Суміжні та вертикальні кути

§ 1. Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості

§ 4. Суміжні та вертикальні кути

Практичні завдання

86. ∠BAC – гострий, ∠OAB – суміжний до кута ВАС.

Суміжні та вертикальні кути

∠АОВ – прямий, ∠COA – суміжний до кута АОВ.

Суміжні та вертикальні кути

∠BOC – тупий, ∠AOB – суміжний до кута ВОС.

Суміжні та вертикальні кути

87. ∠AOC і ∠COB – суміжні.

Суміжні та вертикальні кути

88. а) ∠ABD i ∠CBD;

Б) ∠MKP i ∠PKO; ∠MКЕ і ∠ERO;

В) ∠FCN і ∠NCE; ∠FCM і ∠MCE;

Г) ∠ABC і ∠CBD; ∠ADF і ∠FDE.

89. а) Ні;

б) так; в) ні.

90. ∠AOC i ∠COB; ∠COB і ∠BOD; ∠BOD і ∠DOA; ∠DOA і ∠AOC – суміжні.

∠AOC і ∠BOD; ∠AOD і ∠BOC – вертикальні.

91. 1) 24°+ 156°= 180°. Можуть.

2) 63° + 107° = 170° ≠ 180°. Не можуть.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

92. 1) 180° – 29° = 151°; 2) 180° – 84° = 9G°; 3) 180° – 98° = 82°; 4) 180° – 135° = 45°.

Відповідь: 1) 151°; 2) 96°; 3) 82°; 4) 45°.

93. 1) Два гострих кута не можуть бути суміжними, бо їх сума менша 180°.

2) Два тупих кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.

3) Прямий і тупий кути не можуть бути суміжними, бо їх сума більша 180°.

4) Прямий і гострий кути не можуть бути суміжними,

бо їх сума менша 180°.

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

94. Якщо один із суміжних кутів прямий, то суміжний з ним кут теж прямий.

Відповідь: прямий.

95. 1) 180° – ∠ABC= 180° -36° =144°.

2) 180° – ∠ABC = 180° – 102° = 78°.

Відповідь: 1) 144°; 2) 78°.

96. ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 42° = 138° (бо ∠1 і ∠2 – суміжні); ∠3 = ∠1 = 42° (бо ∠1 і ∠3 – вертикальні); ∠4 = ∠2 = 138° (бо ∠4 і ∠2 – вертикальні).

Відповідь: ∠2 = 138°; ∠3 = 42°; ∠4 = 138°.

97. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = х° + 70°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, маємо рівняння: х + 70 + х = 180, звідси 2х + 70 = 180; 2х = 180 – 70; 2х = 110; х = 110 : 2; х = 55, тоді х + 70 = 55 + 70 = 125. Отже, ∠BOC = 55°, ∠AOC = 125°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 125° і 55°.

2) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 8х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння: 8х + х = 180, звідси 9х = 180; х = 180 : 9; х = 20, тоді 8х = 8 х 20 = 160. Отже, ∠BOC = 20°, ∠AOC = 160°.

Відповідь: 20° і 160°.

Суміжні та вертикальні кути

3. Нехай ∠BOC = 2х°, тоді ∠AOC = 3х°. Оскільки ∠AOC + ∠COB = 180°, то маємо рівняння, 2х + 3х = 180, звідси 5х = 180; х = 180 : 5; х = 36, тоді 2х = 2 х 36 = 72°, 3х = 3 х 36 = 108. Отже,∠BOC = 72°, ∠AOC = 108°.

Б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 72° і 108°.

98. 1) Нехай ∠BOC = х°, тоді ∠AOC = 17х°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння: х + 17х = 180, звідси 18х =180; х =180 : 18; х = 10, тоді 17х = 17 х 10 = 170. Отже, ∠BOC = 10°,∠AOC =170°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 10° і 170°.

2) Нехай ∠BOC = 19*°, тоді ∠AOC = 26*°. Оскільки ∠AOC + ∠BOC = 180°, то маємо рівняння 19х + 26х = 180, звідси 45х = 180; х = 180 : 45; х = 4, тоді 19х = 19 х 4 = 76, 26х = 26 x 4 = 104. Отже, ∠BOC = 76°, ∠AOC = 104°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 76° і 104°.

99. 1) Правильне твердження.

2) Неправильне твердження, бо для кожного кута, відмінного від розгорнутого, можна побудувати два суміжних кути.

Суміжні та вертикальні кути

3) Неправильне, бо якщо кути рівні, то вони не є обов’язково вертикальними.

Суміжні та вертикальні кути

4) Правильне твердження.

5) Неправильне твердження.

Б) Неправильне твердження, бо вони можуть прямими.

Суміжні та вертикальні кути

7) Неправильне твердження, бо вони можуть бути рівними.

8) Неправильне твердження, бо сума кутів АОВ і DCF дорівнює 180°, проте вони не є суміжними.

Суміжні та вертикальні кути

9) Правильне твердження.

10) Правильне твердження.

11) Правильне твердження.

12) Неправильне твердження, бо ∠AOB = ∠BOC, проте ∠AOB і ∠BOC – не є вертикальними.

Суміжні та вертикальні кути

13) Неправильне твердження, бо кути АОС і ВОС мають спільну сторону ОС, проте вони не є суміжними.

