Рівняння



Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§ 11. Рівняння

Розглянемо задачу.

Задача. Сергій і Петро на рибалці разом спіймали 8 карасів. Сергій спіймав 3 карасі. Скільки карасів спіймав Петро?

Нехай Петро спіймав х карасів. Тоді за умовою задачі х + 3 = 8.

Маємо рівність, що містить невідоме число.

Рівність, що містить невідоме число, називається рівнянням.

Маємо рівняння: х + 3 = 8. Якщо замість букви поставити число 5, то одержимо правильну числову рівність 5 + 3 = 8. Число 5 – корінь (або розв’язок)

даного рівняння.

Значення невідомого, при якому рівняння перетворюються на правильну числову рівність, називається розв’язком, або коренем рівняння.

Іноді рівняння може мати кілька коренів (з такими рівняннями ми ознайомимося пізніше). Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або показати, що їх немає. Щоб перевірити, чи є число коренем рівняння, підставляємо це число у рівняння замість невідомого і виконуємо обчислення. Якщо дістанемо правильну рівність, то число є коренем рівняння.

Для розв’язування найпростіших рівнянь використовують правила, відомі з початкових класів.

Щоб знайти

невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Наприклад: 14 + x = 58; x = 58 – 14; x = 44.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від’ємник.

Наприклад: х – 12 = 37; х = 12 + 37; х = 49.

Щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.

Наприклад: 42 – х = 18; x = 42 – 18; х = 24.

Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник.

Наприклад, 7 ∙ х = 56; х = 56 : 7; х = 8.

Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на дільник.

Наприклад, х : 5 = 9; х = 9 ∙ 5; х = 45.

Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Наприклад, 36 : х = 9; х = 36 : 9; х = 4.

Розглянемо приклади розв’язування складніших рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжи рівняння (x + 27) – 35 = 62.

Розв’язання. У цьому рівнянні x + 27 – невідоме зменшуване. Щоб його знайти, треба до 62 додати 35. Маємо x + 27 = 62 + 35; x + 27 = 97. Тутx – невідомий доданок. Щоб знайти його, треба від 97 відняти 27. Отже, x = 97 – 27; x = 70.

Приклад 2. Розв’яжи рівняння 4 ∙ 5х = 60.

Розв’язання. Після спрощення лівої частини маємо 20х = 60; х = 60 : 20; х = 3.

Приклад 3. Розв’яжи рівняння 4х + 8х = 36.

Розв’язання. Використовуючи розподільну властивість множення, маємо 4х + 8х = (4 + 8)x = 12х. Отже, 12х = 36, x = 36 : 12, x = 3.

Приклад 4. Розв’яжи рівняння 36 : (х – 18) = 3.

Розв’язання. У цьому рівнянні x – 18 – невідомий дільник. Щоб його знайти, треба 36 поділити на 3. Маємо x – 18 = 36 : 3, x – 18 = 12. Тут x – невідоме зменшуване. Щоб його знайти, треба до 12 додати 18. Отже, x = 12 + 18, x = 30.

Початковий рівень

365. Перевір (усно), чи є число 12 коренем рівняння:

1) 17 – x = 8; 2) x + 21 = 33;

3) x – 10 = 7; 4) 24 – x = 12.

366. Які із чисел 2; 5; 7 є коренями рівняння:

1) 2x + 17 = 27; 2) (13 – x) + 42 = 48?

367. Які із чисел 3; 7; 9 є коренями рівняння:

1) 63 : x – 2 = 7; 2) 15 – (x + 3) = 9?

Середній рівень

368. Розв’яжи рівняння та виконай перевірку:

1) 2571 + х = 4597; 2) у + 17 392 = 21 456;

3) z – 52 142 = 37 897; 4) 42 562 – m = 37 985.

369. Розв’яжи рівняння та виконай перевірку:

1) х + 12 605 = 17 700; 2) 31 409 + у = 47 002;

3) k – 15 391 = 45 497; 4) 12 398 – р = 4597.

370. Знайди невідоме число, якщо:

1) m + 27 311 = 38 111; 2) k – 25 372 = 99 191.

371. Знайди невідоме число, якщо:

1) 32 115 + а = 43 342; 2) b – 12 372 = 105 394.

372. Сума 2563 + 6782 дорівнює 9345. Користуючись цим, знайди корінь рівняння:

1) х + 6782 = 9345; 2) у + 2563 = 9345;

3) 9345 – m = 2563; 4) 9345 – k = 6782.

373. Різниця 6938 – 2475 дорівнює 4463. Користуючись цим, знайди корінь рівняння:

1) х – 4463 = 2475; 2) 6938 – у = 2475.

374. Розв’яжи рівняння:

1) 12 ∙ х = 432; 2) 22 ∙ х = 8008;

3) х ∙ 16 = 0; 4) х : 27 = 38;

5) х : 192 = 0; 6) 912 : х = 24.

375. Розв’яжи рівняння:

1) 16х = 560; 2) х ∙ 36 = 1692;

3) х : 12 = 182; 4) 7936 : х = 31.

376. Заповни таблицю.

Ділене

380

680

0

417

382

Дільник

19

12

13

839

1

Частка

5

39

0

1

377. Розв’яжи рівняння:

1) 2х + 5х = 49;

2) 10а + 2а – 8а = 1544;

3) 15y – 2y – 2y = 385;

4) х + x + 2х + 6х = 17 120.

378. Розв’яжи рівняння:

1) 12x – 3x = 324; 2) 11y + 7y – 2y = 400.

379. Відомо, що 128 ∙ 35 = 4480. Виконай дію або розв’яжи рівняння (усно):

1) 4480 : 128; 2) 4480 : 35;

3) 35х = 4480; 4) 128y = 4480;

5) а : 128 = 35; 6) m : 35 = 128;

7) 4480 : k = 35; 8) 4480 : р = 128.

380. Відомо, що 6370 : 26 = 245. Виконай дію або розв’яжи рівняння (усно):

1) 6370 : 245; 2) 26 ∙ 245;

3) x : 245 = 26; 4) у : 26 = 245;

5) 6370 : t = 245; 6) 6370 : m = 26;

7) 26р = 6370; 8) 245а = 6370.

Достатній рівень

381. Розв’яжи за допомогою рівняння задачу:

1) У корзині було кілька грибів. Після того як у неї поклали 25 грибів, їх стало 72. Скільки грибів було в корзині?

2) На блюді лежало кілька тістечок. Після того як з блюда взяли 8 тістечок, їх там залишилось

11. Скільки тістечок було на блюді?

3) У спортивному таборі відпочивало 198 учнів. Після того як у похід пішло кілька учнів, їх залишилося в таборі 169. Скільки учнів пішло в похід?

382. Розв’яжи задачу за допомогою рівняння:

1) Через 7 років Сергію виповниться 18. Скільки років йому зараз?

2) У магазин завезли 290 кг фруктів. Після того як відвантажили фрукти дитячому садочку, у магазині залишилося 212 кг фруктів. Скільки кілограмів фруктів відвантажили дитячому садочку?

383. Склади задачу за рисунком та розв’яжи її:

Рівняння

384. Знайди значення х + у:

1) 4592 – х = 725; 2) у – 7523 = 2131;

У + 2492 = 7599; 3275 + х = 5924.

385. Знайди значення х – у:

1) 5737 + х = 10 382; 2) х – 5247 = 7382;

5737 – у = 1382; у + 5247 = 7382.

386. Розв’яжи рівняння:

1) (x + 492) – 798 = 839;

2) (x – 792) + 297 = 1392;

3) (x – 5342) – 4132 = 9159;

4) 973 – (343 + x) = 297;

5) 1952 – (x – 732) = 1713;

6) 2372 – (1795 – x) = 1052.

387. Розв’яжи рівняння:

1) (x + 4537) + 5297 = 11 342;

2) (x + 4792) – 539 = 6397;

3) (x – 8397) – 5372 = 1792;

4) 9797 + (5392 – x) = 10 397;

5) 5372 – (x + 4127) = 973;

6) 8374 – (5973 – x) = 4392.

388. При якому значенні змінної рівність є правильною:

1) (у + 7392) + 4597 = 16 292;

2) 5297 + (7592 – x) = 8915?

389. При якому значенні змінної рівність є правильною:

1) (у – 59 792) + 12 397 = 47 594;

2) 12 137 – (а – 15 142) = 8372?

390. Розв’яжи рівняння:

1) 15x + 12x + 7 = 169;

2) 15y + у – 10y – 13 = 131.

391. Розв’яжи рівняння:

1) (х + 26) ∙ 12 = 360; 2) 7(х – 15) = 1841;

3) (132 – х) : 4 = 23; 4) 910 : (х + 11) = 35;

5) 5(2х + 27) = 405; 6) (5х + 2х) : 2 = 252.

392. Розв’яжи рівняння:

1) 8х – 4х + 5 = 25; 2) (у – 12) ∙ 36 = 1260;

3) 851 : (13 + х) = 37; 4) (х – 12) : 13 = 82.

393. Розв’яжи задачу за допомогою рівняння:

1) Учень задумав число. Якщо до нього додати 72 і від отриманої суми відняти 48, то отримаємо 179. Яке число задумав учень?

2) У бензобаку був бензин. Під час поїздки витратили 42 л бензину. Після того як у бензобак долили 37 л, у ньому стало 40 л. Скільки літрів бензину було в бензобаку спочатку?

394. Розв’яжи задачу за допомогою рівняння. Було 80 м тканини. З неї пошили кілька платтів та ще

24 м витратили на костюми. Після цього залишилося 36 м тканини. Скільки метрів тканини пішло на плаття?

395. Розв’яжи рівняння:

1) 9 ∙ 12x = 648; 2) 7 ∙ 2x ∙ 13 = 910;

3) (3 ∙ 2x) : 7 = 42; 4) 70 000 : (25 ∙ 8x ∙ 7) = 50.

396. Розв’яжи рівняння:

1) x ∙ 3 ∙ 12 = 180; 2) 205 : х + 37 = 78.

397. Розв’яжи рівняння:

1) 8 ∙ 13x = 312; 2) (4x ∙ 3) : 5 = 72;

3) 42 – x ∙ 5 = 12; 4) x : 5 – 23 = 42.

Високий рівень

398. Склади рівняння за рисунком та розв’яжи його.

Рівняння

399. Яке число треба поставити замість а, щоб коренем рівняння:

1) (x + а) – 12 = 25 було число 37;

2) (а – х) + 42 = 83 було число 53?

400. Яке число треба поставити замість а, щоб коренем рівняння (x – а) + 37 = 52 було число 27?

401. Встав пропущені числа (розв’яжи рівняння):

Рівняння

Відповіді яких двох рівнянь задовольняють умову

Відповіді яких двох рівнянь задовольняють умову

Рівняння

402. Оля прочитала книжку, у якій 90 сторінок, за два дні, причому за перший день вона прочитала вдвічі більше сторінок, ніж за другий. Скільки сторінок прочитала Оля за перший день і скільки за другий?

403. Сергійко задумав число. Якщо це число зменшити в 5 разів і від результату відняти 27, то отримаємо 13. Яке число задумав Сергійко?

404. Склади рівняння за рисунком та розв’яжи його. Стрілка вказує на більше число.

Рівняння

Разом 117

Рівняння

Разом 282

Вправи для повторення

405. Гелікоптер за 2 год пролетів 450 км. Швидкість літака у 2 рази більша за швидкість гелікоптера. На скільки більше пролетить літак за 3 год, ніж гелікоптер за 4 год?

406. Подай число 7592 у вигляді суми трьох доданків, якщо перший – найбільше, а другий – найменше трицифрові числа, складені із цифр даного числа (цифри у трицифрових числах не повторюються).

407. Розгадай числові ребуси, у яких однакові букви позначають однакові цифри, а різні букви – різні цифри.

Рівняння


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Сочетание типов речи.
Ви зараз читаєте: Рівняння