Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники



Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 18. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

У попередніх параграфах ми вже розглядали кілька способів розкладання многочленів на множники: винесення спільного множника за дужки, групування, застосування формул скороченого множення.

Іноді, щоб розкласти многочлен на множники, доводиться застосовувати кілька способів. У такому випадку розкладання

На множники доцільно починати з винесення спільного множника за дужки, якщо такий множник існує.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад

1. Розкласти на множники многочлен 5m4 – 20m2n2.

Р о з в’ я з а н н я. Спочатку винесемо за дужки спільний множник 5m2:

5m4 – 20m2n2 = 5m2(m2 – 4n2).

Потім до виразу в дужках застосуємо формулу різниці квадратів:

5m2(n2 – 4n2) = 5m2(m – 2n)(m – 2n).

Отже, 5m4 – 20m2n2 = 5m2(m – 2n)(m + 2n).

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен 2х4 + 12×3 + 18х2.

Р о з в’ я з а н н я. Винесемо за дужки спільний множник 2×2, а до виразу в дужках застосуємо формулу квадрата суми:

2х4 + 12×3 + 18×2 = 2х2(х2 + 6x + 9) = 2х2(х + 2)2.

Приклад 3. Розкласти на множники многочлен a3b2 – 3а3b + 5а2b2 – 15а2b.

Р о з в ‘ я з а н н я. Винесемо

за дужки спільний множник а2b. Одержимо:

A3b2- 3а3b + 5а2b2 – 15а2b = а2b(аb – 3а + 5b – 15).

Многочлен ab – 3а + 5b – 15, що утворився в дужках, можна розкласти на множники способом групування:

Ab – 3а + 5b – 15 – (ab – 3а) + (5b – 15) = а(b – 3) + 5(b – 3) = (b – 3)(а + 5).

Остаточно маємо:

А3b2 – 3а3b + 5а2b2 – 15а2b = а2b(b – 3)(а + 5).

Універсального правила, за яким можна було б розкладати многочлени на множники, немає. Приклади, які ми розглянули вище, дозволяють лише сформулювати правило-орієнтир, якого бажало дотримуватися при розкладанні многочленів на множники.

1) Якщо можливо, винести спільний множник за дужки.

2) Перевірити, чи не є вираз, одержаний в дужках, квадратом двочлена або різницею квадратів, різницею чи сумою кубів.

3) Якщо многочлен, отриманий у дужках, містить чотири або шість доданків, перевірити, чи не розкладається він на множники способом групування.

Окрім за пропонованого правила, інколи допомагають штучні прийоми.

Приклад 4. Розкласти на множники многочлен а2 – 4а + 4 – b2.

Р о з в ‘ я з а н н я. Оскільки перші три доданки є квадратом двочлена, застосуємо штучне групування, розбивши многочлен на дві групи, одна я яких містить цей квадрат двочлена, а друга – четвертий доданок:

А2 – 4а + 4 – b2 – (а2 – 4а + 4) – b2.

Першу групу згорнемо у квадрат різниці: а2 – 4а + 4 = = (а – 2)2, після чого даний многочлен перетвориться на різницю квадратів двох виразів: а2- 4а + 4 – b2 = (а – 2)2 – b2, яку розкладемо на множники за формулою різниці квадратів.

Отже, маємо:

А2 – 4а + 4 – b2 = (а – 2)2 – b2 = (а – 2 – b)(а – 2 + b).

Приклад 5. Розв’язати рівняння х2 + 8х – 20 = 0.

Р о з в ‘ я з а н н я. Знайдемо такe число, яке разом із виразом х2 + 8х утворює квадрат двочлена. Таким числом є 16. У лівій частіші рівняння додамо і віднімемо число 16. Одержимо:

Х2 + 8х + 16 – 16 – 20 = 0;

(х2 + 8x + 16) – 36 = 0;

(х + 4)2 – 62 = 0.

Далі розкладемо ліву частину рівняння на множники за формулою різниці квадратів і розв’яжемо одержане рівняння:

(х + 4 – 6)(х + 4 + 6) = 0;

(х – 2)(х + 10) = 0;

Х – 2 = 0 або х + 10 = 0;

Х = 2 або х = 10.

В і д п о в і д ь: -10; 2.

Перетворення х2 + 8х – 20 = х2 + 8х + 16 – 16 – 20 = (х + 4)2 – 36 називають виділенням квадрата двочлена.

Не кожний многочлен другого степеня можна розкласти на множники. Наприклад, на множники не можна розкласти многочлени х2 + 4, х2 + y2 + 1, х2 + х + 2 тощо. Зокрема, не розкладаються на множники многочлени другого степеня, які є неповними квадратами суми або різниці та не містять спільного множника.

Наприклад, m2 + m + 1, р2 – 3р + 9, 4×2 + 2x + 1 тощо.

Які способи розкладання многочленів на множники ви знаєте? У чому полягає правило-орієнтир, яке доцільно використовувати при розкладанні многочленів на множники? Чи кожний многочлен можна розкласти на множники? Наведіть приклади многочленів, які не можна розкласти на множники.

(Усно) Із формул виберіть ті, що є тотожностями:

1) (а + b)2-a2 + ab + b2;

2) а2 – b2 = (а – b)(а + b);

3) (а – b)2 – а2 – 2ab + b2;

4) а3 + b3 = (а + b)(a2 – ab + b2);

5) а3 – b3 = (а – b)(a2 + 2аb + b2);

6) а2 – b2 = (а – b)2.

Які з формул є тотожностями:

1) (m – n)2 = m2 – mn + n2;

2) x3 + у3 = (х + у)(х2 – 2ху + у2);

3) р2 – q2 = (р – q)(p + q);

4) (с + d)2= с2+ 2cd + d2;

5) m3 – n3 = (m – n)(m2 + mn + n2);

6) a2 – b2 = (a + b)(a + b)?

Закінчіть розкладання на множники:

1) ха2 – 9х = х(а2 – 9) = х(a2 – 32) = …

2) bm2 – 2mb + b = b(m2 – 2m + 1) = …

(Усно) Розкладіть на множники:

1) ах2 – ау2;

2) mр2 – m;

3) b3 – b.

Розкладіть на множники:

1) 5а2 – 5b2;

2) ар2 – aq2;

3) 2хm2 – 2хn2;

4) 7b2 – 7;

5) 16 x2 – 4;

6) 75 – 27с2;

7) 5mk2 – 20m;

8) 63ad2 – 7а;

9) 125рx2 – 5ру2.

Подайте у вигляді добутку:

1) m3 – m;

2) р2 – р4;

3) 7а – 7а3;

4) 9а2 – 9а4;

5) 81с3 – с5;

6) 3а5 – 300а7.

Розкладіть на множники:

1) ах2 – ау2;

2) mа2 – 4mb2;

3) 28 – 7m2;

4) p5 – p3;

5) b – 4b3;

6) а5 – а3с2;

7) 15d – 15d3;

8) 625b3 – b5;

9) 500а5 – 45а3.

Розв’яжіть рівняння:

1) 3х2 – 27 = 0;

2) 5 – 20×2 = 0.

Знайдіть корені рівняння:

1) 8 – 2х2 = 0;

2) 75×2 – 3 = 0.

Розкладіть на множники:

1) 3а2 + 6аb + 3b2;

2) – 2m2 + 4mn – 2n2;

3) – а2 – 4а – 4;

4) 6а2 + 24аb + 24b2;

5) 2аm2 + 4аm + 2а;

6) 8а4 – 8а3 + 2а2.

Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) -4а2 + 8ab – 4b2;

2) -25by2- 10by – b;

3) а5 + 6a4m + 9a3m2;

4) 6by2 + 36by3 + 54by4.

Знайдіть значення виразу:

1) 3m2 – 3n2, якщо m = 41, n = 59;

2) 2х2 + 4ху + 2у2, якщо х = 29, у = 28.

Знайдіть значення виразу:

1) 5×2 – 5y2, якщо х = 49, у = 51;

2) 3а2 – 6ab + 3b2, якщо а = 102, b = 101.

Подайте у вигляді добутку:

1) 3а3 – 3b2;

2)7×3 + 7у3;

3) – рm3 – рn3;

4) 16а3 – 2;

5) 125m + m4;

6) а7 – а4.

Розкладіть на множники:

1) bx3 – by3;

2) -2a3 – 2b3;

3) 8a – a4.

Розкладіть на множники:

1) а4 – 81;

2) 16 – с4;

3) х8 – 1;

4) а4 – b8.

Доведіть тотожність:

А8 – b8 = (а – b)(а + b)(а2 + b2)(а4 + b4).

Розв’яжіть рівняння:

1) x3 – х = 0;

2) 112y – 7y3 = 0;

3) 64х3 + х = 0;

4) у3 + 4y2 + 4у = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1) у – у3 = 0;

2) 5х3 – 180х = 0;

3) 16у3 + у = 0;

4) x3 – 2×2 + х = 0.

Розкладіть на множники:

1) 7ab + 21а -7b – 21;

2) 6mn + 60 – 30m – 12n;

3) abc – 3ас – 4ab – 12а;

4) а3 – ab – а2b + а2.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) 90 + 3аb – 45а – 6b;

2) -3mn – 9m – 18n – 54;

3) а4х + а4 + а3х + а3;

4) р3а2 + ра2 – 3ар2 – 3ар.

Розкладіть на множники:

1) а2 + 2ab + b2 – 16;

2) а2 – х2 – 2ху – у2;

З) р2 – х2 + 10р + 25;

4) m2 – b2 – 8b – 16.

Розкладіть на множники:

1) x2 + 2ху + у2 – 25;

2) m2 – а2 + 2аb – b2;

3) m2 – а2 – 8m + 16;

4) р2 – х2 + 20х – 100.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) а2 – 81 + а – 9;

2) m2 – а2 – (а + m);

3) x2 – у2 – х + у;

4) х + х2 – у – y2;

5) а – 3b + а2 – 9b2;

6) 16m2 – 25n2 – 4m – 5n.

Розкладіть на множники:

1) а2 – b2 – (а – b);

2) р2 – b – р – b2;

3) 16×2 – 25y2 + 4х – 5у;

4) 100m2 – 10m + 9n – 81n2.

Перетворіть вираз на добуток:

1) р2(m – 3) – 2р(m – 3) + (m – 3);

2) 1 – а2 – 4b(1 – а2) + 4b2(1 – а2).

Доведіть тотожність:

С2(с – 2) – 10с(с – 2) + 25(с – 2) = (с – 2)(с – 5)2.

Подайте у вигляді добутку:

1) аb2 – b3 – а + b;

2) ах2 – а3 + 7х2 – 7а2;

3) р3 + p2q – 4р – 4q;

4) а3 – 5m2 + 5а2 – аm2.

Розкладіть на множники:

1) m3 + n3 + m + n;

2) а – b – (а3 – b3);

3) а3 + 8 – а2 – 2а;

4) 8р3 – 1 – 12р2 + 6р.

Подайте у вигляді добутку:

1) m3 + m2n – m – n;

2) bа2 – 3а2 – 4b + 12;

3) а3 – b3 + а – b;

4) х3 + 1 – 5х – 5.

Розв’яжіть рівняння:

1) у3 – 5у2 – у + 5 = 0;

2) х3 = 2х2 + 4х – 8.

При якому значенні х:

1) значення виразу х3 – х2 – х + 1 дорівнює нулю;

2) значення виразів x3 – 9х і х2 – 9 є між собою рівними?

Запишіть у вигляді добутку:

1) 9(а + b)2 – (а2 – 2ab + b2);

2) 25(3у – 2m)2 – 36(9у2 + 12mу + 4m2).

Розкладіть на множники:

1) а3 + 8b3 + а2 – 2ab + 4b2;

2) m3 – 8n3 + m2 – 4mn + 4n2.

Перетворіть многочлен на добуток многочленів:

1) a3 – b3 + а2 – 2аb + b2;

2) с2+ 2cd + d2 – x2 – 2xy – у2.

Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередньо квадрат двочлена:

1) х2 – 2х – 3;

2) х2 + 8х – 9;

3) х2 – 3х – 4;

4) х2 + х – 2.

Р о з в ‘ я з а н н я.

4) х2 + х – 2 = х2 + 2 ∙ х ∙ + ()2 – ()2 – 2 = (х + ) – = (х + )2 – ()2 = (х + + ) (х + – ) = (х – 1)(х +2).

Доведіть, що при будь-якому цілому значенні n значення виразу є числом цілим.

Вправи для повторення

Спростіть вираз:

1) х(х + 1)(х + 2) – 3(х – 2)(х + 2) + 2(х – 6);

2) (2х + 3у)(3у – 1) – (2х – у)(5х – у) + (2х – 3у)(5х + 2у).

Розв’яжіть рівняння:

Х((х – 2)2 + 4х) = 64 ( х – 1)( х2+ х + 1).

Супермаркет електроніки до річниці свого відкриття вирішив продати 141 планшет і 95 смартфонів зі знижками. Щогодини продавали по 12 акційних планшетів та по 10 акційних смартфонів. Через скільки годин від початку дії знижок акційних планшетів у супермаркеті залишалося утричі більше, ніж акційних смартфонів?

Цікаві задачі для учнів неледачих

Сашко і Марійка живуть в одному під’їзді на одному поверсі і навчаються в одній школі. Сашко пішки витрачає на дорогу до школи 12 хвилин, а Марійка – 18 хв. Через 3 хвилини після виходу Марійки до школи вийшов і Сашко. Через який час після свого виходу віл її наздожене?

Домашня самостійна робота № З

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А – Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть варіант правильної відповіді.

Якому многочлену тотожно дорівнює вираз (m – n)2?

A)m2 + 2mn + n2;

В) m2 – n2;

B) m2 + n2;

Г) m2 – 2mn + n2.

Знайдіть добуток (а – х)(а + x).

А) а2 + х2;

Б) а2 – х2;

В) х2 – а2;

Г) а2 + 2ха + х2.

Подайте вираз х2 + 2ху + у2 у вигляді квадрата двочлена.

А) (х – у)2;

В)(у – х)2;

В) (2 х + y)2;

Г) (х + у)2.

Перетворіть вираз (5х – 1)2 на многочлен.

A)5х2 – 10х + 1;

Б) 25×2 + 10x + 1;

B) 25х2 – 10х +1;

Г) 25х2 – 1.

Розкладіть двочлен -16 + 9а2 на множники. A) (3а – 4)(3а – 4);

Б) (3а + 4)(4 – 3а);

B) (3а + 4)(3а – 4);

Г) (3а – 4)2.

Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку. A) (m + 4)(m2 – 4m + 16);

Б) (m + 4)(m2 – 8m + 16);

B) (m – 4)(m2 + 4m + 16);

Г) (m + 4)(m2 – 4m – 16).

Розв’яжіть рівняння: х(х + 2) – (х – 3)2 = 7.

А) -2;

Б) -1;

В) 1;

Г) 2.

Спростіть вираз (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4р2).

А) m4 + 8р3;

Б) m6 + 8р3;

В) m8 – 8р3;

Г) m8 + 4р3.

Розкладіть многочлен 3аb – 3b + 6а – 6 на множники. A) (а – 1)(b + 2);

Б) 3(а + 1)(b – 2);

B) 3(а + 1)(b + 2);

Г) 3(а – 1)(b + 2).

Якого найменшого значення набуває вираз х2 + 4х + 3?

А) 1;

Б) 0;

В) -1;

Г) -2.

Розв’яжіть рівняння х3 +2х2 – х – 2 = 0.

А) -2; -1; 1;

В) -2; 1;

В) -2; -1;

Г) -1; 1.

Розкладіть вираз (b – 2)3 – b3 на множники. A) 2(b2 – 6b + 4);

Б) -2(b2 – 6b + 4);

B) 2(3b2 – 6b + 4);

Г) 2(3b2 – 6b + 4).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО & 13 – & 18

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (р + а)2;

2) (с – m)(с + m).

Розкладіть на множники:

1) t2 – 2tb + b2;

2) d2 – n2.

Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)2 = р2 – ра + а2;

2) р3 + q3 = (р + q)(р2 – рq + q2);

3) m2 – с2 = (m – с)(m + с);

4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + 2dt + t2)?

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)2;

2) (7 + 2b)(2b – 7).

Розкладіть многочлен на множники:

1) а2 + 6а + 9;

2) -25 + 36х2;

3) b3 + 64;

4) 7с2 – 7d2.

Доведіть тотожність:

(4х + 3)2 – (4х – 5)(4х + 5) – 24х = 34.

Спростіть вираз:

1) (-4а + 3b)2 + (-4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb;

2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3).

