Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі



ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

Розділ 2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

2.19. Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Коливальна система може віддавати енергію в зовнішнє середовище. Це відбувається внаслідок того, що частинки середовища беруть участь у коливальному процесі. Кожне збурення, що виникає в певній ділянці середовища, поступово поширюватиметься, захоплюючи частинки, розміщені все далі від початкового збурення.

Частинка середовища, що лежить на відстані х від місця початкового збурення, почне коливатися лише тоді,

коли до неї дійде коливальний процес, що поширюється в середовищі. Позначимо швидкість поширення коливального процесу через u. Він дійде до фіксованої частинки через проміжок часу

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Якщо коливання описуються рівнянням Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі то коливання певної частинки відбуватимуться за тим самим синусоїдальним законом, але із запізненням на час τ:

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Де а – амплітуда; φ0 – початкова фаза коливань.

Вираз Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі є рівнянням плоскої біжучої хвилі, що поширюється в додатковому напрямі осі х.

Розглянемо тепер розподіл

зміщень у просторі в певний момент часу (t = const). Візьмемо цей момент за початковий, тобто коли t = 0. Тоді

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Де Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Оскільки Т – період коливань, а u – швидкість поширення їх, то добуток uТ визначає відстань, на яку пошириться коливальний процес за час одного періоду. Цю відстань називають довжиною хвилі. Дві частинки, що відокремлені одна від одної інтервалом λ = uТ, коливаються в тій самій фазі. Кожна з них проходить через нульове положення одночасно з другою частинкою. Тому довжину хвилі можна розглядати також як відстань між двома найближчими точками середовища, для яких різниця початкових фаз коливань становить 2π.

Величину k = Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі – називають хвильовим числом.

Геометричне місце точок середовища, яких коливання досягають у фіксований момент часу t, називають фронтом хвилі. Він відокремлює ту частину простору, яка втягнута у хвильовий процес, від тієї, куди коливання ще не поширились.

Крім поняття фронту хвилі використовують поняття хвильової поверхні. Хвильовою поверхнею називають геометричне місце точок, що коливаються в тій самій фазі. На відміну від фронту хвилі в кожний певний момент часу існує нескінченна множина хвильових поверхонь, оскільки їх можна проводити через будь-яку точку простору, який охоплено хвильовим процесом. Зрозуміло, що фронт хвилі треба розглядати як окремий випадок хвильової поверхні. Залежно від конфігурації джерела коливань і властивостей середовища, в якому поширюється хвильовий процес, хвильові поверхні, а отже, і фронт хвилі можуть набирати певної форми – форми сфери, площини або навіть складнішої форми, яка в загальному випадку може змінюватися з часом. Виходячи з форми фронту хвилі, розрізняють сферичні, плоскі, еліптичні та інші хвилі. Сферична хвиля виникає, наприклад, в однорідному та ізотропному середовищі за наявності в ньому точкового джерела коливань. У такому разі хвильові поверхні й фронт хвилі матимуть форму сфери. Умову реалізації хвильових поверхонь (фронту хвилі як окремого випадку хвильової поверхні) записують так:

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Де φ0 – початкова фаза коливань.

Різним значенням фази хвилі φi відповідатимуть різні хвильові поверхні. Із формули (2.75) випливає, що фронт хвилі при цьому переміщується зі швидкістю

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Оскільки з цією самою швидкістю переміщується також поверхня сталої фази, то її називають фазовою швидкістю.

При поширенні хвильового процесу частинки середовища не захоплюються рухомою хвилею; вони здійснюють лише коливальні рухи навколо положення рівноваги. Швидкість хвилі u – це не швидкість поступального руху матеріальних частинок, а швидкість поширення імпульсу, що спричинює зміщення частинок. Оскільки проходження хвилі супроводжується коливаннями частинок середовища, то разом із хвилею поширюється в просторі й енергія коливань.

Уявімо собі елемент пружного середовища з об’ємом V, в якому поширюється хвиля з амплітудою а та частотою ω. Можна показати, що середнє значення енергії, яку приносить хвиля в цей об’єм, Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі Поділивши його на об’єм, дістанемо вираз для середньої густини енергії хвилі:

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Де ρ = m/V – густина речовини.

Густина енергії та її середнє значення (2.77) пропорційні густині середовища ρ, квадрату частоти ω і квадрату амплітуди хвилі а. Така залежність спостерігається не лише для плоскої хвилі зі сталою амплітудою, а й для інших хвиль.

Таким чином, середовище, в якому поширюється хвиля, має додатковий запас енергії. Ця енергія передається від джерела коливань у різні точки середовища самою хвилею. Отже, хвиля переносить разом із собою енергію. Відношення кількості енергії ΔЕ до часу Δt, за який цю енергію перенесено, називають потоком енергії. Припускають, що Δt ” Т, де Т – період коливань. Потік енергії – скалярна величина, що виражається у ватах (СІ) та ергах за секунду (система СГС).

Потік енергії хвиль у різних точках середовища має різну інтенсивність. Для характеристики потоку енергії вводять векторну величину, яку називають густиною потоку енергії хвиль. Ця величина дорівнює відношенню потоку енергії до площі поверхні, яка розташована перпендикулярно до напряму поширення хвиль. Напрям вектора густини потоку енергії збігається з напрямом перенесення енергії хвиль.

Нехай через площину ΔS┴ перпендикулярно до напряму поширення хвилі переноситься енергія ΔЕ за час Δt. Тоді густина потоку енергії

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Ураховуючи, що ΔЕ/ Δt є потоком енергії ΔФ через площину ΔSL, можна записати

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Через площину ΔS┴ за час Δt переноситься енергія ΔЕ┴, що міститься в об’ємі циліндра з основою ΔS┴ та висотою uΔt (u – фазова швидкість хвилі). Якщо розміри циліндра досить малі, то густину енергії х в усіх точках такого циліндра можна вважати однаковою і

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Підставивши вираз (2.80) у формулу (2.78), дістанемо

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Розглядаючи фазову швидкість u як вектор, напрям якого збігається з напрямом поширення хвиль (і перенесення енергії), можна записати

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Російський фізик М. О. Умов уперше ввів поняття вектора густини потоку енергії (вектор Умова). Вектор Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі, як і густина енергії χ, неоднаковий у різних точках простору. Середнє його значення з урахуванням (2.77) можна записати так:

Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі

Величину, що дорівнює добутку густини середовища на швидкість поширення хвиль z = ρu, називають хвильовим опором.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Папороті приклади.
Ви зараз читаєте: Хвильовий процес. Рівняння хвилі. Енергія хвилі