Вправи для повторення розділу 4



Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови

Вправи для повторення розділу 4

До § 21.

756.

Вправи для повторення розділу 4

AB – діаметр, ОС – радіус. AD – хорда.

757.

Вправи для повторення розділу 4

1) Коло з променем ОК має одну спільну точку.

2) Коло з прямою ОК має дві спільні точки.

758. ?АОВ = ?ВОС за двома сторонами і кутом між ними (ОА = OB, OB = ОС – як радіуси кола, ∠АОВ = ∠ВОС – за умовою).

Із рівності трикутників випливає, що AB = ВС.

759. ∠АОК – зовнішній кут до кута KOB. ∠АОК = 180° – 130° = 50°.

?АОК – рівнобедрений,

оскільки ОА = ОК – як радіуси, тоді ∠ОAК = ∠AКО = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°.

?KOB – рівнобедрений, оскільки ОК = OB – як радіуси, тоді ∠ОКВ = ∠ОВК = (180° – 130°) : 2 = 25°.

?АКВ – прямокутний, оскільки діаметр видно з будь-якої точки кола під кутом 90°. Отже, ∠АКВ = 90°. Отже, ∠А = 65°, ∠К = 90°, ∠B = 25°.

Відповідь: 25°, 65°, 90°.

760.

Вправи для повторення розділу 4

Кінці радіусів кола утворюють коло з тим самим центром і радіусом, вдвічі більшим від даного радіуса.

761.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай AB – дана хорда. За допомогою косинця проведемо діаметр CD ⊥ AB. Тоді за

теоремою 3 діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл. Отже, АК = КВ.

762.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай AB = ВС = ОС = ОА, тоді? АОВ і? ВОС – рівносторонні.

∠A = ∠AОВ = ∠АВО = 60°. ∠С = ∠ОВС = ∠ОСВ = 60°. ∠АВС = ∠АВО + ∠ОВС = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

763. AB – діаметр. ∠АКВ = 90°, оскільки діаметр кола видно з будь-якої точки кола під кутом 90°.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай ∠КАВ = х°, тоді ∠КВА = 4х°. х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠А = 18°, ∠B = 18° х 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°, 90°.

764.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай ОК = АК, MN ⊥ ОА.

З? ОМК: ∠ОРК = 30°, оскільки OK = 1/2ОМ. ?MON – рівнобедрений, оскільки ОМ = ON – як радіуси, тоді ∠ONM = ∠OMN = 30°, ∠MON = 180° – ∠ONM – ∠OMN = 180° – 30° – 30° = 120°. Отже, в? MON ∠MON = 120°, ∠OMN = 30°, ∠MNO = 30°.

Відповідь: 30°, 30°, 120°.

765.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай DK ⊥ АВ, CM ⊥ АВ, ∠DPB = ∠CPM = 30°, PD = 7 CM.

З прямокутного? DKP:

DK = 1/2РD = 1/2 • 7 = 3,5 CM.

З прямокутного? CMP:

MC = 1/2CP = 1/2 • 1 = 0,5 CM.

Відповідь: 0,5 см; 3,5 CM.

До § 22.

766.

Вправи для повторення розділу 4

767.

Вправи для повторення розділу 4

1) Пряма р перетинає коло, оскільки ОК < r, 12 см < 14 см.

2) Пряма р дотикається до кола, оскільки ОК = r, 7 см = 70 мм.

3) Пряма р не має спільних точок з колом, оскільки ОК > r, 2 дм > 18 см.

4) Пряма р перетинає коло, оскільки ОК < r, 0,3 дм < 32 мм.

768.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай а і b – дотичні, тоді а ⊥ AB, b ⊥ AB, а || b. Отже, дотичні до кола, проведені через кінці діаметра, не перетинаються.

769.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай MN – дотична до кола, тоді ОА ⊥ MN (оскільки дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику).

?АОМ = ?AON за двома катетами (ОА – спільний катет, AM = AN – за умовою). Із рівності трикутників випливає, що ОМ = ON.

770.

Вправи для повторення розділу 4

Оскільки ВК = КС, то ВС ⊥ ОА. Оскільки М – дотична, то AM ⊥ ОА.

Оскільки ВС ⊥ ОА і АМ ⊥ ОА, то ВС || AM. Отже, дотична, проведена через кінець радіуса, паралельна даній хорді.

До § 23.

771.

Вправи для повторення розділу 4

Оскільки центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника, то за допомогою транспортира побудуємо бісектриси кутів А і В. Проведемо OP ⊥ AB – це і буде радіус вписаного кола. За допомогою циркуля вписуємо коло з центром у т. О радіусом ОР.

772.

Вправи для повторення розділу 4

Будуємо бісектрису кута B. На сторонах кута відкладаємо відрізки ВС = ВА = 2 см. З точок С і А за допомогою косинця будуємо перпендикуляри до перетину у точці A. За допомогою циркуля вписуємо коло з центром у т. О радіусом, який дорівнює ОА.

773.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай BD і СК – медіани, О – центр кола, вписаного в? ABC.

Оскільки О – точка перетину бісектрис, то BD і СК – бісектриси, медіани і висоти, а бісектриси, медіани і висоти співпадають тільки в рівносторонньому трикутнику. Отже, ?ABC – рівносторонній.

774.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = СВ), Е, F, D – точки дотику. За умовою ЕА : ЕВ = 2 : 3. Нехай ЕА = 2х, ЕВ = 3х. Враховуючи рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: P? ABC = AB + ВС + СА = (2х + 3х) + (3х + 2х) + (2х + 2х) = 14х. За умовою Р = 70 см, отже, 14х = 70 см, х = 5 см. Тоді AB = ВС = 2х + 3х = 5х = 5 х 5 = 25 (см), АС = 2х + 2х = 4х = 4 х 5 = 20 (см).

Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см.

До § 24.

775.

Вправи для повторення розділу 4

?ABC – прямокутний. О – центр кола – середина гіпотенузи.

776.

Вправи для повторення розділу 4

Центр описаного кола лежить на серединних перпендикулярах до сторін трикутника. Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = ВС), BD ⊥ AC, тоді AD = DC, оскільки висота, проведена до основи є медіаною. Маємо BD ⊥ АС і AD = DC, отже, DB належить серединному перпендикуляру до основи АС.

777.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай? ABC – рівносторонній. Точка О – центр вписаного кола в рівносторонній трикутник, отже, точка О – точка перетину бісектрис трикутника ABC. Оскільки в рівносторонньому трикутнику бісектриси є висотами і медіанами, то бісектриси лежать на серединних перпендикулярах до сторін трикутника, які перетинаються в т. О. Отже, центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається з центром кола, вписаного в цей трикутник.

До § 25.

778.

1)

Вправи для повторення розділу 4

AB = 4 CM. Кола не перетинаються.

2)

Вправи для повторення розділу 4

АВ = 4 см. Кола перетинаються.

779.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай СА = 3 см, AB = 8 CM, BD = 3 см.

АО = АВ : 2 = 8 см : 2 = 4 см.

СО = СА + АО = 3 см + 4 см = 7 см.

Відповідь: 4 см, 7 см.

780. Нехай OB = 10x. ОА = 7x. AB = OB – ОА = 10x – 7х = 3x. За умовою 3x = 12 см, х = 4 см. Тоді OB = 10 х 4 = 40 (см), ОА = 7 x 4 = 28 (см).

Відповідь: 40 см, 28 см.

781.

Вправи для повторення розділу 4

Три спільні дотичні можна провести до кіл, які мають зовнішній дотик.

782. І випадок. Кола мають зовнішній дотик.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай O1K = 5x, OK = 3x, тоді 5х + 3х = 16; 8x = 16; х = 2. Отже, O1K = 5 x 2 = 10 (см), ОК = 3 x 26 (см).

Відповідь: 10 см, 6 см.

II випадок. Кола мають внутрішній дотик.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай OK = 5х, О1К = 3х. Тоді O1O = OK – O1K = 5х – 3х = 2х; 2х = 16; х = 8. Отже, ОК = 5 х 8 = 40 (см), О1К = 3 х 8 = 24 (см).

Відповідь: 40 см, 24 см.

До § 26.

783.

Вправи для повторення розділу 4

Коло перетне кожну зі сторін.

784.

Вправи для повторення розділу 4

АВ = ВС.

785.

Вправи для повторення розділу 4

1) Проведемо промінь A1D.

2) Описуємо кола рівних радіусів із центрами А і A1. Одне коло перетинає сторони кута А в точках В і С, друге перетинає промінь AD в точці С1.

3) Описуємо коло із центром С1 і радіусом СВ. Точка В1 – точка перетину побудованих кіл.

4) Проводимо промінь A1B1.

5) Кут В1А1С1 – шуканий.

6) Радіусом з п. 2) точок С1 і В1 опишемо дуги у внутрішній області кута до їхнього перетину, отримаємо т. D1. Проведемо промінь А1D1 – бісектрису.

786.

Вправи для повторення розділу 4

З кожної вершини кутів проведемо дугу кола довільного радіуса. З точок перетину дуг зі сторонами кутів проведемо дуги тим самим радіусом до їхнього перетину. Проведемо промені через вершини кутів і отримані точки перетину. Проведені промені – бісектриси кутів.

787.

Вправи для повторення розділу 4

1) 3 точки А радіусом циркуля, більшим за половину сторони АС, опишемо дугу.

2) 3 точки С тим же радіусом циркуля опишемо дугу до перетину з першою дугою.

3) Через точки перетину дуг проведемо пряму, яка перетинає сторону АС в точці/).

4) Проведемо BD – медіану. Аналогічно робимо побудови для інших сторін трикутника. Отримані медіани BD, CF і АР – перетинаються в точці О.

788. 1) Поділимо ∠BAC навпіл, а потім ∠BAD навпіл. ∠BAF = 1/4∠BAC.

Вправи для повторення розділу 4

2)

Вправи для повторення розділу 4

Поділимо ∠BAC навпіл, а потім ∠FAC навпіл. ∠BAD = 3/4∠BAC.

789.

Вправи для повторення розділу 4

γ – третій кут трикутника.

1) Від довільного променя відкладемо кут α.

2) Від сторони кута а відкладемо кут β.

3) Кут, суміжний з кутом α + β, буде шуканим.

790.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай АВ – гіпотенуза.

1) Накреслимо коло радіуса АК = AB/2.

2) Проведемо діаметр АВ.

Вправи для повторення розділу 4

3) До AB в т. О будуємо перпендикуляр. Точка С його перетину з колом визначає шуканий? АВС (АС = ВС), ∠ACB = 90°.

791.

Вправи для повторення розділу 4

1) Будуємо прямий кут.

2) На одній стороні кута відкладемо відрізок, що дорівнює α.

3) Від променя ВС відкладемо кут, що дорівнює куту α.

4) ?АВС – шуканий.

792.

Вправи для повторення розділу 4

1) Будуємо коло з центром О і з радіусом R.

2) 3 довільної точки В будуємо коло з радіусом а, яке перетне побудоване коло в точці С.

3) Будуємо серединний перпендикуляр до ВС, який перетне коло у точках А і А1.

793. 1) Побудуємо відрізок АС = b.

2) Від променя АС відкладемо кут α.

Вправи для повторення розділу 4

3) Точка В – точка перетину кола з центром у т. С і радіуса а і променя АВ.

4) ?ABC – шуканий.

794.

Вправи для повторення розділу 4

1) Слід побудувати кути 180° – β, Вправи для повторення розділу 4

2) Побудувати? АМС за стороною AM = l та кутами Вправи для повторення розділу 4 і Вправи для повторення розділу 4

3) Провести промінь ВМ та серединний перпендикуляр CD до сторони AB, які перетнуться в точці С.

4) ?ABC – шуканий.

795.

Вправи для повторення розділу 4

1) Будуємо прямокутний трикутник BCD за катетами ВС = a, CD = b + с.

2) Проводимо серединний перпендикуляр до сторони BD, який перетне сторону CD в точці А.

3) ?ABC – шуканий.

Дійсно, оскільки точка А належить серединному перпендикуляру, то AD = AB = с, тоді АС = b, ВС = а.

До § 27.

796.

Вправи для повторення розділу 4

Геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки О на задану відстань ОР – коло з центром у точці О і радіусом ОР.

797.

Вправи для повторення розділу 4

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін прямого кута ABC, є бісектриса BD.

798.

Вправи для повторення розділу 4

Пряма m, що містить висоту BD рівнобедреного трикутника ABC (AB = ВС), яка проведена до основи, є серединним перпендикуляром до відрізка АС (оскільки висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною). Отже, пряма m є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців основи.

799.

Вправи для повторення розділу 4

Центри побудованих кіл лежать на серединному перпендикулярі, проведеному до відрізка, що з’єднує дві дані точки A i В.

Якщо радіус кола менший від AB/2, то задача розв’язків не має.

Якщо r = AB/2, то задача має один розв’язок.

Якщо r > AB/2, то задача має два розв’язки.

800.

Вправи для повторення розділу 4

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника ABC, є точка О – центр кола, описаного навколо? ABC.

801.

Вправи для повторення розділу 4

Геометричним місцем центрів кіл радіуса r, що дотикаються до прямої а, є дві прямі (які лежать по різні боки від прямої а), які паралельні прямій а і віддалені від прямої а на r.

802.

Вправи для повторення розділу 4

Оскільки точки, рівновіддалені від сторін кута, лежать на бісектрисі кута, то шукана точка D – точка перетину бісектриси кута, утвореного сторонами трикутника, і третьої сторони.

803.

Вправи для повторення розділу 4

Геометричним місце точок, що знаходяться на відстані, яка не перевищує 3 см від заданої прямої а, є смуга, утворена паралельними прямими b і с, які паралельні прямій а і знаходяться від неї на відстані 3 см.

804.

Вправи для повторення розділу 4

Центр кола знаходиться в точці перетину серединного перпендикуляра l до відрізка AM і прямої ОА, яка перпендикулярна до прямої а.

805.

Вправи для повторення розділу 4

1) Будуємо прямокутний трикутник АВН, у якого катет ВН дорівнює висоті шуканого трикутника, а кут А дорівнює даному куту.

2) Проводимо бісектрису кута ВАН.

3) Точка Р – точка перетину прямої ВР і променя АР.

4) ?АВС – шуканий.

806.

Вправи для повторення розділу 4

Будуємо коло за заданим радіусом.

2) Від довільної точки А відкладемо відрізок AB, який дорівнює стороні.

3) Проводимо пряму а, яка паралельна стороні AB і знаходиться на відстані, що дорівнює висоті шуканого трикутника.

4) Точки С і C1 – точки перетину прямої а і кола.

5) ?ABC і? ABC1 – шукані трикутники.

Завдання для перевірки знань за курс геометрії 7 класу

1.

Вправи для повторення розділу 4

A є m, B ∉ m.

2.

Вправи для повторення розділу 4

3.

Вправи для повторення розділу 4

DE – гіпотенуза, CD і СЕ – катети.

4.

Вправи для повторення розділу 4

∠COB = ∠AOD = 119° – як вертикальні кути.

∠АОС = ∠DOB = 180° – 119° = 61° (за теоремою про суміжні кути).

Кут між прямими AB і CD дорівнює 61 °.

61°, 61°, 119°, 119°.

5.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = ВС = 9 см, Р? ABC = 24 см, тоді АС = Р? ABC – (AB + BC)= 24 – (9 + 9) = 24 – 18 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

6. ?CDN = ?MND за першою ознакою рівності трикутників, оскільки DC = MN – за умовою, ∠CDN = ∠DNM – за умовою, DN – спільна сторона.

7.

Вправи для повторення розділу 4

Нехай? ABC – даний трикутник, ∠B = 68°.

Нехай ∠A = х°, тоді ∠C = х° + 14°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, x + 68° + x 14° = 180°; 2х = 98; х = 49. Отже, ∠A = 49°, ∠C = 49° + 14° = 63°.

Відповідь: 49°, 63°.

8. Відкладемо відрізок AB = 6 см. Від т. А і В відкладемо кут ∠A = 50° і ∠B = 60°. ?ABC – шуканий.

Вправи для повторення розділу 4

9. Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = x°, тоді ∠В = 90° – х°. За властивістю суміжних кутів ∠PAR = 180° – x°, ∠RBA = 180° – (90° – х°) = 90° + х°.

За умовою задачі маємо: Вправи для повторення розділу 4 звідси 4500 – 25x = 26401 – 29x.

54x = 1890; x = 35.

Отже, ∠A = 35°, ∠B = 90° – 35° = 55°.

Вправи для повторення розділу 4

Відповідь: 35°, 55°.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Найбільші за площею країни північної америки.
Ви зараз читаєте: Вправи для повторення розділу 4