Скалярний добуток векторів



УРОК № 49

Тема. Скалярний добуток векторів

Мета уроку: формування поняття скалярного добутку векторів; формування вмінь застосовувати вивчені означення та властивості до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати та вектори на площині”[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють означення скалярного добутку, його властивості; застосовують вивчені означення та властивості до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання. 2. Математичний диктант

Дано два вектори:

Варіант 1

Скалярний добуток векторів(1; 0), Скалярний добуток векторів(0; -1);

Варіант 2

Скалярний добуток векторів(-1; 0), Скалярний добуток векторів(0; 1).

Знайдіть:

А) координати вектора 2Скалярний добуток векторів;

Б) координати вектора –Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів;

В) довжину вектора Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів;

Г) довжину вектора Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів;

Д)

координати вектора 3Скалярний добуток векторів + 4Скалярний добуток векторів;

Є) довжину вектора 3Скалярний добуток векторів + 4Скалярний добуток векторів.

ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи

ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів (позначення: (Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів), або Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів, або (Скалярний добуток векторів; Скалярний добуток векторів)) називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів = |Скалярний добуток векторів| ? |Скалярний добуток векторів|cos? (рис. 211).

Скалярний добуток векторів

Два ненульові вектори тоді і тільки тоді взаємно перпендикулярні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто Скалярний добуток векторів Скалярний добуток векторів Скалярний добуток векторів Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів ? Скалярний добуток векторів = 0 (Скалярний добуток векторів Скалярний добуток векторів Скалярний добуток векторів, Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів).

Властивості скалярного добутку

1) Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів= Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів(переставний закон); 2) Скалярний добуток векторів2 = |Скалярний добуток векторів|2, або |Скалярний добуток векторів| = Скалярний добуток векторів= Скалярний добуток векторів; 3) (Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів) ? Скалярний добуток векторів = Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів (розподільний закон); 4) (?Скалярний добуток векторів) ? Скалярний добуток векторів = ?(Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів) (сполучний закон).

Примітка 1. Косинус кута між ненульовим векторами Скалярний добуток векторів та Скалярний добуток векторів виражається формулою Скалярний добуток векторів, яка випливає з означення скалярного добутку.

Примітка 2. Властивість 2 скалярного добутку, а саме формула |Скалярний добуток векторів| = Скалярний добуток векторів= = Скалярний добуток векторів, дозволяє обчислювати довжину вектора в загальному випадку.

Примітка 3. Розподільний закон справджується для будь-якого скінченного числа доданків. Наприклад, правильна формула (Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів) ? Скалярний добуток векторів = Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів.

Скалярний добуток двох векторів, які задано координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Якщо задано вектори Скалярний добуток векторів(a1; a2) і Скалярний добуток векторів(b1; b2) на площині, то Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів= а1b1 + а2b2.

Розв’язування задач

1. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 13. Знайдіть скалярний добуток Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів (рис. 212).

Скалярний добуток векторів

Розв’язання

Оскільки |Скалярний добуток векторів| = |Скалярний добуток векторів| = 13, Скалярний добуток векторівA = 60°, то Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів = |Скалярний добуток векторів|?|Скалярний добуток векторів|cosСкалярний добуток векторівA = = 13 ? 13 cos60° = 169 ? Скалярний добуток векторів = 84,5.

Відповідь. 84,5.

2. Задано вектори Скалярний добуток векторів = Скалярний добуток векторів – 4Скалярний добуток векторів, Скалярний добуток векторів = 3Скалярний добуток векторів + 2Скалярний добуток векторів, які взаємно перпендикулярні. Вектори Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів – одиничні вектори. Знайдіть кут між векторами Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів (в градусах).

Розв’язання

Оскільки |Скалярний добуток векторів| = 1 і Скалярний добуток векторів ? Скалярний добуток векторів = 0, то маємо Скалярний добуток векторів?Скалярний добуток векторів = (Скалярний добуток векторів – 4Скалярний добуток векторів)(3Скалярний добуток векторів + 2Скалярний добуток векторів) = 3Скалярний добуток векторів2 + 2Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів– 12Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів – 8b2 = 3 ? |Скалярний добуток векторів|2 – 10|Скалярний добуток векторів||Скалярний добуток векторів| соs? – 8|Скалярний добуток векторів|2 = 3 – 10cos? – 8 = – 5 – 10cos?,

Тоді – 5 – 10cos? = 0, соs? = –Скалярний добуток векторів, ? = 120°.

Відповідь. 120°.

IV. Розв’язування задач

1. Знайдіть кут між векторами Скалярний добуток векторів(1; 2) і Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів. 2. Дано вершини трикутника ABC: АСкалярний добуток векторів, ВСкалярний добуток векторів, ССкалярний добуток векторів. Знайдіть його кути. 3. Доведіть, що вектори Скалярний добуток векторів(т; п) і Скалярний добуток векторів(-n; m) перпендикулярні або дорівнюють нулю. 4. Дано вектори Скалярний добуток векторів(3; 4) і Скалярний добуток векторів(m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні? 5. Дано вектори Скалярний добуток векторів(1; 0) і Скалярний добуток векторів(1; 1). Знайдіть таке число х, щоб вектор Скалярний добуток векторів + xСкалярний добуток векторів був перпендикулярний до вектора Скалярний добуток векторів. 6. Доведіть, що коли Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів – одиничні неколінеарні вектори, то вектори Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторівСкалярний добуток векторів відмінні від нуля й перпендикулярні. 7. Дано вектори Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів. Знайдіть абсолютну величину вектора Скалярний добуток векторів + Скалярний добуток векторів, якщо |Скалярний добуток векторів| = |Скалярний добуток векторів| = 1, а кут між векторами Скалярний добуток векторів і Скалярний добуток векторів дорівнює 60°.

V. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал. 2. Розв’язати задачу.

Дано вершини трикутника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Знайдіть косинуси кутів цього трикутника.

VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

1. Дайте означення скалярного добутку векторів та сформулюйте властивості скалярного добутку векторів. 2. Сформулюйте властивість і ознаку перпендикулярних векторів.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Практична робота видалення забруднень органічного походження.
Ви зараз читаєте: Скалярний добуток векторів