Суміжні та вертикальні кути

100. Два кути, утворені при перетині двох прямих, можуть бути або суміжними, або вертикальними. Якщо б вони були суміжними, то їх сума дорівнювала б 180°, але це не так. Тому ці кути є вертикальними.

101. 1) Нехай ∠1 + ∠2 = 106°. Оскільки ∠1 і ∠2 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 106° : 2 = 53°. Оскільки ∠2 і ∠3 – суміжні, то ∠3 = 180° – ∠1 = 180° – 53° = 127°. Оскільки ∠3 i ∠4 – вертикальні, то∠4 = ∠3 = 127°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 53°, 127°, 53°, 127°.

2) Нехай ∠4 + ∠2 + ∠3 = 305°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то ∠4 + ∠2 = 180°, тоді ∠3 = 305° – 180° = 125°. Оскільки ∠3 і ∠4 – вертикальні, то ∠4 = ∠3 = 125°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то ∠2= 180° – 125° = 55°. Оскільки ∠1 і ∠2 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 55°.

Відповідь: 55°, 125°, 55°, 125°.

102. Нехай ∠3 – ∠2 = 64°, Z2 = х°, тоді ∠3 = х° + 64°. Враховуючи, що ∠2 i ∠3 – суміжні, то х + х + 64 = 180. Звідси 2х + 64 = 180; 2х = 116; х = 116 : 2; х = 58, тоді х + 64 = 58 + 64 = 122. Отже ∠2 = 58°, Z3 = 122°. Оскільки ∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 – вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 58°, ∠4 = ∠3 = 122°.

Відповідь: 58°, 122°, 58°, 122°.

103. ∠1 і ∠4, ∠3 і ∠5 – вертикальні, тоді ∠4 = ∠1, ∠3 = ∠5.

∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 180°.

104. ∠MOC = 180° – ∠BOM – ∠AOC = 180° – 70° – 15° = 95°.

∠DOK і ∠COM – вертикальні, то ∠DOK = MOC = 95°.

∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 70°+ 95° = 165°.

∠АОD = ∠АОK + ∠КOD = 15° + 95° = 110°.

Відповідь: 95°, 165°, 110°.

105. ∠AOC i ∠BOC – суміжні, OM i ON – бісектриси кутів AOC і BOC відповідно.

Суміжні та вертикальні кути

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 90°.

106. ∠AOC і ∠DOB – вертикальні, ОМ і ON – бісектриси кутів АОС і BOD. ∠MON = ∠1 + ∠AOD + ∠3 = ∠1 + ∠2 + ∠BOC = ∠AOC + ∠BOC = 180°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 180°.

107. ∠ABF = 80°, ∠ABD = 30°, BM і BN – бісектриси кутів FBC і FBD.

Суміжні та вертикальні кути

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 75°.

108. ∠AOB i ∠BOC – суміжні, BD – бісектриса кута АОВ, ∠BOC – ∠BOD = 18°. Нехай ∠BOD = х°, тоді ∠AOD = х°, ∠BOC = х° + 18°. Враховуючи, що ∠AOD + ∠DOB + ∠BOC = 180°, маємо рівняння: х + х + х + 18 = 180, звідси 3х + 18 = 180; 3х = 180 – 18; 3х = 162; х = 162 : 3; х = 54. Тоді ∠AOB = 2 х 54° = 108°, ∠BOC = 54° + 18° = 72°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 72° і 108°.

109. Кути МКЕ і РКЕ – суміжні. KF – бісектриса кута МКЕ, ∠FKE – ∠PKE = 24°. Нехай ∠PKE = х°, тоді ∠MKF = ∠FKE = х° + 24°. Враховуючи, що ∠MKF + ∠FKE + ∠EKP = 180°, маємо рівняння: х + 24 + х + 24 + х = 180, звідси 3х + 48 = 180; 3х = 180 – 48; 3х = 132; х = 132 : 3; x = 44. Toдi ∠PKE = 44°, ∠MKE = 180° – 44° = 136°.

Суміжні та вертикальні кути

Відповідь: 136° і 44°.

110. Нехай ∠ACB = х°, тоді з умови ∠MAB + ∠ACB = 180° випливає, що ∠MAB = 180° – ∠ACB = 180° – х°. Оскільки ∠ACB і ∠KCB – суміжні, то ∠KCB = 180° – ∠ACB = 180° – х°. Отже, ∠MAB =∠KCB = 180° – х°.

111. Якщо ∠MBC = ∠BEF, тоді ∠ABE + ∠BED = ∠MBC + (180° – ∠BEF) = ∠MBC + (180° – ∠MBC) = ∠MBC + 180° – ∠MBC = 180°.

112. Якщо два кути мають спільну сторону і їхня сума дорівнює 180°, то не обов’язково ці кути будуть суміжними. ∠AOB і ∠BOC мають спільну сторону OB і ∠AOB + ∠BOC = 120° + 60° = 180°, проте ∠AOB і ∠BOC не є суміжними.

Суміжні та вертикальні кути

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

113. Прямі а і b розбивають фігуру на шість частин.

Суміжні та вертикальні кути


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Повідомлення в науковому стилі.
Ви зараз читаєте: Суміжні та вертикальні кути