Теорема Гульдіна



1379.

Теорема Гульдіна

У трикутнику ABC AB = ВС, AC = a, BK + AC, BK = h.

Центром мас трикутника ABC є точка O – точка перетину медіан трикутника ABC: Теорема Гульдіна Тоді Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна і Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1380.

Теорема Гульдіна

ABCD – ромб, AB = a, ∠BAD = a, BD? I. SABCD = AB2 sin∠BAD = а2 sin α.

Центром мас ромба ABCD є точка O перетину його діагоналей,

Тоді із ΔABO маємо: Теорема ГульдінаІ Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь:

Теорема Гульдіна

1381.

Теорема Гульдіна

ABCDFK – правильний шестикутник, AB = а = = 27 см,

Теорема Гульдіна

Центром мас правильного шестикутника е точка перетину його діагоналей.

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Якщо а = 27 см, то Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна 88573,5π см3.

1382.

Теорема Гульдіна

ABCD– квадрат, AC + l, AC = d.

Теорема Гульдіна Центром мас квадрата ABCD є точка O перетину діагоналей.

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

class=""/>

1383 .

Щоб довизначити задачу слід вказати, чи лежить вісь у площині квадрата.

1384.

Теорема Гульдіна

Знайдемо об’єм кулі, використовуючи теорему Гульдіна.

Нехай O1- центр мас півкола, тоді Теорема Гульдіна

З іншого боку Теорема Гульдіна Тоді Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1385.

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1386.

Теорема Гульдіна

V = S × C = πг2 × 2πг = 2π2r3. Якщо г – 25, то V = 2π2×253 = 31 250π2(см3).

Відповідь: 2π2r3 = 31 250π2(см3).

1387.

Теорема Гульдіна

Розглянемо випадок обертання трикутника ABC навколо сторони АС.

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Враховуючи, що O – центр мас трикутника, то Теорема ГульдінаЗвідси h = 3ρ.

Тоді Теорема Гульдіна

Отже, теорема доведена.

1388.

Теорема Гульдіна

AB = AC = b, ∠BAC = α. Теорема Гульдіна

Проведемо AD + BC:

Із ΔABD: Теорема Гульдіна

Оскільки O1- точка перетину медіан трикутника ABC, то

Теорема Гульдіна

Проведемо O1K + l, тоді із ΔAO1K:

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1389.

Теорема Гульдіна

Нехай AB = a, AD = b, Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

1390.

Теорема Гульдіна

В трикутнику ABC AB = с, AC = b, BC = а,

O – точка перетину медіан трикутника. S – площа трикутника ABC.

Нехай AM – медіана трикутника ABC, проведемо ON + BC, AK + BC,

Тоді ΔAKM ~ ΔONM, тоді Теорема Гульдіна тоді Теорема Гульдіна

Отже, відстань від точки O до сторони трикутника дорівнює третині висоти трикутника, проведеної до цієї сторони.

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Де ha, hb, hc – висоти проведені до сторін а, b, с, тоді Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Звідси Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1391.

Теорема Гульдіна

Оскільки SABCD = S, тоді Теорема Гульдіна з іншого боку,

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Тоді шуканий об’єм Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1392.

Теорема Гульдіна

ABCD – паралелограм, AK? BD.

Нехай SΔABD = S, тоді SΔBCD = S, O1 і O2- центри мас трикутників ABD і BCD і

O1H1 + AK, O2H2 + АК, тоді (згідно з результатом задачі 1390) Теорема ГульдінаТеорема Гульдіна

Де h – висота трикутника ABD.

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Тоді Теорема Гульдіна

Відповідь: 1:2.

1393.

Оскільки Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

І AB2 + BC2 = AC2, то ΔABC – прямокутний (АС – гіпотенуза).

Теорема Гульдіна

Нехай O – центр мас трикутника ABC.

А)

Теорема Гульдіна

Враховуючи розв’язання задачі 1390, маємо:

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

Б)

Теорема Гульдіна

Враховуючи розв’язання задачі 1390, маємо:

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: 5π.

1394.

Теорема Гульдіна

AB = a, ∠ABC = α, ∠BAC = 90 + α. O – центр мас, точка перетину медіан трикутника ABC, OK + AB, CF + AB. FC = BC sin∠ABC = a sin α, тоді

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

(див. розв’язання задачі 1390).

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Тоді Теорема Гульдіна

Якщо а = 18 дм, α = 41°, тоді

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна π 1751 дм3.

1395.

Теорема Гульдіна

ABCD – прямокутник, BD? l, BD = d, ∠ADB = α.

Із ΔABD: AD = BD × cos∠ADB = d cos α; AB = BD × sin∠ADB = d sin α,

Тоді SABCD = AD × AB = d2 sin α cos α. OK + l, AO1+ l,

Тоді AO1 = AD × sin∠ADB = d cos × sin α,

Звідси KO = d cos α sin α.

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1396.

Теорема Гульдіна

ABCD – квадрат, AS = a, AK = KB, AF = FD. Шуканий об’єм дорівнює сумі об’єму V1циліндра з твірною BD і радіусом основи OM без об’ємів двох конусів з твірною BK і радіусом основи MO та об’єму V2тіла обертання трикутника BCD навколо l.

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1397.

Теорема Гульдіна

Шуканий об’єм дорівнює об’єму тіла утвореного обертання прямокутника

AA1C1C навколо AA1. Оскільки AB = а, тоді Теорема Гульдіна

Відповідь: 2πα3.

1398.

Теорема Гульдіна

Шуканий об’єм дорівнює об’єму тіла, утвореного обертанням трикутників SCA і ACB навколо SA:

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1399.

Теорема Гульдіна

Нехай а – ребро куба, тоді

Теорема Гульдіна

Враховуючи, що Теорема Гульдіна тоді Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

§ 36. Площі поверхонь

1410.

Знайдемо площу поверхні кулі з діаметром 8 см: S1 = 4π × φ2= 64π (см2), а також площу поверхні 15 куль діаметром 2 см: S2 = 15 × 4π × 12 = 60π (см2). Отже, на нікелювання однієї кулі діаметром 8 см витрачається матеріалу більше, ніж на нікелювання 15 куль діаметром 2см.

1411.

Перетворимо рівняння сфери: x2 – 4x + у2 + 2у + z2 = 4;

(х2 – 4х + 4) + (y2 + 2у + I) + z2 = 4 + 5; (х – 2)2 + (у + 1)2 + z2 = 9.

Отже, радіус сфери r = 3, тоді S = 4πг2 = 4π × 9 = 36π.

Відповідь: 36π.

1412.

Знайдемо довжину діаметра АВ:

Теорема Гульдіна

Отже, радіус сфери г = 3, тоді S = 4πг2 = 4π × 9 = 36π.

Відповідь: 36π.

1413.

Знайдемо радіус сфери:

Теорема Гульдіна

Отже, площа сфери S = 4πг2 = 4π × 54 = 216π.

Відповідь: 216π.

1414.

Теорема Гульдіна

Нехай радіус сфери, вписаної в куб, дорівнює г. Тоді S = 4πг2, оскільки сфера вписана в куб, то ребро куба а дорівнює діаметру сфери: а = 2г.

Звідси Теорема Гульдіна і Теорема Гульдіна

З ΔABD: BD2 = AB2 + AD2= 2а2.

З ΔB1BD: Теорема Гульдіна

Отже, площа поверхні сфери, описаної навколо квадрата,

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Відповідь: 1 : 3.

1415.

Теорема Гульдіна

Оскільки прямокутний паралелепіпед вписаний у сферу,

То B1D = 2г, AB = 3 дм, BC = 4 дм, BB1 = 5 дм.

З Δ ABD: BD2 = AB2 + AD2 = 9 + 16 = 25 (дм).

З Δ BBD: Теорема Гульдіна

Звідси Теорема Гульдіна

Отже, площа поверхні сфери S дорівнює

Теорема Гульдіна

Відповідь: 50π дм2.

1416.

Теорема Гульдіна

SA – апофема правильної піраміди, ∠ SAO1= α.

Центр O сфери, вписаної в піраміду, лежить на висоті SO1.

Нехай куля дотикається до деякої бічної грані в точці К,

Яка лежить на апофемі SA.

3 Δ SAO1: AO1 = AS × cos ∠ SAO1 = m × cos α.

ΔKOA = Δ O1OA (за катетом і гіпотенузою: KO = OO1, AO – спільна гіпотенуза).

Звідси: Теорема Гульдіна

З Δ OA1A: Теорема Гульдіна

Отже, площа сфери S дорівнює:

Теорема Гульдіна

Обчислимо при m = 15, α = 60°:

Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна

Відповідь: ≈ 235 см2.

1417.

Теорема Гульдіна

Нехай SABC – правильна трикутна піраміда, AB = BC = CA = а.

З вершини S проведемо SD + АС, оскільки Δ SAC – рівнобедрений, то SO – медіана, бісектриса і висота. В ΔABC проведемо BD + АС, тоді BD – бісектриса, медіана і висота. ∠SDO1= α.

Нехай г – радіус вписаної кулі. Проведемо OK + SD. OO 1 = OK = r.

ΔOKD ~ Δ ΟΟ1D.

Теорема Гульдіна

Тоді з ΔΟΟ,Ο: Теорема Гульдіна

Отже, площа поверхні кулі V дорівнює:

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1418.

Теорема Гульдіна

Нехай SABCD – задана чотирикутна піраміда, O – центр вписаного кола,

SO : OM = 5 : З, SO = 5х, OM = 3х,

В точках M і P куля дотикається основи і бічної сторони, отже, OA + LK,

OP + SK.

ΔSMK ~ ΔSOP. З подібності трикутників маємо:

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Знайдемо SP з ΔSOP: Теорема Гульдіна

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Отже, площа поверхні кулі S1 = 4π × 9х2 = 36πг2,

Площа бічної поверхні піраміди

Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1419.

Теорема Гульдіна

Нехай SABCDE – правильний октаедр, AB = BC = CD = DA = SA = … AE = а.

У ΔSCD: SM + DC, Теорема Гульдіна тоді з ΔSMD: Теорема Гульдіна

Площа поверхні октаедра Теорема Гульдіна де P – периметр ABCD.

Теорема Гульдіна За умовою Теорема Гульдіна Отже, Теорема Гульдіна

А2 = 36; а = 6 (см), тоді Теорема Гульдіна

Площа поверхні сфери S2дорівнює: S2 = 4π × OM2 = = 4π × 9 = 36π (см2).

Відповідь: 36π см2.

1420.

Теорема Гульдіна

Нехай OA + OB, OB + ОС, ОС + ОА.

Площа поверхні частини кулі, обмеженої площинами АОВ, BOC і СОА,

Дорівнює Теорема Гульдіна площі поверхні кулі, отже, Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна

1421.

Теорема Гульдіна

Нехай Теорема Гульдіна тоді Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

S 1 – площа першого сферичного сегмента:

Теорема Гульдіна

S2 – площа другого сферичного сегмента:

Теорема Гульдіна

Відповідь: Теорема Гульдіна Теорема Гульдіна

1422.

Площа поверхні кульового сегмента S = 2πrh = 2πr × 0,5г = πг2.

Відповідь: πг2.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Число груп зчеплення в організмі дорівнює.
Ви зараз читаєте: Теорема Гульдіна