Властивості циліндра

1.

1) В перерізі циліндра площиною трикутник отримати не можна.

2) Прямокутник може бути перерізом циліндра, який проходить через вісі циліндра, або їй паралельний.

3) Трапеція не може бути перерізом циліндра.

4) Квадрат може бути перерізом циліндра, який є рівностороннім.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так для рівносторонього циліндра.

2.

ГМТ, рівновіддалених від даної прямої l на дану відстань R є циліндрічна поверхня з віссю l і радіусом R.

Дійсно, якщо деяка точка А знаходиться на відстані R від прямої l, то вона лежить на

циліндричній поверхні з віссю l і радіусом R, і навпаки, якщо точка знаходиться на циліндричній поверхні, то вона віддалена на відстань R від прямої l.

3.

Геометричне місце прямих, рівновіддалених від даної прямої l на задану відстань R є циліндрична поверхня з віссю l і твірною, яка віддалена від осі на відстань R, і навпаки, якщо пряма знаходиться на циліндричній поверхні, то вона віддалена на відстань R від прямої l.

4.

Нехай r – радіус основи циліндра, Н – його висота, тоді за умовою Н = 3г.

Площа бічної поверхні обчислюється за формулою Sбічн = 2πrH = 2πr × 3r = 6πr2.

За умовою S = 288π см2. Отже, 6πr2 = 288π;

r2= 48;

Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра Властивості циліндра

5.

Нехай, r – радіус циліндра, Н – його висота, тоді за умовою маємо

2πгН = 2πr2. Звідси отримаємо Н = г.

Площа повної поверхні циліндра визначається за формулою

Sпов = 2πr (r + Η), оскільки г = Н, отримаємо Sпов= 2πr (r + r) = 4πr2.

За умовою Sпов = 500π см2.

Отже, 4 πr2 = 500π; r2 = 125; Властивості циліндра а оскільки H = г, то Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

6.

Дано ABCD – розгортка бічної поверхні циліндра, АС = 4 см, ∠ CAD = 30°.

З ΔАСD: Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра

AD – довжина кола основи циліндра. С = 2πr=AD; Властивості циліндра

Властивості циліндраВластивості циліндраВластивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

7.

В одному шарі маємо 727:17 = 42 витки. Довжина одного витка π × 0,547 ≈ 1,72 (м).

У першому шарі довжина троса ≈ 72,7 м. У кожному наступному шарі діаметр витка збільшується на 34 см, а довжина використаного на шар троса – на 4,3 м.

Отже, трос нaмотано у 3 шари.

8.

Нехай r – радіус циліндра, Н – його висота, площа осьового перерізу

Властивості циліндраВластивості циліндра

1) ОБ = ОA = г; Властивості циліндра (за умовою). AFBO – прямокутний, оскільки OF + ЛВ.

Властивості циліндра

З AFBO: Властивості циліндраВластивості циліндра Звідси Властивості циліндра

Отже, площа перерізу ABCD Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

2) ОВ = ОА = r, FO – 0,6 г (за умовою). З AFBO: Властивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра Отже, площа перерізу ABCD Властивості циліндра

Відповідь: 240 см2.

9.

Осьовий переріз циліндра – прямокутник. Позначимо його сторони через х і у, тоді маємо: 2х + 2у = 46 або х + у = 23, а х2 + у2 = 361. Перетворимо вираз х2 + у2.

Х2 + y2 = х2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2хy, тоді отримаємо (х + у)2 – 2ху = 361, підставимо значення х + у = 23, отримаємо: 232 – 2ху = 361; 529 – 361 = 2ху; 168 = 2ху; ху = 84, Отже, площа осьового перерізу дорівнює 84 с. м2.

Відповідь: 84 см2.

10.

Нехай прямокутник ABCD – осьовий, переріз циліндра, АВ = х, ВС = 2х + 10.

Властивості циліндра

З прямокутного трикутника ABC маємо: АВ2 + ВС2 =АС2; х2 + (2х + 10)2 = 625;

Х2 + 4х2 + 40х + 100 = 625; х2 + 8х – 105 = 0; Властивості циліндра x1 = -15, х2 = 7.

Корінь x1 = -15 – не задовольняє умові, отже, АВ = 7, ВС = 24.

Площа S осьового перерізу дорівнює: S = АВ ×ВС = 7 × 24 = 168 (см2).

Відповідь: 168 см2.

11.

Нехай ABCD – квадрат-разгортка циліндра, АВ = ВС = CD = AD = а.

Властивості циліндра

AD = 2πг; a = 2πг; Властивості циліндра З ΔKOO1: Властивості циліндра Властивості циліндраВластивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра

12.

Нехай S1- площа осьового перерізу ABCD, S2- площа перерізу A1B1C1D1;

Н – висота циліндра. S1 = 2r – Н; Властивості циліндра

Властивості циліндра

Звідси маємо B1C1 = r, Властивості циліндра З ΔFCO (ΔF = 90°): Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

13.

Нехай r – радіус основи циліндра, Н – його висота, площа осьового перерізу

S = 2r × Н. Звідси Властивості циліндра Див. рис. до № 12.

1) В1O = C1O = r, Властивості циліндра (за умовою задачі). ΔFОС1 – прямокутний,

Оскільки FO + B1С1· З ΔFC1O: Властивості циліндра

Звідси Властивості циліндра Отже, площа перерізу Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

2) В1O = C1O = r, Властивості циліндра (за умовою). З ΔFC 1O: Властивості циліндра

Звідси Властивості циліндра Отже, площа перерізу A 1B 1C 1D 1: Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

14.

Нехай OB = ОС = 61 см, АВ = 22 ом. Оскільки ABCD – квадрат, ВС = АВ = 22 см. Властивості циліндра З ΔFC 1O: Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: 60 см.

15.

Нехай SABCB = Q, ∠EBC — лінійний кут двогранного кута між площинами ABCD і BEFA, r – радіус циліндра, H – висота циліндра. ΔВЕС – прямокутний, оскільки він спирається на діаметр.

Властивості циліндра

1) ∠EBC = 60°. З ΔBEC: ∠C = 30°; Властивості циліндра SABCB = DC × AВ = r × Н = Q;

Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

2) ∠EBC = 45°. З ΔBЕС: ∠ C = 45°; Властивості циліндра

SABCB = DC × AВ = r × Н = Q; Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

3) ∠EBC = 30°. З ΔВЕС: Властивості циліндра

SABCB = DC × AВ = r × Н = Q; Властивості циліндра

Відповідь:Властивості циліндра

16.

Нехай АВСD – переріз циліндра, SABCD = 8 см2, АВ = 60°, Властивості циліндра

Оскільки Властивості циліндра АВ = 60°, то ∠BOA = 60°. ΔАВО – рівнобедрений, оскільки

OA = ОВ, як радіуси основи циліндра, OF + АВ, отже OF є і бісектрисою і

∠BOF = 30°. Властивості циліндра З ∠BOF: Властивості циліндра

Оскільки Sabcd = AB × AD = 8, отримаємо 2 ×AD = 8; AD = 4 (см).

Властивості циліндра

Знайдемо площу повної поверхні S:

S = 2π × ВО × (BO + AD) = 2π × 2 × (2 + 4) = 24π (cм2).

Відповідь: 24π см2.

17.

Нехай ABC – трикутник, який дотикається до твірних циліндра і сторони його перпендикулярні до твірних, АВ = 15 см, ВС = 28 см, АС = 41 см.

Для того щоб знайти діаметр циліндра, треба знайти радіус кола, вписаного в трикутник АВС. Скористаємося формулою Властивості циліндра де а, b, с – сторони трикутника, р – півпериметр, Властивості циліндра Властивості циліндра

Отже, Властивості циліндра тоді діаметр циліндра d = 2г = 3 × 2 = 6 (см)

Відповідь: 6 см.

Властивості циліндра

18.

Нехай АА1B1В і CC1B1B – перерізи циліндра; S АА1B1В = 11 см 2; S CC1B1B = 13 см 2;

∠ABC = 60º, ΒΒ 1 = H. Властивості циліндра Властивості циліндра

З Δ ABC за теоремою косинусів знайдемо АС: Властивості циліндра

Властивості циліндраВластивості циліндра

За теоремою синусів з ΔABC знаходимо: Властивості циліндра де R – радіус описаного кола.

Звідси Властивості циліндра Порівнявши рівності (1) і (2), отримаємо:

Властивості циліндра Властивості циліндра

(1)

Властивості циліндра

(2)

Властивості циліндра

Отже, площа бічної поверхні S дорівнює: Властивості циліндра

Відповідь: 14π см2.

19.

1) Нехай S АА1B1В = 32 см2; S CC1B1B = 42 см2; ∠ B1A1C1 = 60°, АА 1 = Η.

Властивості циліндра Властивості циліндра 3 ΔΑ1Β1,C1 за теоремою косинусів знайдемо B1C1:

Властивості циліндраВластивості циліндра

Властивості циліндра

Відповідь: 38 см2.

2) Нехай S АА1B1В = 32 см2; S CC1B1B = 42 см2; ∠ B1A1C1 = 120º, AΑ1 = Η.

Властивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра 3 ΔΑ1В1С1 за теоремою косинусів маємо:

Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

20. Нехай СО = 13 см, АВ – задана пряма. Через пряму АВ проведемо переріз циліндра АВСD, який паралельний осі OO1. КО +СВ, КО = 5 см.

З прямокутного ΔСКО Властивості циліндра

СВ = 2СК = 12 × 2 = 24 (см); AD = СВ = 24 (см).

З ΔАВD: Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

21.

Нехай СD = 6 см, АВ = 8 см. CD? АВ, оскільки основи циліндра паралельні

І перетнуті площиною, яка проходить через прямі CD і АВ. Проведемо LK + АВ,

LK – 9 см. Спроектуємо хорду CD на площину другої основи.

З ΔАОК: Властивості циліндра З ΔCOL: Властивості циліндра

КР = KO + OL = 3 + 4 = 7 (см). З Δ LKP: Властивості циліндра

Отже, площа поверхні циліндра S: Властивості циліндра

Відповідь:Властивості циліндра

22.

Нехай Властивості циліндра Властивості циліндра S АА1C1C = 40 см;

Властивості циліндра Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра

Знайдемо радіус кола R, описаного навколо ΔА1С1В1 за формулою Властивості циліндра де а, b, с – сторони трикутника A1C1B1, S – його площа. ΔА1С1В1- рівнобедрений, оскільки В1С1 =А1В1. Проведемо висоту АК.

З ΔA1К1В1: Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: 50π см2.

Властивості циліндра

23.

Нехай ABCD – квадрат, АВ = ВС = CD = AD = 10 см. А1 – проекція точки А

На площину нижньої основи. AD + DC, за теоремою про три перпендикуляри маємо

A1D + DC.

З прямокутного ΔDA1С: Властивості циліндра

З прямокутного ΔAA1D: Властивості циліндра

Sповн = 2πr(r + 4); Sповн= 2π × 7 × (7 + 2) = 126 (см2).

Властивості циліндра

Відповідь: 126 см2.

24.

Нехай ABCDA1B1C1D1 – правильний паралелепіпед, АА1 = 20 см, ОА = ОС = 10 см. Оскільки паралелепіпед правильний, то AВCD – квадрат.

З ΔACD: АС2 = AD2 + CD2; 400 = 2AD2; Властивості циліндра

Для площі повної поверхні паралелепіпеда маємо Sпов. = Sбічн + 2Sосн.

Властивості циліндра 2Sосн. = 2AD2 = 2 × 200 = 400 см2.

Властивості циліндра

Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

25. Нехай АВСА1В1С1 – призма, вписана в циліндр,

А1В1С1 – прямокутний трикутник, A1D1 = a, ZB1 = 90°, ∠A1 = α, ∠ΒΑ1Β1 = β.

Властивості циліндра

З прямокутного ΔАB1B : ВB1= А1В1 tg ∠BA1В = a × tg β.

З прямокутного ΔA1B1C1: Властивості циліндра

Оскільки ΔA1B1C1 – прямокутний, то радіус описаного кола лежить на середині

Гіпотенузи, отже, радіус Властивості циліндра

Для площі бічної поверхні циліндра маємо: Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

26.

Нехай а – сторона основи, Н – висота.

Властивості циліндра

Sбічн ABCDA1B1C1D1 = РABCD ×Н; PABCD × Н = Q; 4а × Н = Q;

Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

27.

Нехай в основі прямої призми лежить ромб ABCD, ∠BAD = 30°, ∠Β1ΑΒ = 45°,

В1А = 12 см.

Властивості циліндра

З прямокутного ΔΒ1ΒΑ: Властивості циліндра

Властивості циліндра

У ромбі ABCD проведемо висоту ВК, радіус описаного кола r буде дорівнювати:

Властивості циліндра

З ΔАВК: Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра

Відповідь: 36π см2.

28.

Нехай в основі прямої призми лежить трапеція A1B1C1D1; D1C1- 6 см,

А1В1 = 27 cm, A1D1 = 13 см.

Властивості циліндра

Розглянемо трапецію A1B1C1D1, яка описана навколо кола. В будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, тобто А1В1 + D1C1 = AlD1 + B1C1;

B1C1 = A1B 1 + D1C1 – A1D1 = 27 + 6 – 13 = 20 (см). Проведемо D1Κ + A1B1, C1L1 + A1B1.

Позначимо A1K = x. KL = D1C1 = 6 (см), ∠ B1 = 27- 6 – x = 21 – x.

З ΔA1KD1: Властивості циліндра

З ΔLB1C1: Властивості циліндра

Властивості циліндра

Порівняємо дві рівності: 169 – х2 = -41 + 42х – х2; 42х = 210; х = 5.

З ΔA1KD1: Властивості циліндра

Отже, радіус основи Властивості циліндра

Відповідь: 6 см.

29.

Нехай SABC – правильний тетраедр. SA = SB = SC = AB = ВС = СА = а.

ASAB – рівносторонній.

Властивості циліндра

Властивості циліндра

З ΔΟ 1ΒΟ: Властивості циліндра

Отже, площа перерізу Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

30.

Нехай SABCD – задана піраміда.

Властивості циліндра

З ASFD: Властивості циліндра Властивості циліндра Властивості циліндра

Оскільки циліндр рівносторонній, то О1O = 2 O1F1. Нехай ΟΟ 1 = x,

Властивості циліндра тоді ΔSOK – ΔSO1F1. 3 подібності трикутників маємо: Властивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндра

РадіусВластивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра

31.

Нехай SABCD – задана піраміда.

Властивості циліндра

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = НА = a.

3 ASDK: Властивості циліндра

3 ASOК: Властивості циліндра

ΔSOК – ΔLKM. З подібності трикутників маємо: Властивості циліндра

Циліндр рівносторонній, отже, LM = 2х; ΡМ = 2х; ОМ = х.

Властивості циліндра Отже, Властивості циліндра Властивості циліндра

Властивості циліндраВластивості циліндра

Властивості циліндра Властивості циліндра

Відповідь: Властивості циліндра


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5,00 out of 5)


Властивості твердих тіл.
Ви зараз читаєте: Властивості циліндра