Розв’яжіть рівняння:

1) 2х3 – 50х = 0;

2) х3 – 10х2 + 25х = 0.

Доведіть, що при будь-якому значенні змінної х вираз х2 + 8х + 17 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

Додаткові вправи

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (а + З)3;

2)(2m – 5)3.

Знайдіть дві останні цифри числа 2933 – 933. Розкладіть тричлен х2 + 6х – 7 на множники.

Вправи для повторення розділу 1

До &1

Випишіть вирази, які є виразами зі змінними, у дві груші: у першу – цілі раціональні вирази, у другу – дробові раціональні вирази:

1) m – 7;

2)a2 – ;

3)7 + 9 ∙ 3;

4) (3 – 9) + 7 ∙ 8;

5) – ab;

6) + c3;

7) + ;

8) а3 – а2 + а.

На склад привезли а мішків цукру по 50 кг у кожному. Запишіть виразом масу всього завезеного цукру. Знайдіть значення цього виразу, якщо а = 12. Запишіть у вигляді виразу:

1) двоцифрове число, у якому х десятків і у одиниць;

2) двоцифрове число, у якому 5 десятків і а одиниць.

3) трицифрове число, у якому а сотень, b десятків і с одиниць;

4) трицифрове число, у якому m сотень, n десятків і 6 одиниць.

Відомо, що х – у = 2 і р = 2. Знайдіть значення виразу:

1) х + р – у;

2) х – у + 5р;

3) (у – х)р;

4) ;

5) 7x – 7у – p;

6) – .

До & 2

Спростіть вираз:

1) 2+ 3а – 5;

2) 0,4m + m;

3) 3р – 2р + 5;

4) -(m – 3).

Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

1) 7(5x + 8) – 12x;

2) 9m + 3(15 – 4m);

3) 6(х + 1) – 6х – 9;

4) 12x – 2(3х – 5);

5) (2х + 1) – 3(2x – 5);

6) 5(x – 2) – 4(2х – 3).

Доведіть тотожність:

1) 18(а – 2) = 12а – (20 – (6а – 16));

2) 2(х – у + t)- 3(x + у – t) – 5 (t – у) = – х.

Доведіть, що сума будь-яких трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3. Чи є тотожністю рівність:

1) |а + 5| = а + 5;

2) |m2 + 1| = m2 = 1;

3) |m – n| = |n – m|;

4) |а| + |b| = |а + b|?

До & 3

А) Подайте добуток у вигляді степеня:

1) 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3;

2) -2 ∙ (-2) . (-2) ∙ (-2);

3) aa;

4) ∙ ∙ ∙ ∙

Б) Подайте степінь у вигляді добутку однакових множників:

1)m3;

2)17x;

3) (р + 2)2;

4) ()5.

Обчисліть:

1) 26;

2) (0,2)3;

3)(- )2;

4) (-1 )3;

5)-(-2)3;

6) – ()2;

7)-(-0,1)2;

8)-(-1)27.

Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразу з нулем:

1) (-1,7)15 ∙ (-2,7)2;

2) (-2,3)3 : (-5,89);

3) -3,72 ∙ (-2,8)4;

4) -(-2,6)8 ∙ (-5,7)5.

Знайдіть останню цифру числа:

1) 201513;

2) 50117;

3) 100617;

4) 159 + 168 + 10117.

Чи є число:

1) 1017 + 5 кратним числу 3;

2) 1029 + 7 кратним числу 9?

До & 4

Подайте у вигляді степеня:

1)b7b3;

2) а3а;

3) 98 ∙ 97;

4) р10 : р3;

5) 198 : 196;

6) 715 : 714;

7) (а3)4;

8) (25)3.

Обчисліть:

1) З8 : 37;

2) 25∙ 212: 215;

3) ;

4).

Знайдіть значення х, при якому рівність є тотожністю:

1) (х7)х = х21;

2) (32)8 = 33х;

Запишіть вираз у вигляді степеня (n – натуральне число):

1) (а18 : а2n) . (а7 : аn), де n < 7;

2) ∙ a4n.

Знайдіть останню цифру числа (n – натуральне число):

1) 84n;

2) 74n+1.

До & 5

Які з виразів є одночленами? Які з одночленів подано у стандартному вигляді:

1) – а2с;

2) 7а. 2b ∙ 4;

3) 17;

4) aaba;

5)6(х – у);

6) р + 1;

7) – р2;

8) с9 – с?

Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь:

1) – а2b ∙ 2ab7;

2) 3m (-2m2) ∙ 5m7;

3) -7ар2∙ 0,1а2р9;

4) 1 m2 ∙ mс2;

5) – а ∙ ( b) ∙ (-с) ∙ (-5d);

6) р9 ∙ (-2а2) ∙ (-5р7) ∙ a8.

Складіть по два різних одночлени стандартного вигляду зі змінними а і b таких, щоб:

1) степінь кожного з них дорівнював 7, а коефіцієнт дорівнював -8;

2) степінь кожного з них дорівнював 3, а коефіцієнт дорівнював 17.

До & 6

Знайдіть добуток одночленів:

1) 3m ∙ 2n;

2) -4р 2а;

3) 8m2 ∙ 3n;

4) -2а3 ∙ (-b7).

Подайте вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду.

1) -2,5m2 ∙ ( 4m3р);

2) 12р2m ∙ ( – р3m7);

3) 0,6m7а9 ∙ 10m2а7 ∙ m3;

4) (-mn7)3;

5) (-2а5b7)2;

6) (m3p7a9)5.

Знайдіть одночлен А, якщо:

1) А ∙ 14m2n = 42m4n2;

2) 3p2q7 ∙ А = – 21p3q7.

Виконайте множення одночленів 0,4m ∙ 10nm2 та знайдіть значення одержаного добутку, якщо m = -2; n = 0,5. Чи можна подати вираз у вигляді квадрата одночлена:

1) 49mn12;

2) -25а4b8;

3) -0,2m4n2 ∙ (-5m2n4);

4) -(-3а4)3 ∙ 3а12?

При якому натуральному значенні n рівність (2,5а8с)n ∙ 0,16с5 = 2,5а24с8 є тотожністю?

До & 7

З даних одночленів складіть многочлен та вкажіть його степінь:

1) 5а2 і 4b;

2) – а2; аb і m;

3) 5с3 і -8;

4) 3mn2; 4mn; -5m2n і -7.

Зведіть подібні члени многочлена:

1) 8а2b – 7аb2 + 5а2b + 4b2а;

2) 5mn – 2mn – 8 – 3mn;

3) 7m3 + m2 – 8 – m3 + 3m2;

4) 2х2у – 7xу2 – 5ху + 3ух2 + 7у2х.

Зведіть многочлен ab ∙ (-8ab2) + 8а2 ∙ (-1,5аb) + 20аb ∙ (-0,1аb2) + a2ab + 2а ∙ 6а2b до стандартного вигляду і знайдіть його значення, якщо а = 5; b = – . Чи існують такі натуральні значення змінної а, при яких значення многочлена 2а2 + 6а + 7 є парним числом?

До & 8

Спростіть вираз:

1) (3m + 5n) + (9m – 7n) – (-2n + 5m);

2) (12аb – b2) – (5аb + b2) + (аb + 2b2);

3) (3х2 + 2n) + (2х2 – 3х – 4) – (17 – х2);

4) (m – n + р) + (m – р) – (m – n – р).

1) Подайте многочлен 4х3 – 4×2 + 5х – 7 у вигляді суми двочленів.

2) Подайте многочлен х3 – 5х + 7х2 – 9 у вигляді різниці одночлена і тричлена.

Який многочлен у сумі з многочленом 2×2 – 3х + 7 дає:

1) 0;

2) 5;

3) -3х + 1;

4) х2 – 5х + 7?

Доведіть, що сума двох послідовних непарних цілих чисел ділиться на 4. Спростіть вираз 5ху – 8х2у – (3ху – (4 ху2 + 8х2у) – 2,75ху2) і знайдіть його значення, якщо х = -1; у = 3.

До & 9

Виконайте множення:

1) а(b + 7);

2) с(2 – х);

3) а(m – 3);

4) – b(а – х + у).

Перетворіть добуток на многочлен:

1) 2ха(а2 – 3ах);

2) 3mp(2m3 – 5mр);

3) 4аb2(а2 – 2ab – b2);

4) (4m3 – 2mn2 – n)2mn2;

5) (-0,1х3у + 0,2х2у – у3)(-5х2у);

6) -10n3х (5nх2 – 2n2х + х5).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 2х(х + у) – у(2х – у) – у(у + 1), якщо х = -5, у = -10;

2) m2(m2 – 5m + 1) – 2m(m3 – 4m2 + m) + m4 – 3m3 + 2, якщо m = -3.

При якому значенні змінної значення виразу 2х(6х – 5) на 5 менше за відповідне значення виразу 3(4х2∙ 5)? Спростіть вираз хn – x2(1 + xn – 2) + x3(xn-3 + 2), де n > 3, n – натуральне число. За перший день із овочесховища продали на 3 ц більше овочів, ніж за другий, а за третій – від того, що було продано за перші два дні разом. По скільки центнерів овочів продавали у кожен із цих днів, якщо за ці три дні разом продали 65 ц овочів? Розв’яжіть рівняння

До & 10

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 5х – 5у;

2) 7m + 7n;

3) ар + ас;

4) bm – bk.

Розкладіть на множники:

1) 7ах – 7bх;

2) 8а + 24ас;

3) 18р – 24р2;

4) 5m3 – 10m2;

5) -15а2 – 20а3;

6) а7 – а2 + а5.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) 6ху – 12х2у + 15x2y;

2) 7mn5 + 28m2n3 – 7m3n2;

3) а(х – 2) + 3b(х – 2) – 2(2 – х);

4) 8(m – 1) – n(1 – m).

Розв’яжіть рівняння:

1) х|х – 3| – 5|х – 3| = 0;

2) |х||х – 2| – 7(х – 2| = 0.

При деякому значенні х значення виразу х2 – 3х – 13 дорівнює -1. Знайдіть при тому самому значенні х значення виразу:

1) 2×2 – 6х – 26;

2) х2(х2 – 3х – 13) – 3х(х2 – 3х – 13);

3) 3х2 – 9х – 8;

4) х2 – х + 3.

До & 11

Виконайте множення:

1) (m – р)(а + х);

2) (2 + t)(a – 3);

3) (а + b)(2 + с);

4) (а -2)(b – 3).

Подайте у вигляді многочлена:

1) (2m – 3р)(3m + 2р);

2) (2а2 + b)(3b – 5а2);

3) (7×2 – 2х)(3х + 1);

4) (5а3 – 4а2)(9а2 + 8а);

5) (3а2 + 5bа)(3b – 4а);

6) (mn – n2)(4n3 + 2n2m).

Спростіть вираз:

1) (а – 8)(2а – 2) – (а + 9)(а – 3);

2) (х – у)(х + 3) – (х + y)(х – 3);

3) (3а – 5b)(5а + 3b) – (5а – 3b)(3а + 5b);

4) (а3 + 4m)(а2 – 4m) (а2 + 4m)(а3 – 4m).

Розв’яжіть рівняння:

1) (3х – 1)(2х + 6) – (2х – 2)(3х + 1) = -24;

2) (3х + 9)(х – 5) – (х – 7)(3х – 1) = 12 + 8х.

Доведіть, що значення виразу

2(10х – 5)(х + 0,6) + (4х2 – 1)(2х – 5) – (2х – 1)(4х2 + 2х + 1) не залежить від значення змінної.

Доведіть, що (х + 1)(y + 1) – (х – 1)(y – 1) = 8, якщо х + у = 4. Два акваріуми мають форму прямокутного паралелепіпеда. Довжина першого на 10 см більша за його ширину. Довжина другого акваріума на 20 см більша за довжину першого, а ширина на 10 см більша за ширину першого. Якщо обидва акваріуми наповнити водою на висоту 25 см, то води у другому буде на 37,5 л більше, ніж у першому. Знайдіть довжину і ширину першого акваріума.

До & 12

Закінчіть розкладання многочлена на множники:

Ab – 7b + 3а – 21 = (ab – 1b) + (3а – 21) = …

Розкладіть на множники:

1) m(а – b) + 3а – 3b;

2) а(b + с) + b + с;

3) 3а – 3с + ха – хс;

4) ab – ас – 4b + 4с.

Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) 12х2с – 8х2у – 9су3 + 6y4;

2) 1,6mn2 – 2,4mр2 – n3 + 1,5nр2.

Розв’яжіть рівняння х2 + 5х – 6 = 0, застосувавши розкладання многочлена на множники.

До & 13

Піднесіть двочлен до степеня:

1)(х – р)2;

2) (m + а)2;

3) (b – k)2;

4)(y + c)2.

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 7)2;

2) (2b + 5)2;

3) (10m – 5k)2;

4) (4р + 9q)2;

5) (0,1m – 5p)2;

6) (a + 6b)2 .

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (а – 1)2 – (а – 2)2, якщо а = 1 ;

2) (3b + 2)2+ (3b – 2)2, якщо b = – .

Знайдіть число, квадрат якого при збільшенні цього числа на 3 збільшується на 159. Чи є рівність (а – b)2 = |а – b|2 тотожністю? Подайте у вигляді многочлена:

1) ((х + у) + a)2;

2) ((6 – с) – d)2;

3) (m + n + 2)2;

4) (а + 3 – с)(а + 3 – с).

До & 14

Подайте у вигляді квадрата двочлена:

1) m2 – 2mр + р2;

2) b2 = 2bу + у2;

3) а2 – 2 ∙ а ∙ 4 + 42.

Розкладіть на множники:

1) m2 + 20m + 100;

2) 49 – 14b + b2;

3) 0,09×2 + 0,6x + 1;

4) – р + р2;

5) 4×2 + 20x + 25;

6) 14m2 – 12mр + 9р2.

Знайдіть значення виразу:

1) -100m2 + 20m – 1, якщо m = 0,1; -0,9;

2) -4×2 – 12xу – 9у2, якщо x = 0,03, у = -0,02.

Розв’яжіть рівняння:

1) 3х2 – 2x + = 0;

2) 5у2 + 2у + = 0.

Змініть один з коефіцієнтів многочлена так, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена (знайдіть три різних розв’язки):

1) 100m2 + 40mn + n2;

2) 25а2 – аb + 9b2.

Доведіть, що при будь-яких значеннях змінних вираз набуває лише невід’ємних значень:

1) 4x(4x – 10) + 25;

2) (а – 2)((а – 2) + 2m) + m2;

3) (а + b)(а + b + 8) + 16.

До & 15

Які з рівностей є тотожностями:

1) (b – х)(b + х) = b2 + х2;

2) (с – d)(c )- d) = с2 – d2;

3) (m + n)(m – n) = (m + n)2;

4) (p + q)(p – q) = p2 – g2?

Виконайте множення:

1) (с + 7)(7 – с);

2) (0,5m – 3)(0,5m + 3);

3) (3b + 7)(3k – 7);

4) (2p – 9q)(9q + 2p);

5) (10m + 9n)(9n – 10m);

6)( с – d) ( с + d)

Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(а – 1)(а + 1);

2) b(b – 2)(b + 2);

3) 7р(р + 3)(р – 3);

4) 3х(х + 4)(x – 3).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9х – 3)(3 + 1,9х) + 0,39х2, якщо х = 2;

2) 9,99 – (5у – 0,1)(5у + 0,1), якщо у = ;

3) (2х – 3у)(2х + 3у) – (3х + 2у)(3х – 2у), якщо х = 1,8; у = -1,8;

4) (ab + 1)(ab – 1)(а2b2 + 1), якщо а = 5; b = .

Обчисліть: 740 ∙ З40 – (2120 – 1)(2120 + 1).

До & 16

Які з рівностей є тотожностями:

1) m2 – р2 = (m + р)(m – р);

2) а2 – m2 = (а – 7)(а + 7);

3) с2 – d2 = (с – d)(c + d);

4) 92 – a2 = (9 – a)2?

Розкладіть на множники:

1) х2 – 49;

2) 100 – р2;

3) 0,04m2 – n2;

4) 25×2 – 36у2;

5) 16а2 – b2c2;

6) 121m2а2 – b2.

Розв’яжіть рівняння, де х – змінна:

1) а2×2 – b2 = 0, а ≠ 0;

2) х2 – 0,09а2 = 0.

Чи ділиться:

1) 1382 – 1362 на 4;

2) 3492 – 3472 на 6?

Розкладіть вираз на множники:

1) 9 – (2х – 8)(3х + 2) – 2х(5х + 10);

2) (3х + 5)(4х – 5) – 2х(2,5 + 1,5х).

До & 17

Який з даних виразів є неповним квадратом суми виразів m і n, а який – неповним квадратом їх різниці:

1) m2- 2mn + n2;

2) m2 + mn + n2;

3) m2 + 2mn + n2;

4) mе2 – mn + n2?

Розкладіть на множники:

1) x3 – у3;

2) р3 + k3;

3) а3 – 64;

4) + b3;

5) 0,001m3 – 1;

6) 8×3 + 27р3.

Доведіть, що значення виразу 373 + 133 ділиться на 50. Доведіть тотожність:

X6 – y6 = (x – у)(x + у)(x2 + xу + y2)(x3 – xy + у2).

До & 18

Закінчіть розкладання на множники:

1) уm2 – 4у = у(m2 – 4) = у(m2 – 22) = …

2) са2 + 2ас + с = с(а2 + 2а + 1) = …

Розкладіть на множники многочлен:

1) mp2 – mq2;

2) 20а2 – 5;

3) с – с3;

4) 64а2 – а4;

5) 5×2 – 10xу + 5у2;

6) 2b + 4bn + 2bn2.

Подайте у вигляді добутку:

1) 9а3- 9b3;

2) 2mn – 2bn + 6m – 6b;

3) р4 – 1;

4) m2 – 4mn + 4n2 – 25;

5) m2 – 36 + b – 6;

6) m3 – 4m – m2n + 4n.

Розкладіть на множники многочлен:

1) аm4 – m4 – аm2 + m2;

2) a3b – а3 – ab + а;

3) b3 + 1 – b2 – b;

4) х3 – 27 + х4 – 9х2.

Доведіть тотожність:

1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)(а – 1)(а + 3);

2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m – 3)2(m + 3)2.

Про фундаторів математичних олімпіад в Україні

Трохи раніше ми вже розповідали про історію математичною олімпіадного руху в Україні, тепер детальніше розкажемо про його фундаторів, які більшу частину свого життя присвятили виявленню, вихованню та навчанню математично обдарованої молоді.

“Він жив і горів безмірною любов’ю до України і до Математики і увесь свій короткий вік працював невпинно й творчо на благо Науки, Освіти рідного народу. Його лекції – це і сила, й безмірна глибочінь, і краса математичної думки”. Ці слова про Михайла Пилиповича Кравчука до його 115-річчя написала Ніна Опанасівна Вірченко, український математик, доктор фізико-математичних наук, заслужений працівник освіти України, професор Національного технічного університету України “КШ.

Народився майбутній вчений 27 вересня 1892 р. у с. Човниця на Волині. Навчався в Луцькій гімназії, яку в 1910 році закінчив із золотою медаллю, і вступив на математичне відділення фізико – математичного факультету Університету святого Володимира (інші Київський національний університет імені Тараса Шевченка). У 1914 році М. Кравчук закінчує університет і його залишають при університеті як професорського стипендіата для підготовки до наукової та викладацької роботи. Успішно склавши магістерські іспити в 1917 році, Михайло Кравчук одержує звання приват-доцента. І відтоді вся наукова, педагогічна та громадська діяльність Кравчука пов’язана з Киевом. Він викладає математичні предмети у вперше створених в столиці українських гімназіях, Українському народному університеті. Був учителем Архипа Люльки, винахідника турбоактивного двигуна, та Сергія Корольова, авіаконструктора зі світовим ім’ям. На лекціях Михайла Пилиповича ніколи не було вільного місця, слухати його лекції приходили і біологи, і хіміки, і філософи, і філологи, і робітники…

У 1919 році Кравчук опублікував перший переклад українською мовою підручника “Елементарна геометрія” А. П. Кисельова, російськомовного підручника, який на початку XX ст. отримав схвальну оцінку вчителів математики та проіснував більш як півстоліття аж до перебудови шкільного курсу математики в СРСР. На початку 1920 року Михайла Пилиповича обрано членом комісії математичної термінології при Інституті наукової мови Української академії наук. На кінець того ж року цією комісією під головуванням М. Кравчука було створено тритомний математичний словник. Пильно вивчення праць Михайла Кравчука під мовно-термінологічним кутом зору і нині може прислужитися такій актуальній справі, як подальша розробка та вдосконалення української математичної термінології. Вільно володіючи кількома мовами (французькою, німецькою, італійською, польською, російською), він писав ними свої наукові праці, але найчастіше – рідною мовою, і ця його мова – гідний зразок українського науково-математичного стилю.

У 1924 році Михайло Пилипович Кравчук блискучо захистив докторську дисертацію. Це був перший в Україні захист докторської дисертації. У 1925 році Михайлові Кравчуку було присвоєно звання професора, а в 1929 році йот обрано дійсним членом Всеукраїнської академії наук. У віці 37 років він став наймолодшим академіком в Україні. Математичні інтереси Михайла Пилиповича – розмаїті, його наукові праці відзначались оригінальністю ідей, нестандартністю підходів до відомих і нових математичних проблем. Своєрідність та гнучкість мислення, висока продуктивність та працездатність, ерудованість, вимогливість та наукова щедрість, відданість науці М. Кравчука викликали захоплення його учнів та послідовників, коло яких значно з року в рік розширювалось.

Вісім років, з 1929 до 1937, були найпліднішими у творчості та наукових здобутках М. Кравчука. Він одержує низку глибоких результатів у різних розділах математики, зокрема і а теорії многочленів, видає під ручники для вищої школи, ініціює проведення першої в Україні шкільної математичної олімпіади, неперервно працює над удосконаленням математичної термінології. Результати своїх досліджень друкує но тільки в наукових виданнях України, а й за кордоном, в Італії, Франції, Німеччині.

Але трагічно склалася подальша доля Михайла Пилиповича. У СРСР почалися сталінські репресії. У 1938 році тяжка година випробовувань настала і для нього. Його заарештовують, інкримінуючи стандартний на той час набір злочинів: український націоналізм, шпигунство, контрреволюційну діяльність, у зв’язку із чим у вересні 1938 p. М. Кравчука було засуджено до 20 років тюремного ув’язнення і п’яти років заслання та відправлено в тюремні табори на Колиму. Три каторжні зими і літа відбув він том, хворий і пригнічений несправедливістю. А 9 березня 1942 року його не стало. Залишився

Михайло Кравчук на віки вічні в Коломийскій мерзлоті поряд а поетом-неокласиком Михайлом Драй-Хмарою, що за кілька літ до сього спочив у тій далекій землі, поряд з тисячами інших закатованих представників інтелігенції. І лише в 1956 році Михайла Пилиповича було реабілітовано.

У 1992 році, після здобуття незалежності, Україна відзначила 100-річчя від дня народження М. І1. Кравчука. Його ім’я було занесено в Міжнародний календар ЮНЕСКО визначних наукових діячів. У Національному технічному університеті України “Київський Політехнічний Інститут” (НТУУ “КІН”) періодично проходять Міжнародні наукові конференції, присвячені пам’яті академіка Михайла Кравчука, у яких беруть участь учені з усіх областей України, з Білорусі, Литви, Росії, Австралії, США, Німеччини, Польщі, Китаю. Японії та інших країн.

Пам’ять про Михайла Пилиповича Кравчука увічнено в назві однієї з київських вулиць, на батьківщині вченого відкрито його музей, у НТУУ “КШ” засновано стипендію його імені, а на території цього вишу відкрито пам’ятник вченому, на постаменті якого викарбовано його життєве кредо: “Моя любов – Україна і математика”.

Історія знає вражаючі приклади, коли таємниці науки підкорялися юним дослідникам.

Видатного математика і фізика-теоретика Миколу Миколайовича Боголюбова (1909- 1993) було зараховано до аспірантури коли йому ще не виповнилося і 15 років. У 17 років за досягнення в математиці йому присвоїли ступінь кандидата наук. Ще через два роки його наукові праці було відзначено нагородою Болонської академії наук (Італія), а в 20 років за визначні досягнення в галузі математики за рішенням Всеукраїнської академії наук йому було присуджено науковий ступінь доктора фізико-математичних наук без захисту дисертації.

Народився Микола Боголюбов у Нижньому Новгороді (Росія), але більшу частину свого життя і наукової діяльності провів в Україні. Коли Миколі виповнявся рік, його родина переїжджає до Києва. Юний Микола самостійно опрацьовує курси вищої математики та фізики, і тринадцятирічному хлопцю а надзвичайними здібностями дозволяють відвідувати лекції в Київському університеті. З великим захопленням юнак вивчає тут математику, фізику, астрономію, боре участь у роботі наукових семінарів. З 1923 року його заняттями з математики керує відомий учений, математик і механік М. М. Крилов (1879- 1955). Понад два десятиліття Микола Миколайович Боголюбов керував проведенням в Києві та Україні учнівських математичних олімпіад, був професором Київського і Московського університетів, працював в Академії наук УРСР, у Математичному інституті ім. В. А. Стєклова Академії наук СРСР, Міжнародному науковому центрі ядерно-фізичних досліджень – Об’єднаному інституті ядерних досліджень у м. Дубна (Росія).

З українськими математичними олімпіадами нерозривно пов’язане ім’я ще однієї неперевершеної особистості – Михайла Йосиповича Ядренка (1932-2004), який щороку до останніх своїх днів очолював журі Всеукраїнської учнівської олімпіади.

Надзвичайно плідним є його життєвий шлях. Народився у с. Дрімайлівка Чернігівської області. За словами самого Михайла Йосиповича, його першими підручниками були буквар та “Кобзар” Шевченка. Навчаючись у школі, він твердо вирішив стати математиком. У березні 1950 р. Михайло почуй но радіо оголошення, що в Київському університеті має відбутися математична олімпіада, і, маючи бажання взяти в ній участь, написав до університету листа із запитанням про таку можливість для школярів не з Києва. Через деякий час отримав відповідь із запрошенням взяти в ній участь. Тоді Михайло посів у цих змаганнях 2-го місце з-поміж учнів 10 класу. Того ж року він закінчив школу із золотою медаллю та вступив до Київського університету на механіко-математичний факультет, а після його закінчення до аспірантури. Захистив кандидатську і докторську дисертації. Ще будучи аспірантом, він боре активну участь в організації Київських математичних олімпіад та підготовці конкурсних задач. А з 1970 року стає головою журі Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики. Понад 40 років свого життя Михайло Йосипович віддав розвитку шкільної математичної освіти, виданню посібників і задачників з математики, титанічній праці з виховання математично здібної молоді. У 2010 році на честь Михайла Йосиповича названо Всеукраїнський турнір юних математиків (ТЮМ). ще одно не менш популярно за олімпіаду математичне змагання всеукраїнського рівня – Всеукраїнський турнір юних математиків імені М. Й. Ядренка.

Усе своє життя він пропрацював у Київському університеті, більш ніж 30 років завідував кафедрою теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету. Під його керівництвом 45 аспірантів захистили дисертації, 10 стали докторами наук. У 1990 році Михайла Йосиповича було обрано членом-кореспондентом Національної академії наук України.

Його донька Ольга у своїх спогадах про батька зазначала: “Усе своє життя батько присвятив людям, математиці, Україні…”.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Ьо в українській мові.
Ви зараз читаєте: Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники