Задачі підвищеної складності



До § 1. Цілі вирази

1102. а) + 1 – 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8 – 9 + 10 = 5;

Б) * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 0, виразити неможливо;

В) * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 60. Замість * поставити “+” або “-” неможливо, щоб отримати 60, бо якщо поставити всі “+”, то одержана сума дорівнює лише 55.

1103. n(n + 1) + (n + 2)(n + 3) = n2 + n + n2 + 2n + 3n + 6 = 2n2 + 6n + 6 = 2(n2 + 3n + 3) – число парне, більше, ніж 2, а тому є складеним числом.

1104. а2 + 2аb + 2а – b + 4.

При а = 2 вираз дорівнює 0, тому 4 + 4b + 4 – b + 4 = 0; 3b = -12; b = -4.

При а = 2 і b = -4 значення виразу а2 + аb + b2 = 22 + 2 • (-4) + (-4)2 = 4 – 8 + 16 = 12.

1105.

(3m + 2n) ділиться на 7.

А) 10m + 9n = 7m + 7n + 3m + 2n = 7(m + n) + (3m + 2n) – ділиться на 7, бо 7(m + n) ділиться на 7 і 3m + 2n ділиться на 7;

Б) 4m + 5n = 7m + 7n – 3m – 2n = 7(m + n) – (3m + 2n) – ділиться на 7, бо 7(m + n) ділиться на 7 і (3m + 2n) ділиться на 7;

В) m + 3n = 7m + 7n – 6m – 4n = 7(m + n) – 2(3m + 2n) – ділиться на 7, бо 7(mг + n) ділиться на 7 і (3m + 2n) ділиться на 7.

1106. Якщо 5m – n ділиться на 8 і 3m + 4n ділиться на 8, то 5m – n + 3m + 4n ділиться на 8. Тобто 8m + 3n – ділиться на 8.

8m ділиться на 8, тому 3n ділиться на 8, отже, n ділиться на 8.

5m – n – ділиться на 8.

N – ділиться на 8, тому 5m ділиться на 8. Отже, m ділиться на 8.

1107. Нехай а і b – дані цілі числа,

тоді

А : 7 = k (ост. с); а = 7k + с;

B : 7 = n (ост. с); b – 7n + с.

А – b = 7k + с – (7n + с) = 7k – 7n = 7(k – n) ділиться на 7.

1109. У двох кошиках повинно бути не більше, ніж 140 яєць, бо один кошик поміщає не більше 70 яєць.

Спільні кратні 2; 3; 4; 5; 6: 60; 120; 180; 240; …

Тоді, якщо при розкладанні яєць по 2; 3; 4; 5; 6 залишалось одне яйце, то їх було: 61, або 121, або 181, або 241 і т. д. Так як їх було не більше 140, то цій умові задовольняють лише 2 числа 61 і 121. При розкладанні по 7 залишилось 2 яйця. Цій умові задовольняє число 121. Отже, яєць було 121.

1110. Нехай Задачі підвищеної складності – дане число, Задачі підвищеної складності – число, одержане після дописування цифри d. Тоді

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Так як різниця ділиться на 9, то d повинно ділитися на 9. Отже, d = 9.

Відповідь: дописали цифру 9.

Задачі підвищеної складності

Ділиться на 37, бо 111 ділиться на 37. Тому Задачі підвищеної складності ділиться на 37.

Задачі підвищеної складності

Ділиться на 111, отже, Задачі підвищеної складності – ділиться на 111.

Задачі підвищеної складності – це число може бути представлено у вигляді квадрату натурального числа лише за умови, що а + b + с = 111, але це неможливо, бо а, b, с – цифри (одноцифрові числа), тому сума їх не може дорівнювати 111. Отже, не існує такого числа Задачі підвищеної складності для якого дане число може бути представлене у вигляді квадрату натурального числа.

1113. а) n = 10. Якщо число складається з парної кількості цифр, то останню цифру записує другий учень і він завжди досягне своєї мети. Першу цифру пише перший учень, а другий учень пише цифру, яка в сумі з першою цифрою дає 9. У десятицифровому числі 5 пар цифр. В останній парі: якщо перший учень напише цифру 9, то другий може дописати теж цифру 9, тобто доповнити її до 18. Сума цифр в кожній парі ділиться на 9, тому і сума цифр всього числа ділиться на 9. Отже, одержане число ділиться на 9.

Б) n = 15. Якщо число містить непарну кількість цифри, то останню цифру пише перший учень і йому не складно порахувати суму цифр уже записаних і дописати таку цифру, щоб сума записаних цифр не ділилась на 9. Тому в цьому випадку другий учень не зможе досягти мети, якщо перший йому буде заважати.

До § 2. Одночлени

1114. а) 34n + 4 = (34)n + 4 = 81n + 4 ділиться на 5, бо число 81n закінчується на 1 при любому значенні n, тоді 81n + 4 закінчується цифрою 5 при любому n, а тому ділиться на 5.

Б) 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n – 1 ділиться на 10, бо число 81n закінчується цифрою 1, тоді 81n – 1 закінчується цифрою 0, тому ділиться на 10.

1115. 42n + 4 = (42)n + 4 = 16n + 4 ділиться на 10, бо 16n закінчується цифрою 6, тоді 16n + 4 закінчується цифрою 0.

1116. Задачі підвищеної складності

Це число записане цифрами 9, їх (n – 1) шт. і в найнижчому розряді цифра 6. Тому це число ділиться на 3 (і 9, і 6 діляться на 3), але не ділиться на 9, бо 6 не ділиться на 9.

1117. m(m + 1) = 3n + 2n. Якщо m – натуральне число, то m і m + 1 – два послідовних числа. Одне з них парне, друге – непарне, тоді m(m + 1) – парне число. Якщо n – натуральне, то 3n – непарне число, 2n – парне. Тоді 3n + 2n – число непарне.

Оскільки непарне і парне число не можуть бути рівними, то рівність m(m + 1) = 3n + 2n не може виконуватися при любих m і n.

Задачі підвищеної складності

1119. Квадрат цілого числа може закінчуватися цифрами 0; 1; 4; 9; 6.

Четверта степінь цілого числа – це квадрат квадрату числа а4 = (а2)2 і може закінчуватися цифрами 0; 1; 6.

Восьма степінь цілого числа – це квадрат четвертої степені числа а8 = (а4)2 і може закінчуватися цифрами 0; 1; 6.

1120. а) Цілого числа а не існує, щоб квадрат цього числа дорівнював Задачі підвищеної складності бо квадрат цілого числа не може закінчуватися цифрою 3.

Б) Чисел m і n, для яких рівність m4 = 10n + 4 – правильна, не існує, бо m4 може закінчуватися цифрою 0; 1; 6, а 10n + 4 при любому n закінчується цифрою 4.

В) Чисел m і n, для яких рівність m8 = 10n + 2 – правильна, не існує, бо m8 може закінчуватися цифрою 0; 1; 6, а 10n + 2 закінчується цифрою 2.

1121. 2 • n = m2; 2 • n = (2 • 2) • (2 • 2) = 42, n = 8; 3 • n = а3; 3 • n = 3 • 1 • 1 • 1 • 3 • 13 = 33, n = 9. Щоб ці умови виконувалися одночасно, треба знайти НСК(8; 9) = 72.

2 • 72 144 = 122; 3 • 72 = 216 = 63. Отже, n = 72.

До § 3. Многочлени

1122. а) n = 6а + 3; m = 6b + 4; 3n = 18а + 9; 5m = 30b + 20;

3b + 5n = 18а + 30b + 29 = 6(3а + 5b + 4) + 5.

При діленні числа 3n + 5n на 6 остача 5.

M • n = 36qb + 42b + 18b + 12 = 6(6аb + 4а + 3b + 2).

При діленні числа mn на 6 остача 0.

Б) m = 5а + 2; n = 5b + 3; k = 5с + 4.

Nk – m(m – 1) = (5b + 3)(5с + 4) – (5а + 2)(5а + 1) = 25bс + 20b + 15с + 12 – 25а2 – 5а – 10а – 2 = 25bс + 20b + 15с + 10 – 25а2 – 15а = 5(5bс + 4b + 3с + 2 – 5а2 – 3а) ділиться на 5.

1123. Нехай число одиниць х, тоді десятків і тисяч а + 1, а сотень а + 2.

Тоді дане число 1000(х + 1)+ 100(х + 2) + 10(x + 1) + x = 1000х + 1000 + 100х + 200 + 10х + 10 + х = 111х + 1210 = 11 • (101х + 110) ділиться на 11.

1124. Нехай Задачі підвищеної складності – дане число, тоді друге число – Задачі підвищеної складності Тоді

Задачі підвищеної складності

Число 11(а + b) можна подати у вигляді квадрату натурального числа, коли а + b = 11 (а > b). Тоді шукані двоцифрові числа: 65; 74; 83; 92.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності ділиться на 11.

Задачі підвищеної складності

Ділиться на 7.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності ділиться на 120.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

До § 4. Формули скороченого множення

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

1137. Нехай а і b – цілі числа. Тоді a = 5n + 1; b = 5k + 2.

Задачі підвищеної складності

Кратно 5, т. к. множник 5 кратний 5.

1138. m2 – n2 = (m – n)(m + n) – це число може бути простим, коли один з множників дорівнюватиме 1. Так як m – n < m + n, то m – n = 1. Звідси m = n + 1.

1139. а) (m + n)2 – n2 =3; m2 + 2mn + n2 – n2 = 3; m2 + 2mn = 3; m(m + 2n) = 3;

M = 1, тоді m + 2n = 3; 2n = 2; n = 1;

M = 3, тоді m + 2n = 1; не має змісту.

Відповідь: m = 1; n = 1.

Б) m2 – (m – n)2 = 0; m2 – m2 + 2mn – m2 = 9; 2mn – n2 = 9; n(2m – n) = 0;

N = 1; 2m – n = 0; 2n = 10; n = 5;

N = 3; 2m – n = 3; 2m = 6; m = 3;

N = 9; 2m – n = 1; 2m = 10; m = 5.

Відповідь: n = 1, m = 5; n = 3, m = 3; n = 9, m = 5.

1140. (n + 2m)2 – (n + m)2 = 5; (n + 2m – n – m)(n + 2m + n + m) = 5; m(2n + 3m) = 5;

1) m = 1, тоді 2n + 3m = 5; 2n = 2; n = 1;

2) m = 5, тоді 2n + 3m = 1; 2n = -14; n = -7;

3) m = -1, тоді 2n + 3m = -5; 2n = -2; n = -1;

4) m = -5, тоді 2n + 3m = -1; 2n = 14; n = 7.

1141. а) m3 – (m – 2n)3= 99; (m – m + 2n) • (m2 + m(m – 2n) + (m + 2n)2) = 99;

2n(n2 + m(m – 2n) + m) – 2n)2) = 99.

В лівій частині рівності число парне, в правій – непарне. Тому ця рівність не може виконуватися при любих m і n.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Рівність виконується, якщо у – середнє арифметичне чисел х і z, тобто Задачі підвищеної складності або х + z = 2у, тоді х + z – 2у = 2у – 2у = 0.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

X = 1 або х = -1.

Або |x| + 3 = 0; немає розв’язків;

1145. х2 – 4х + |х| + 5 = 0; х2 – 4х + 4 + |х| + 1 = 0; (х – 2)2 + |х| + 1 = 0.

Рівняння не має коренів, бо (х – 2)2 + |х| ≠ -1 при любих значеннях х.

Задачі підвищеної складності

Рівність не може виконуватися, бо (х – y)2 + (х – 1)2 + (y – 1)2 ≠ -1.

1147. Ціле число може мати вигляд:

1) n = 3k; 2) n = 3k + 1; 3) n = 3k + 2.

1) (3k)2 = 9k2 – ділиться на 3;

2) (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 при діленні на 3 дає остачу 1;

3) (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 9k2 + 12k + 3 + 1 при діленні на 3 дає остачу 1.

До § 5. Функції

1150. І: Задачі підвищеної складності або Задачі підвищеної складності

II: s = 1,5t

Переможцем є другий хлопець.

Через 45 с після старту І пройшов 60 м, a II – 67,5 м.

II хлопець на відстані 100 м буде через Задачі підвищеної складності

За цей час І хлопець пройде відстань Задачі підвищеної складності

Між ними відстань буде Задачі підвищеної складності

1151. y = kx + b.

Задачі підвищеної складності

У = x – 1 – графік даної функції. (2а; 2 – а) належить графіку, тоді 2а – 1 = 2 – а; 3а = 3; а = 1.

До § 6. Лінійні рівняння з однією змінною

Задачі підвищеної складності

Відповідь: коренів немає.

Задачі підвищеної складності

Відповідь: х = 4.

1153. а) |х – а| = 0; х = а = 0; х = а. Рівняння має 1 корінь.

Б) |х| = а. Якщо а < 0, то рівняння коренів не має.

Якщо а = 0, то рівняння має 1 корінь, х = 0.

Якщо а > 0, то рівняння має 2 кореня: x = а і х = – а.

Б) |х – а| + |х – 1| = 0. Рівняння має 1 корінь, х = 1 при а = 1.

Якщо а ≠ 1, то рівняння коренів не має.

Задачі підвищеної складності

1156. а) ах = 5; х = 5/a.

Якщо а = 0, рівняння не має розв’язків.

Якщо а ≠ 0, рівняння має 1 корінь.

Б) ах = 0; х = 0/a.

Якщо а = 0, рівняння має безліч коренів.

Якщо а ≠ 0, рівняння має 1 корінь: х = 0.

В) аx = 10а.

Якщо а = 0, рівняння має безліч коренів.

Якщо а ≠ 0, то рівняння має 1 корінь: x = 10.

Г) (а + 2)x = 2; Задачі підвищеної складності-.

Якщо а = -2, то рівняння не має коренів.

Якщо а ≠ -2, то рівняння має 1 корінь.

Д) 4аx + 4а = 8а; 4а(x + 1) = 8а.

Якщо а = 0, то рівняння має безліч коренів.

Якщо а ≠ 0, то рівняння має 1 корінь: Задачі підвищеної складності

Е) а(1 – х) = 5а.

Якщо а = 0, то рівняння має безліч коренів.

Якщо а ≠ 0, то рівняння має 1 корінь: x = -4.

1157. а) (b – 2)х = b2 – 4; (b – 2)х = (b – 2) • (b + 2).

Якщо b = 2, то рівняння має безліч коренів.

Якщо b ≠ 2, то рівняння має 1 корінь: х = b + 2.

Б) bх – 2х = 2b – 4; x(b – 2) = 2(b – 2).

Якщо b = 2, то рівняння має безліч коренів.

Якщо b ≠ 2, то рівняння має 1 корінь: х = 2.

Задачі підвищеної складності

Якщо а = 8, рівняння не має коренів. При всіх інших значеннях а рівняння має 1 корінь.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності – додатне при будь-якому значенні а, бо а2 + 2 – додатне і а2 + 1 – додатне.

Задачі підвищеної складності

Якщо а = 0, рівняння має 1 корінь: х = 0.

Якщо а ≠ 0, рівняння має 2 кореня: х = ±a/2.

1161. х2 – 12х + 30 = а; (х2 – 12х + 36) – 6 = а; (х – 6)2 = а + 6.

Якщо а = -6, рівняння має 1 корінь: х = 6.

А = -6 – найменше значення, для якого рівняння має хоча б один корінь.

1162. Нехай з моменту першої зустрічі до другої зустрічі автобус їхав х годин і проїхав 60х км. За цей час автомобіль їхав 1/3 год до міста А, 40 хв = 2/3 год відпочивав, тому з п. А до моменту другої зустрічі був у дорозі Задачі підвищеної складності год і проїхав 90(х – 1) км. Відстань, яку проїхав автомобіль, на 30 км більша. Тому 90(х – 1) – 60х = 30; 90х – 60х = 120; 30x = 120; х = 4.

Відстань від А до моменту другої зустрічі 90 • (4 – 1) = 270 км. Тоді відстань від А до В дорівнює 270 + 20 = 290 км.

1163. Нехай міді було х г, тоді олова 1,2x г, а цинку 1,8x г. За умовою задачі х + 1,2x + 1,8x = 1000; 4х = 1000; х = 250 г міді було у сплаві.

1,2 • 250 = 300 голова у сплаві; 300 • 1,5 = 450 г цинку у сплаві.

Відповідь: 450 г.

1164. Нехай місткість чашки х мл. Після 1 доливання молока в чашці 4/5x кави + 1/5х молока. Після другого доливання Задачі підвищеної складності де 16/25х – кава; 9/25х – молокo. За умовою задачі Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

1165. Нехай велосипедист їхав зі швидкістю x км/год. Якби він збільшив швидкість на 2 км/год, то вона б становила (x + 2) км/год. Із збільшеною швидкістю велосипедист їхав би у год, з меншою 1,1 у год. Тоді x • 1,1у = (x + 2) • у; 1,1ху = xy + 2у; 1,1xy – ху – 2у = 0; 0,1xy – 2y = 0; 0,1y(x – 20) = 0; y = 0 – не має змісту або x – 20 = 0, x = 20.

Відповідь: 20 км/год.

До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

Задачі підвищеної складності

Якщо а > 0: 4а + 4а = 16; 8а = 16; а = 2, то розв’язком рівняння є пара чисел (1; 2).

Якщо а < 0, то рівняння розв’язків не має.

Відповідь: а = 2.

1167. а) 3n – 7m = 5; 3n = 5 + 7m; Задачі підвищеної складності

Якщо m = 1, то n = 4; m = 4, n = 11; m = 7, n = 18; …; m = 1 + 3а, n = 4 + 7а, де а – любе ціле число.

Б) n2 – m2 = 9; (n – m)(n + m) = 9;

Задачі підвищеної складності або

Задачі підвищеної складності або

Задачі підвищеної складності або

Задачі підвищеної складності або

Задачі підвищеної складності або

Задачі підвищеної складності

1168. |x| – |y| = 0.

Задачі підвищеної складності

I коорд. кут: x > 0; y > 0; x – y = 0 або у = x.

II коорд. кут: x < 0; y > 0; – x – у = 0 або у = – х.

III коорд. кут: x < 0; у < 0; – x + y = 0 або y = x.

IV коорд. кут: x > 0; у < 0; x + у = 0 або y = – х.

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Система не має розв’язків.

Відповідь: (0; 0); (1; 1).

Задачі підвищеної складності

Звідси Задачі підвищеної складності

Відповідь: (1; 2); (-1; 2).

Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Якщо Задачі підвищеної складності то система має безліч розв’язків.

9а = -3а + 6; 12а = 6; а = 0,5.

Отже, якщо а = 0,5, то система має безліч розв’язків.

Якщо а ≠ 05, то система має 1 розв’язок.

Задачі підвищеної складності

Система має два розв’язки, якщо а > 0.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Будова тканин тваринного організму.
Ви зараз читаєте: Задачі підвищеної складності