Тригонометричні функції числового аргументу



УРОК 7

Тема. Тригонометричні функції числового аргументу

Мета уроку: Формування поняття тригонометричних функцій чис­лового аргументу; вивчення значень тригонометрич­них функцій деяких чисел (кутів), зміни знаків три­гонометричних функцій у координатних чвертях.

І. Перевірка домашнього завдання

Розв’язування вправ аналогічних до домашніх.

1. Подайте в радіанній мірі кути:

А) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5′.

Відповідь: а) Тригонометричні функції числового аргументу; б) Тригонометричні функції числового аргументу?; в) Тригонометричні функції числового аргументу?; г) Тригонометричні функції числового аргументу

class=""/>.

2. Подайте в градусній мірі кути:

А) Тригонометричні функції числового аргументу; б) 1,25?; в) 1; г) 10.

Відповідь: а) 105°; б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.

3. Знайдіть довжину дуги, якщо на неї опирається центральний кут? = Тригонометричні функції числового аргументу, а радіус кола дорівнює 10 м.

Відповідь: 9? м.

II. Сприймання і усвідомлення понять синуса, косинуса, тангенса і котангенса числа

Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку коорди­нат, яке називається одиничним (рис. 43). Позначимо точку Ро – правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у від­повідність кожному дійсному числу? точку кола за такими правилом:

1)

Якщо? > 0, то, рухаючись по колу із точки Ро в напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу ко­ла), опишемо по колу шлях довжи­ною а, кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою??.

Тригонометричні функції числового аргументу

2) Якщо? < 0, то, рухаючись із точки? о (рис. 44) в напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях дов­жиною |?|; кінець цього шляху і буде шукана точка Р?.

Тригонометричні функції числового аргументу

3) Якщо? = 0, то поставимо у відповідність точку Ро.

Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку?0 одиничного кола.

Якщо? = ?о + 2?k, де k – ціле число, то при повороті на кут? одержуємо одну і ту саму точку, що й при повороті на кут? о.

Якщо точка? відповідає числу?, то вона відповідає і всім числам виду? + 2?k, де 2? – довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k – ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.

1. Яким числам відповідають точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), якщо відомо, що? – середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК – рівні.

Відповідь: 2?n; Тригонометричні функції числового аргументу+2?n; Тригонометричні функції числового аргументу+2?n; Тригонометричні функції числового аргументу + 2?n; Тригонометричні функції числового аргументу + 2?n; ? + 2?n; – Тригонометричні функції числового аргументу + 2?n, n Тригонометричні функції числового аргументу Z.

Тригонометричні функції числового аргументу

2. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:

А) Тригонометричні функції числового аргументу + 2?n, – Тригонометричні функції числового аргументу + 2?n, Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, –Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, де n Тригонометричні функції числового аргументу ?;

Б) Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n,Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, – Тригонометричні функції числового аргументу+ 2?n, де n Тригонометричні функції числового аргументу ?.

Відповідь: а) рис. 46 (кожна чверть кола поділена на 2 рівні частини); б) рис. 47 (кожна чверть кола поділена на 3 рівні частини).

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

3. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам 1; 2; 3;-5. Відповідь: рис. 48.

Тригонометричні функції числового аргументу

Синусом числа? називається ордината точки Р?, утвореної пово­ротом точки Р? (1; 0) навколо початку координат на кут в? раді­ан (позначається sin?) (рис. 49).

Синус визначений для будь-якого числа?.

Косинусом числа? називається абсциса точки Р?, утвореної по­воротом точки Р? (1; 0) навколо початку координат на кут в? радіан (позначається cos?) (рис. 49).

Косинус визначений для будь-якого числа?.

Тригонометричні функції числового аргументу

Виконання вправ

1. Обчисліть:

A) cos 7?; б) sin 7?; в) cosТригонометричні функції числового аргументу; г) sin Тригонометричні функції числового аргументу .

Відповідь: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.

2. Обчисліть:

A) Тригонометричні функції числового аргументу; б) Тригонометричні функції числового аргументу; в) sin? + sin 1,5?; г) cos0 + cos 3,5? – cos 3?.

Відповідь: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.

Тангенсом числа? називається відношення синуса числа? до його косинуса: Тригонометричні функції числового аргументу.

Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos? = 0, тобто, ? = Тригонометричні функції числового аргументу + ?n, n Тригонометричні функції числового аргументу ?.

Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (рис. 50). Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці? о. Нехай? – довільне число, для якого cos? Тригонометричні функції числового аргументу 0, тоді точка Р? (cos?; sin?) не лежить на осі ординат і пряма ОР? перетинає t в деякій точці Т? з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Т? із трикут­ника ОРоТ?.

Тригонометричні функції числового аргументу; у = tg?.

Тригонометричні функції числового аргументу

Таким чином, ордината точки перетину прямих ОР? і t дорівнює тангенсу числа?. Тому пряму t нази­вають віссю тангенсів.

Котангенсом числа? називається від­ношення косинуса числа? до його синуса: Тригонометричні функції числового аргументу.

Котангенс визначений для всіх?, крім таких значень, для яких sin? Тригонометричні функції числового аргументу 0, тобто, a = ?n, n Тригонометричні функції числового аргументу ?.

Введемо поняття лінії котангенсів (рис. 51). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці Тригонометричні функції числового аргументу . Для довільного числа?, якщо sin? Тригонометричні функції числового аргументу 0 і відповідно точка Р? (cos?, sin?) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОР? перетинає пряму q у деякій точці Q? з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника ОТригонометричні функції числового аргументуQ? маємо: Тригонометричні функції числового аргументу, звідси х = ctg?. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОР? і q дорівнює котангенсу числа?, тому пряму q називають віссю котангенсів.

Тригонометричні функції числового аргументу

Виконання вправ

1. Обчисліть: а) tg?; б) tg (-?); в) tg 4?; г) tg Тригонометричні функції числового аргументу.

Відповідь: а) 0; б) 0; в) 0; г) не визначений.

2. Визначте знак числа: а) tg Тригонометричні функції числового аргументу; б) tg Тригонометричні функції числового аргументу; в) tg Тригонометричні функції числового аргументу; г) ctg Тригонометричні функції числового аргументу .

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.

III. Визначення значень тригонометричних функцій деяких чисел

Через те що поворот на кут в? радіан співпадає з поворотом 180 на кут –Тригонометричні функції числового аргументу? градусів, аргумент синуса і косинуса можна виразити як в градусах, так і в радіанах. Наприклад, при повороті точки (1; 0) на кут Тригонометричні функції числового аргументу, тобто на кут 90?, тому sinТригонометричні функції числового аргументу = sin 90° = 1, cosТригонометричні функції числового аргументу = cos 90° = 0.

Заповнимо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і ко­тангенса деяких чисел (таблиця 4) або розглянемо таблицю 2 (стор. 31) підручника і виконаємо вправу 1.

?

0

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

?

Тригонометричні функції числового аргументу

2?

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Sin?

0

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

1

0

-1

0

Cos?

1

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

0

-1

0

1

Tg?

0

Тригонометричні функції числового аргументу

1

Тригонометричні функції числового аргументу

Не існ.

0

Не існ.

0

Ctg?

Не існ.

Тригонометричні функції числового аргументу

1

Тригонометричні функції числового аргументу

0

Не існ.

0

Не існ.

Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса інших чи­сел можна знайти за допомогою математичних таблиць або каль­кулятора.

1. Обчисліть:

А) 3sin Тригонометричні функції числового аргументу + 2cos Тригонометричні функції числового аргументу – tg Тригонометричні функції числового аргументу;

Б) 5sin Тригонометричні функції числового аргументу +3tg Тригонометричні функції числового аргументу – 5cos Тригонометричні функції числового аргументу – 10ctg Тригонометричні функції числового аргументу;

В) Тригонометричні функції числового аргументу;

Г) sin Тригонометричні функції числового аргументу? cos Тригонометричні функції числового аргументу – tg Тригонометричні функції числового аргументу.

Відповідь: а) Тригонометричні функції числового аргументу; б)-7; в) –Тригонометричні функції числового аргументу; г) –Тригонометричні функції числового аргументу.

2. Обчисліть за допомогою мікрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg Тригонометричні функції числового аргументу; г) сtg Тригонометричні функції числового аргументу.

Відповідь: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.

IV. Вивчення зміни знаків тригонометричних функцій

Число sin? – це ордината відповідної точки Р?, тому sin? > 0, якщо точка розташована вище осі абсцис, тобто в І і II чвертях (рис. 52). Якщо ця точка лежить нижче осі абсцис, то її ордината від’ємна в третій і четвертій чвертях.

Тригонометричні функції числового аргументу

Число cos? – це абсциса точки Р?, тому cos? > 0 в І та IV чвертях, cos? < 0 в II та III чвертях (рис. 53).

Тригонометричні функції числового аргументу

Так як Тригонометричні функції числового аргументу, Тригонометричні функції числового аргументу, то tg? > 0 і ctg? > 0, якщо sin? і cos? мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, і tg? < 0 і ctg? < 0 в II і IV чвертях (рис. 54).

Тригонометричні функції числового аргументу

1. У якій чверті знаходиться точка??, якщо:

А) sin? > 0 і cos? > 0;

Б) sin? > 0 і cos? < 0;

В) sin? < 0 і cos? > 0;

Г) sin? < 0 і cos? < 0?

Відповідь: а) І; б) II; в) IV; г) III.

2. Якій чверті належить Р?, якщо:

А) sin? cos? > 0;

Б) sin? cos? < 0;

В) tg? cos? > 0;

Г) ctg? sin? < 0?

Відповідь: а) І або III; 6) II або IV; в) І або II; г) II або III.

3. Знайдіть знак виразу:

А) cos Тригонометричні функції числового аргументу ; б) sin Тригонометричні функції числового аргументу; в) ctg (? + ?); г) tg Тригонометричні функції числового аргументу, якщо 0 < ? < Тригонометричні функції числового аргументу.

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) плюс; г) плюс.

4. Визначте знак виразу:

А) sin105° – cos105°; б) cos155° – sin255°; в) tg127° – ctg200°; г) tg351° – ctg220°.

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.

5. Визначте знак добутку:

А) tg 2 – tg 3 – ctg 3 – cos 1; б) sin 1 – cos 2 – tg 3 – ctg 4.

Відповідь: а) мінус; б) плюс.

V. Підсумок уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ І § 4. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 40-42, 46. Вправи № 10, 12, 16, 21.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Бавовник кліматичний пояс.
Ви зараз читаєте: Тригонометричні функції числового аргументу