Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

УРОК № 12

Тема. Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

Мета уроку: виведення формули для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. Формування вмінь застосовувати виведену формулу до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника”[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: використовують формулу для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними під час розв’язування

задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашнього завдання.

Задача 1. Розв’язання

Із трикутника ABC маємо: Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними, Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Ураховуючи, що Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиB = 180° – Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиA – Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиC = 180° – (? + ?), sinВ = sin(180° – (? + ?)) = sin(? + ?), а також, що sinC = sin?,

Маємо: Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Відповідь. Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Задача 2. Розв’язання

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними; Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними;

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними; Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

? = 180° – ? – ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними180° – 36° – 25° = 119°.

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними; Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними; Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними; Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Відповідь, а Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними16,7, с Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними24,8, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними119°.

Самостійна робота (6 балів за кожне завдання).

Варіант 1

1. У трикутнику а = 37, ? = 70°, ? = 51°. Знайдіть b, с, ?. 2. У трикутнику a = 48, b = 35, ? = 65°. Знайдіть?, ?, с.

Варіант 2

1. У трикутнику а = 24, b = 13, с = 15. Знайдіть?, ?, ?. 2. У трикутнику а = 12, b = 10, ? = 40°. Знайдіть?, ?, с.

Відповіді до самостійної роботи

Варіант 1. 1. b Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 41, с Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 34, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 59°.

2. с Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 47, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними68°, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними47°.

Варіант 2. 1. ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 118°, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 28°, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 34°.

2. ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 32°, ? Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 108°, с Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 17,8.

II. Повторення й систематизація знань учнів

Запитання до класу

1. Що таке площа? Сформулюйте властивості площі. 2. Чому дорівнює площа прямокутника? 3. Чому дорівнює площа квадрата зі стороною а? 4. Як зміниться площа прямокутника, якщо:

А) зменшити одну сторону вдвічі, а другу сторону залишити без змін;

Б) кожну сторону збільшити вдвічі?

5. Заповніть пропуски: 1км2 = … м2; 1 м2 = … см2; 1см2 = … мм2; 1 га = … м2; 1 а = … м2. 6. Чому дорівнює площа паралелограма? 7. Чому дорівнює площа трикутника, якщо відома його сторона а та висота па, проведена до неї?

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких сторін на синус кута між ними.

Доведення

Нехай трикутник ABC – даний (рис. 40).

Доведемо, що S? ABC = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними AB • AC • sinA.

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

Проведемо у трикутнику ABC висоту BD. Маємо: S? АВС = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними AC • BD.

Якщо кут А гострий, то із трикутника ABD маємо: BD = AB • sin? (рис.40,а).

Якщо кут А прямий, то із трикутника DAB маємо: BD = AB • sin90° = АВ.

Якщо кут А тупий (рис. 40, б), то BD = AB • sin(180° – ?) = AB sin?.

Отже, S? ABC = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними AB • AC • sinA, що і треба було довести.

Розв’язування вправ

1) Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 6 см і 5 см, а кут між ними 30°. 2) Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною а.

Розв’язання

Оскільки трикутник ABC рівносторонній (рис. 41), то АВ = АС = ВС = а, Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиA = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиB = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиC = 60°.

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

Тоді S = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAB • AC • sinA = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиA • a • sin60° = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиЗнаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Відповідь. Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Учням слід порекомендувати запам’ятати цю формулу.

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. У трикутнику ABC АС = а, ВС = b. При якому куті С площа трикутника буде найбільшою?

Розв’язання

Оскільки S = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAC • BC • sinC = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAb sinC, то значення S буде найбільшим, якщо sinC = 1, тобто Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиC = 90°, тоді S = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAb.

Відповідь. 90°.

2. Доведіть, що площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними: S = ab sin?, де а і b – сторони паралелограма, а? – кут між ними. 3. Суміжні сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а його гострий кут становить 30°. Знайдіть площу паралелограма. (Відповідь. 24см2) 4. Сторона ромба дорівнює 6 см, а один із кутів становить 150°. Знайдіть Площу ромба. (Відповідь. 18 см2) 5. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 10 см, а площа становить 45 см2. Знайдіть кути паралелограма. (Відповідь. 30° і 150°) 6. Паралелограм і прямокутник мають однакові сторони. Знайдіть гострий кут паралелограма, якщо площа його дорівнює половині площі прямокутника.

Розв’язання

Нехай сторони паралелограма і прямокутника дорівнюють а і b (рис. 42).

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

S1 = ab sin?, S2 = ab, де S1 – площа паралелограма, S2 – площа прямокутника, ? – гострий кут паралелограма. Ураховуючи, що Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними = 2, маємо Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними = 2, звідси sin? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. Отже, ? = 30°.

Відповідь. 30°.

7. Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює 10 см, а гострий кут становить 30°.

Розв’язання

Нехай у ромбі ABCD (рис. 43) BFЗнаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAD, BF = 10 см, Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиBAD = 30°. Із прямокутного трикутника ABF маємо: Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними (см). Отже, площа ромба: S = AD • BF = 20 • 10 = 200 (см2).

Відповідь. 200 см2.

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

8. Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються, то площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.

Розв’язання

Нехай ABCD – довільний опуклий чотирикутник (рис. 44).

Доведемо, що SABCD = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAC• BD • sin?, де? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиBOC.

SABCD = S? BOC + S? AOB + S? AOD + S? DOC = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиBO • OC • sin? + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиАО • BO • sin(180° – ?) + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиАО • DO • sin? + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиDO • ОС • sin(180° – ?) =

= Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиBO • OC sin? + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиАО • ВО • sin? + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиАО • DO • sin? + Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиDO • OC sin? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними(BO • OC + AO • BO + AO • DO + DO • OC) sin? =

= Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними(BO • (AO + OC) + DO • (AO + OC)) sin? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними(BO • АС + DО • АС) sin? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAC • (BO + DO) sin? = Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між нимиAC • BD sin?.

Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними

V. Домашнє завдання

1. Вивчити формулу для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. 2. Розв’язати задачі. 1) Квадрат і ромб мають однакові периметри. Яка з фігур має більшу площу? Поясніть відповідь. 2) Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою а. 3) Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, у якого бічні сторони дорівнюють по 1 м, а кут між ними становить 70°.

VI. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Чому дорівнює площа трикутника, якщо відома його сторона і висота, проведена до цієї сторони? 2. Чому дорівнює площа трикутника, якщо відомі дві сторони і кут між ними? 3. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомі його катети?


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Опорно-рухова система хребетних тварин.
Ви зараз читаєте: Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними