. Від пункту спостереження С намічали напрямок на корабель К і до цього напрямку на березі з точки С відкладали перпендикулярний напрямок, на якому будували довільний відрізок СВ і знаходили його середину О. У точці В намічався напрямок, перпендикулярний до напрямку СВ в сторону суші. Спостерігач ішов у напрямку ВА, дивлячись на корабель. Як тільки корабель і пункт О опинялися на одній прямій, спостерігач фіксував точку А, і тоді відстань КС дорівнювала відстані АВ, яку можна було знайти безпосереднім вимірюванням.

Спробуйте й ви визначити відстань до недоступного об’єкта таким способом.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 206

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

493. ∆АВС = ∆MNK, ∠A = 70°, ∠B = 80°. Знайдіть кути трикутника МNK.

494. Чи існує трикутник, кути якого дорівнюють 91°, 52° і 44°?

495. Рівні відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що АО = СО, а кути трикутника AOD – пропорційні числам 2, 3 і 5. Знайдіть кути трикутника СОВ.

496. Перемалюйте в зошит фігуру, що на малюнку 207, і проведіть пряму так, щоб вона розрізала зафарбовану фігуру на дві частини рівних площ.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 207

ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

А

1

ВС = а.

АВ

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

2

АК = КВ = 8.

СВ, КМ

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

3

АВ = CD, AD = ВС.

Довести:

AD | ВС.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

4

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

Довести: ∆АBО = ∆DCО.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Б

1

∠1 = ∠2, ВК = 10.

АК, КC

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

2

АВ = CD, АС = BD.

∠AOD

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

3

∠1 = ∠2, BM = MC.

Довести:

AM ⏊ ВС.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

4

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

Довести: АС ⏊ BD.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Самостійна робота 4

Варіант 1

1. Сформулюйте означення рівнобедреного трикутника.

2. ∆ABC – прямокутний (АС = 90°). Знайдіть ∠A, якщо ∠В = 70°.

З. Точки К і Р – середини бічних сторін АВ і АС рівнобедреного трикутники ABC. Доведіть, що ∆АКС = ∆АРВ.

4. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них удвічі більший за другий і на 40° менший від третього.

Варіант 2

1. Сформулюйте означення прямокутного трикутника.

2. ∆АВС – рівнобедрений (АВ = ВС). Знайдіть ∠A, якщо ∠В = 70°.

З. Точки К і Р – середини бічних сторін АВ і АС рівнобедреного трикутники ABC. Доведіть, що ∆КВС = ∆РСВ.

4. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них удвічі менший від другого і на 12° більший за третій.

Варіант З

1. Сформулюйте властивість кутів рівнобедреного трикутника.

2. ∆АВС – прямокутний (АС = 90°) і рівнобедрений. Знайдіть АВ.

З. Точки К і М лежать на основі АС рівнобедреного трикутника ABC, ∠ВКА = ∠ВМС. Доведіть, що ВК = ВМ.

4. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них утричі більший за другий і на 40° менший від третього.

Варіант 4

1. Сформулюйте одну з ознак рівності прямокутних трикутників.

2. ∆АВС – рівнобедрений (АВ = ВС). Знайдіть ∠B, якщо АС = 60°.

3. Точки К і М лежать на основі АС рівнобедреного трикутника ABC, ∠ВКА = ∠ВМС. Доведіть, що AК = CM.

4. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них утричі менший від другого і на 5° більший за третій.

Тестові завдання 4

1. 1. Периметр рівнобедреного трикутника з основою 6 см і бічною стороною 5 см дорівнює:

А) 17 см; б) 16 см;

В) 11 см; г) 30см.

2. 2. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100″. Обчисліть інші кути трикутника.

A) 100° і 60°; б) 80° і 80°;

В) 40° і 40°; г) 100° і 160°.

3. 3. Кут при вершині В рівнобедреного трикутника ABC (АВ = ВС) дорівнює 80°. Обчисліть кут між бічною стороною і медіаною, проведеною з вершини В.

А) 60°; б) 40°;

В) 60°; г) 25°.

4. 4. Кут при основі рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює:

А) 45°; б) 60°;

В) 30°; г) 90°.

5. 5. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, один із його кутів – 30°. Довжина меншого катета дорівнює:

А) 20 см; б) 5 см;

В) 10 см; г)15см.

6. 6. Кути трикутника пропорційні числам 4, 5 і 9. Даний трикутник:

А) гострокутний;

Б) прямокутний;

В) тупокутний;

Г) рівнобедрений.

7. 7. Діагональ АС прямокутника ABCD розбиває його на два трикутники. Яке з тверджень – хибне?

А) ∆АВС = ∆CDA;

Б) ∠ВАС = ∠ACD;

В) ∠АСВ = ∠ACD;

Г) ∠ABC = ∠ADC.

8. 8. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а прилеглий кут – 60°. Гіпотенуза трикутника дорівнює:

А) 10 cм; б) 5 cм;

В) 2,5см; г) 20см.

9. 9. У трикутник у АВС ∠A = 50°, ∠B = 70°. Який знак слід поставити замість * в записі: АВ * ВС?

А)<; б) =;

В)<; г)>.

10. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 60°, а сума найменшої і найбільшої його сторін – 6 см. Знайдіть довжину гіпотенузи.

А) 7 см; б) 2 см;

В) 4 см; г) 1 см.

ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 112 см, а основа – 34 см. Знайдіть бічну сторону.

2. Знайдіть:

А) кути рівнобедреного прямокутного трикутника;

Б) зовнішні кути цього трикутника.

3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 17 см, а периметр – 51 см.

4. Трикутники ABC і КРН рівносторонні й АВ = КР. Знайдіть:

А) КН, якщо ВС = 5 см;

Б) периметри ∆АВС і ∆КРН.

5. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо його кут при вершині втричі більший за кут при основі.

6. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 73 см. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо його бічна сторона на 7 см менша від основи.

7. Кути трикутника ABC пропорційні числам 1, 2 і 3. Знайдіть:

А) кути ∆АВС;

Б) встановіть вид ∆АВС;

В) знайдіть найбільшу сторону ∆АВС, якщо найменша його сторона дорівнює 4 см.

8. Доведіть, що два прямокутні трикутники рівні, якщо катет і протилежний кут одного відповідно дорівнюють катету і протилежному куту іншого.

9. Знайдіть за малюнком 208 міру кута СОВ, якщо АВ = CD, BD = АС, ∠BDA = 35°.

10. ВМ і B1М1 відповідно медіани трикутників ABC і А1В1С1. АВ = A1B1, АС =А1C1, ВМ = В1М1. Доведіть, що ∆АВС = ∆А1В1С1.

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Мал. 208

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Який трикутник називають рівнобедреним?

2. Як називають сторони рівнобедреного трикутника?

3. Сформулюйте властивість рівнобедреного трикутника про кути при основі.

4. Сформулюйте властивість бісектриси рівнобедреного трикутника.

5. Сформулюйте ознаки рівнобедреного трикутника.

6. Який трикутник називають різностороннім?

7. Який трикутник називають рівностороннім?

8. Як співвідносяться поняття трикутники і рівнобедрені трикутники?

9. Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників.

10. Доведіть третю ознаку рівності трикутників.

11. Сформулюйте першу і другу ознаки рівності трикутників.

12. Як ви розумієте вислів: “трикутник визначається трьома його сторонами”?

13. Якими елементами визначається трикутник?

14. Як слід розуміти, що трикутник – фігура жорстка?

15. Сформулюйте означення прямокутного трикутника.

16. Як називають сторони прямокутного трикутника?

17. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності прямокутних трикутників.

18. Сформулюйте і доведіть властивості прямокутних трикутників.

19. Сформулюйте властивість катета прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30°.

20. Що таке перпендикуляр, похила і проекція похилої?

21. Що таке відстань від точки до прямої?

22. Що таке відстань між фігурами?

23. Сформулюйте і доведіть теорему про залежність між сторонами і кутами трикутника.

24. Сформулюйте і доведіть теорему про нерівність трикутника.

25. Сформулюйте нерівності трикутника XYZ.

26. Що означає вислів: “точка В лежить між точками А і С”?

27. Як пов’язані між собою відстані між точками А, В і С, якщо точка В лежить між точками А і С?

28. Сформулюйте властивості відстаней між довільними точками А, В і С.

ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ З

Трикутник – замкнена ламана із трьох ланок, або частіша площини, обмежена такою ламаною. Кожний трикутник має три сторони, три вершини і три кути. Сума довжин сторін трикутника – його периметр.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Важливу роль у геометрії відіграють ознаки рівності трикутників. Дві фігури називаються рівними, якщо їх можна сумістити. Якщо ∆АВС = ∆КРТ, то АВ = КР, ВС = РТ, СА = ТК, ∠А = ∠К, ∠В = ∠Р, ∠С = ∠Т.

Три ознаки рівності трикутників

Два трикутники рівні, якщо:

– дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника (І);

– якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і прилеглим до неї кутам іншого (ІІ);

– якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам іншого (III).

Трикутник називають рівнобедреним, якщо він мас дві рівні сторони. Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третю – його основою.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі – рівні, а бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Якщо трикутник має два рівні кути, то він – рівнобедрений.

Якщо всі сторони трикутника рівні, його називають рівностороннім трикутником. КОЖНИЙ кут рівностороннього трикутника дорівнює 60°.

Залежно від кутів трикутники поділяють на гострокутні, прямокутні й тупокутні.

Сторону прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, називають гіпотенузою, а дві інші – катетами.

Катет прямокутного трикутника, ЯКИЙ лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Кожна сторона трикутника менша за суму двох інших його сторін і більша за їх різницю. Які б не були три точки площини А, В і С, завжди АВ + ВС ≥ АС.

У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Слова з префіксом без.
Ви зараз читаєте: ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК