Тригонометричні функції кута



УРОК 5

Тема. Тригонометричні функції кута

Мета уроку: повторити означення тригонометричних функцій го­строго кута прямокутного трикутника і ввести озна­чення тригонометричної функції довільного кута.

І. Аналіз помилок, допущених у математичному диктанті та самостійній роботі.

1. Побудуйте графіки функцій (індивідуальні картки):

А) Тригонометричні функції кута; б) Тригонометричні функції кута; в) Тригонометричні функції кута; г) Тригонометричні функції кута.

Відповідь: а) рис. 25; б) рис. 26; в) рис. 27; г) рис. 28.

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

class=""/>

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

2. Побудуйте графіки функцій (індивідуальні картки):

А) Тригонометричні функції кута; б) Тригонометричні функції кута

Відповідь: а) рис. 29; б) рис. 30.

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

II. Повторення відомостей про тригонометричні функції гострих кутів прямокутного трикутника.

Провести повторення шляхом фронтальної бесіди з викорис­танням таблиці 3.

Тригонометричні функції кута

1. Дайте означення синуса гострого кута прямокутного трикут­ника.

2. Дайте означення косинуса гострого кута прямокутного три­кутника.

3.

Дайте означення тангенса гострого кута прямокутного трикутника. (Увести поняття котангенса гострого кута прямокутного три­кутника).

4. Користуючись рис. 31, знайдіть sin?, cos?, tg?, ctg?, sin?, cos?, tg?, ctg?.

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

5. Обчисліть:

А) 2 cos 60° + Тригонометричні функції кута cos 30°;

Б) 3tg45°-tg60°;

В) 2 cos 30° + 6 cos 60° – 4 tg 45°;

Г) 2 ctg 60° – 2 sin 60°.

6. Спростіть:

A) (1 – cos?)(1 + cos?);

6) tg? – ctg? + sin2 ? + cos2 ?.

III. Повторення відомостей про тригонометричні функції довільного кута

У курсі геометрії для кутів від 0° до 180° було дано означення синуса, косинуса, тангенса за допомогою кола. Нагадаємо ці озна­чення. Нехай дано коло радіуса R, центр якого знаходиться у по­чатку координат. Відкладемо від додатної півосі у верхню півплощину кут?, друга сторона якого перетне коло в точці Р?(х; у) (рис. 32).

Тригонометричні функції кута

Синусом кута називається відношення ординати точки Р?(х; у) кола до його раді­уса: Тригонометричні функції кута.

Косинусом кута називається відношен­ня абсциси точки Р?(.х; у) кола до його радіуса: Тригонометричні функції кута.

Тангенсом кута називається відношен­ня ординати точки Р?(х; у) до її абсциси:Тригонометричні функції кута.

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки Р?(х; у) до її ординати: Тригонометричні функції кута.

Приклад 1. Знайти sin?, cos?, tg?, ctg?, якщо? = 120°. Побудувавши точ­ку Р120?, маємо (рис. 33):

Тригонометричні функції кута; Тригонометричні функції кута; Тригонометричні функції кута; Тригонометричні функції кута;

Тригонометричні функції кута

Якщо будь-який кут розглядати як фігуру, утворену обертан­ням променя навколо своєї початкової точки у двох можливих напрямах (додатному – проти годинникової стрілки, від’ємно­му – за годинниковою стрілкою), то дане визначення можна використовувати для будь-яких кутів.

Приклад 2. Знайти sin?, cos?, tg?, ctg?, якщо? = 270°. При повороті на 270° навколо точки О радіус ОА, який дорівнює R, перейде в радіус ОР, тоді (рис. 34)

Р270?-(0; – R ) і, отже, sin 270° = Тригонометричні функції кута = -1, cos 270° = Тригонометричні функції кута = 0, ctg270° = Тригонометричні функції кута = 0 , tg 270° не має змісту.

Тригонометричні функції кута

Із курсу геометрії відомо, що вели­чина кута в градусах виражається чис­лом від 0° до 180°. Кут Повороту може виражатися в градусах, яким завгодно дійсним числом від –Тригонометричні функції кута до +Тригонометричні функції кута.

Приклад 3. Якщо початковий радіус ОА зробив повний оберт проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнювати 360° (рис. 35). Якщо початковий радіус ОА зробив півтора обер­ти проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнюва­ти 540? (рис. 36). Якщо початковий радіус ОА зробив два повних оберти і чверть оберту за годинниковою стрілкою, то кут поворо­ту буде дорівнювати 2 (-360°) – 90° = – 810° (рис. 37).

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Розглянемо радіуси ОА і ОВ. Існує безліч кутів повороту, при яких початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ (рис. 38). Нехай <AОВ = ?, тоді відповідні кути повороту бу­дуть дорівнювати? + 360°n, де n – ціле чис­ло (n Тригонометричні функції кута ?).

Тригонометричні функції кута

Якщо початковий радіус переходить у ра­діус ОВ при повороті на кут а, то в залеж­ності від того, у якій четверті буде радіус 0B, кут? називають кутом цієї чверті. Так, якщо 0° < ? < 90°, то? – кут І чверті; якщо 90° < ? < 180°, то? – кут II чверті; якщо 180° < ? < 270°, то? – кут III чверті; якщо 270° < ? < 360°, то? – кут IV чверті. Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360° не відно­сяться ні до якої чверті.

У курсі геометрії було доведено, що значення синуса, косину­са і тангенса кута?, де 0° < ? < 180° залежить тільки від? і не залежить від довжини R. І в загальному вигляді sin?, cos?, tg?, а також ctg? залежать тільки від кута?.

Вирази sin? і cos?, визначені для будь-яких а, так само як для будь-якого кута повороту, можна знайти відношенням Тригонометричні функції кута і Тригонометричні функції кута.

Вираз tg? має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту ±90°; ±270°; ±450°, тобто? Тригонометричні функції кута 90°+180° n, (n Тригонометричні функції кута ?).

Вираз ctg? має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту 0°; ±180°; ±360°.., тобто, ? Тригонометричні функції кута180° n, (n Тригонометричні функції кута ?).

Кожному допустимому значенню? відповідає єдине значення sin?, cos?, tg?, ctg?, тому синус, косинус, тангенс, котангенс є функ­ціями кута?. Їх називають тригонометричними функціями.

Виконання вправ

1. Чому дорівнюють кути повороту, які показано на рисунку 39.

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Рис. 39

2. Накресліть коло із центром у початку координат і побудуйте кут повороту, що дорівнює: а) 135°; б) -120°; в) 540°; г) -810°.

3. Запишіть всі кути поворотів, при яких радіус ОА переходить у радіус ОВ (рис. 40).

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Тригонометричні функції кута

Рис. 40

4. Побудуйте коло з центром у початку координат і кути пово­роту, що дорівнюють:

А) 90° + 360° n, (n Тригонометричні функції кута Z);

Б) 180° + 360° n, (n Тригонометричні функції кута Z);

В) -90? + 180° n, (n Тригонометричні функції кута Z);

Г) ±60° + 360? n, (n Тригонометричні функції кута Z).

5. Визначте, кутом якої чверті є кут?, якщо кут а дорівнює:

А) 181°; б) 179°; в) 271°; г) 361°; д) 345°; є) 800°.

6. Серед кутів повороту 790°; 500°; -30°; 1580°; -220°; -290° знайдіть такі, при яких початковий радіус займе таке саме положення, як і при повороті на кут: а) ? = 70°; 6) ? = 140°.

7. Накресліть коло з центром на початку координат і радіусом R = 5 см. Поверніть початковий радіус на кут? і знайдіть наближене значення sin?, cos?, tg?, ctg?, якщо? = 50°; 175°; -100°.

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 2. Запитання і завдання для повторення № 32-34. Вправи № 4, 5.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Розбір числівника як частини мови.
Ви зараз читаєте: Тригонометричні функції кута