Теорема косинусів

Related posts:

1. Теорема синусів Геометрія Розв’язування трикутників Теорема синусів Теорема 1 (синусів). Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів. У трикутнику, зображеному на рисунку, за теоремою синусів маємо: . Теорема 2. Якщо R – радіус кола, описаного навколо трикутника, то , або , де a – сторона трикутника, а – протилежний цій стороні кут. Теорема 3. У трикутнику проти […]...
2. Теорема косинусів УРОК № 4 Тема. Теорема косинусів Мета уроку: вивчення теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника”[13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему косинусів та доводять її. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність виконаних домашніх завдань […]...
3. Теорема Піфагора Геометрія Трикутники Теорема Піфагора Теорема 1 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора. Теорема 2 (обернена). Коли в трикутнику сторони a, b, c і , то цей трикутник є прямокутним з гіпотенузою c. Теорема 3. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу. […]...
4. Наслідки теореми косинусів УРОК № 5 Тема. Наслідки теореми косинусів Мета уроку: виведення наслідків із теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідків з неї до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему косинусів до розв’язування задач. Хід уроку І. […]...
5. Теорема Фалеса Геометрія Чотирикутники Теорема Фалеса Теорема 1 (Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні. На рисунку ; ; . Зверніть увагу: . Теорема має місце не тільки для сторін кута, а й для довільних прямих. Теорема 2 (про […]...
6. Рівнобедрений трикутник Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Рівнобедрений трикутник Трикутник називається Рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці сторони називаються Бічними сторонами, а третя сторона – Основою трикутника. На рисунку: ABC – рівнобедрений трикутник; – бічні сторони; AC – основа. Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними. Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику […]...
7. Рівносторонній трикутник – ТРИКУТНИКИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ТРИКУТНИКИ Рівносторонній трикутник Усі висоти, медіани й бісектриси мають однакову довжину. Вписане і описане коло мають спільний центр. Середня лінія трикутника – відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника. Теорема: Зовнішній кут трикутника – кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника. Теорема: Теорема косинусів: у будь-якому трикутнику зі сторонами а, b, с […]...
8. Теорема про триперпендикуляри Геометрія Стереометрія Теорема про триперпендикуляри Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої. Приклади застосування теореми про три перпендикуляри 1. На рисунку – куб. , тому […]...
9. Рівносторонній трикутник Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Рівносторонній трикутник Якщо всі сторони трикутника рівні, він називається Рівностороннім. На рисунку . Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються. Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику всі медіани (висоти, бісектри­си) рівні між собою....
10. Теорема синусів УРОК № 7 Тема. Теорема синусів Мета уроку: вивчення теореми синусів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему синусів та доводять її. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Перевірити правильність виконання домашніх […]...
11. Сума кутів трикутника Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Сума кутів трикутника Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює . Із цієї теореми випливають наслідки: 1. У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі (тобто в трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого ­кута). 2. Кути рівностороннього трикутника дорівнюють . Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний […]...
12. Прямокутний трикутник Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Прямокутний трикутник Трикутник називається Прямокутним, якщо він має прямий кут. Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається Гіпотенузою. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються Катетами. На рисунку – прямокутний. AB і BC – катети, AC – гіпотенуза. Теорема. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює . Ознаки рівності прямокутних трикутників […]...
13. Середня лінія трикутника Геометрія Трикутники Середня лінія трикутника Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін. Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині. На рисунку праворуч: ;. У трикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і […]...
14. Нерівність трикутника Геометрія Трикутники Нерівність трикутника Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них до третьої точки. Звідси випливає, що у будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль різниці двох інших сторін. Якщо a, b і c […]...
15. Висота, бісектриса, медіана трикутника Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Висота, бісектриса, медіана трикутника Висотою Трикутника, опущеною з да­ної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. У кожному трикутнику можна провести три висоти. Висоти трикутника (або прямі, що їх містять) перетинаються в одній точці. На рисунках зображено, як перетинаються висоти в гострокутному […]...
16. Трикутник і його елементи Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 9. Трикутник і його елементи 292. На мал. 194 зображені трикутники ABD, ABC, ОВС. Проти кута C в трикутнику АВС лежить сторона АB, в трикутнику DBC – сторона BD. Прилеглими до кута С в трикутнику ABC є сторони АС і ВС, в трикутнику DBC – сторони […]...
17. Теореми про рівність і подібність трикутників – ТРИКУТНИКИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ТРИКУТНИКИ Трикутник – де багатокутник із трьома сторонами. Сторони трикутника позначаються малими буквами, що відповідають позначенню протилежних вершин. Якщо всі три кути гострі – трикутник гострокутний. Якщо один з кутів прямий – прямокутний; сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами (а і b), сторона проти прямого кута – гіпотенузою (с). Якщо […]...
18. НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ & 15. НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА Ви вже знаєте, що кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Щоб довести це твердження як теорему, спочатку розглянемо іншу теорему. Теорема 19 У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Доведення. 1) Нехай у трикутнику ABC […]...
19. Коло Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Коло Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається Цент­ром кола. Відстань від точок кола до його центра називається Радіусом кола. Радіусом також називається будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром. Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається Хордою. […]...
20. Рівні трикутники. Висота, медіана, бісектриса трикутника § 2. Трикутники 6. Рівні трикутники. Висота, медіана, бісектриса трикутника Практичні завдання 132. 133. ВН – спільна висота трикутників ABD, ABC, BDC. ВН лежить поза трикутником BCD. 134. 135. 136. Вправи 137. 1) ME; 2) ∠E; 3) MK i KE; 4) ∠K i ∠E. 138. 1) ∠E; 2) ∠C i ∠E;3) CF; 4) CF і […]...
21. Теорема Піфагора Урок № 34 Тема. Теорема Піфагора Мета: сформувати в учнів розуміння змісту теореми Піфагора та її доведення. Формувати вміння відтворювати зміст теореми Піфагора, застосовувати її формулювання для розв’язування задач на знаходження невідомих сторін прямокутних трикутників. Типу уроку: засвоєння нових знань. Наочність та обладнання: конспект “Теорема Піфагора”. Хід уроку I. Організаційний етап II. Перевірка домашнього завдання […]...
22. Теорема, обернена до теореми Піфагора Урок № 35 Тема. Теорема, обернена до теореми Піфагора Мета: домогтися свідомого розуміння учнями змісту теореми Піфагора та її доведення: сформувати поняття єгипетського трикутника, піфагорової трійки чисел, піфагорових трикутників. Формувати вміння відтворювати зміст вивченої теореми та застосовувати її під час розв’язування задач на доведення. Тип уроку: засвоєння нових знань. Наочність та обладнання: конспект “Теорема Піфагора”. […]...
23. Властивості подібних фігур Геометрія Подібність фігур Властивості подібних фігур Теорема. Коли фігура подібна фігурі , а фігура – фігурі , то фігури і Подібні. Із властивостей перетворення подібно­сті випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABC і : ; ; ; . Ознаки подібності трикутників Теорема 1. Якщо два […]...
24. Розв’язання трикутників Геометрія Розв’язування трикутників Розв’язування трикутників Розв’язування трикутників полягає у знаходженні невідомих сторін і кутів трикутника за відомими його сторонами та кутами. Результати в таких задачах наближені, тому що для більшості значень кутів наближеними є значення їх синуса і косинуса. Задача 1. Розв’язати трикутник за стороною й двома прилеглими кутами. На рисунку в трикутнику дано: a; […]...
25. Квадрат Геометрія Чотирикутники Квадрат Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Властивості квадрата Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо: 1) у квадрата всі сторони рівні; 2) у квадрата всі кути рівні; 3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів; 4) діагоналі квадрата […]...
26. Кути, вписані в коло Геометрія Кути, пов’язані з колом Кути, вписані в коло Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається Плоским кутом. Плоскі кути із спільними сторонами називаються Доповняльними. Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами. Центральним кутом у колі називається плоский кут […]...
27. Розв’язування задач на застосування теореми синусів УРОК № 8 Тема. Розв’язування задач на застосування теореми синусів Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему синусів до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13], посібник [14]. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему синусів до розв’язування задач. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. […]...
28. Пропорційність відрізків хорд і січних кола Геометрія Кути, пов’язані з колом Пропорційність відрізків хорд і січних кола Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то (рисунок 1). Теорема 2. Якщо з точки P до кола проведені дві січні, що перетинають коло відповідно в точках A, B, C, D, то (рисунок 2). Тобто добуток січної, проведеної до […]...
29. Теорема Гульдіна 1379. У трикутнику ABC AB = ВС, AC = a, BK + AC, BK = h. Центром мас трикутника ABC є точка O – точка перетину медіан трикутника ABC: Тоді і Відповідь: 1380. ABCD – ромб, AB = a, ∠BAD = a, BD? I. SABCD = AB2 sin∠BAD = а2 sin α. Центром мас ромба […]...
30. Ромб Геометрія Чотирикутники Ромб Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Властивості ромба Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші. Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. На рисунку ABCD – ромб; ; ; ; ; . Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають […]...
31. Трикутник та його елементи Урок № 15 Тема. Трикутник та його елементи Мета: домогтися засвоєння учнями змісту понять: “трикутник”; “сторона, вершина, кут (внутрішній) трикутника”; “кут, протилежний стороні”; “кут, прилеглий до сторони”; “периметр трикутника”; “внутрішня та зовнішня область трикутника”. Сформувати вміння: – розпізнавати та називати елементи трикутників, зображених на рисунку; – за рисунком та символічним позначенням трикутника називати кути, протилежні […]...
32. Паралелограм Геометрія Чотирикутники Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються Вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,- Сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються Сусідніми, якщо […]...
33. Ознаки рівності трикутників Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Ознаки рівності трикутників Теорема 1 (перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами й кутом між ­ними). Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 2 (друга ознака рівності трикутників – за стороною […]...
34. Значення синусів і косинусів окремих кутів 10. Додатки 33. Значення синусів і косинусів окремих кутів...
35. Теорема Фалеса Урок № 16 Тема. Теорема Фалеса Мета: формувати в учнів усвідомлене розуміння змісту теореми Фалеса та способу її доведення; формувати вміння відтворювати формулювання теореми Фалеса; застосовувати її для розв’язування задач на знаходження довжин відрізків, що відтинаються на сторонах паралельними прямими; розв’язувати задачі на поділ відрізка на п рівні відрізки або в даному відношенні. Тип уроку: […]...
36. Ознаки рівнобедреного трикутника Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Ознаки рівнобедреного трикутника Теорема 1. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Теорема 2. Трикутник рівнобедрений, ­якщо: – одна з його висот є медіаною; – одна з його медіан є бісектрисою; – одна з його висот є бісектрисою. Теорема 3. Трикутник рівнобедрений, ­якщо: – дві його висоти […]...
37. Суміжні й вертикальні кути Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Суміжні й вертикальні кути Два кути називаються Суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими. На рисунку і – суміжні. Властивості суміжних кутів Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює . (Зверніть увагу: кути, сума яких дорівнює , не обов’язково суміжні.) Теорема 2. Коли два […]...
38. Бісектриса Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Бісектриса Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута, проходить між його сторонами й ділить кут пополам. На рисунку BD – бісектриса . Властивості бісектриси Теорема 1. Бісектриса кута утворює з його сторонами кути, не більші за . Теорема 2. Бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій (тобто […]...
39. Ознаки паралельності прямих. Сума кутів трикутника Урок № 40 Тема. Ознаки паралельності прямих. Сума кутів трикутника Мета: перевірити рівень засвоєння знань та вмінь, передбачених програмою, із зазначених тем. Тип уроку: контроль та корекція знань. ХІД УРОКУ I. Організаційний момент II. Перевірка домашнього завдання Зібрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою. Роботу оцінити та врахувати в тематичному балі. III. Умова контрольної роботи […]...
40. Прямокутний трикутник Урок № 36 Тема. Прямокутний трикутник Мета: домогтися засвоєння учнями властивості прямокутного трикутника з гострим кутом 30° та оберненого твердження і схеми їх доведень; сформувати в учнів уміння відтворювати формулювання цих тверджень та використовувати їх для розв’язування задач; удосконалювати вміння використовувати набуті раніше знання для розв’язування задач на прямокутний трикутник. Тип уроку: засвоєння знань, умінь […]...