Зовнішній кут трикутника та його властивості



Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 18. Зовнішній кут трикутника та його властивості

438.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

∠BAK – зовнішній кут при вершині А.

439.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

∠LDP – зовнішній кут при вершині D.

441. ∠A + ∠B = 70° – за властивістю зовнішнього кута трикутника.

442. Зовнішній кут трикутника при вершині С дорівнює 74° згідно з властивістю зовнішнього кута трикутника.

444. РК > PL, оскільки проти більшого кута трикутника лежить більша сторона (за умовою ∠L > ∠K).

445.

src="/images/image301_13.jpg" class=""/>

Згідно з теоремою 1 ∠KCA = ∠A + ∠B = 38° + 61° = 99°.

Відповідь: 99°.

446.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Згідно з теоремою 1 ∠BCK = ∠A + ∠B = 42° + 101° = 143°.

Відповідь: 143°.

448. Нехай? ABC – рівнобедрений. ∠KBC – зовнішній кут при вершині В. ∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1). Отже, ∠BAC + ∠BCA = 110°, ∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 50°.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

449.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? DNK – рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55°. ∠MNK – зовнішній кут при вершині N. За властивістю зовнішнього кута

маємо: ∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110°.

Відповідь: 110°.

450.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай ∠CAP = 105° (зовнішній кут при вершині А), ∠C = 45°. ∠CAP = ∠B + ∠C – за властивістю зовнішнього кута трикутника. Звідси ∠В = ∠CAP – ∠C = 105° – 45° = 60°.

Відповідь: 60°.

451.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? BCD – зовнішній кут при вершині С, ∠A = 18°, ∠BCD = 120°. ∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута трикутника). Звідси ∠B = ∠BCD – ∠A = 120° – 18° = 102°.

Відповідь: 102°.

452.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? ABC – даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.

∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

∠BCM = 180° – ∠C = 180° – 70° = 110° (як кут суміжний з кутом С).

∠NAP = 180° – ∠A = 180° – 45° = 135° (як кут суміжний з кутом А).

Відповідь: 115°, 110°, 135°.

453.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? KLM – даний трикутник, ∠NKL = 110°, ∠LMP =140°.

∠NKL + ∠LKM = 180°(як суміжні кути). Звідси ∠LKM = 180° – 110° = 70°.

∠LMР + ∠LKM = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠LMK = 180° – 140° = 40°.

∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника). Звідси ∠L = 180° – (70° + 40°) = 180° – 110° = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

454. 1)

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? ABC – даний трикутник, ∠BAD = 140°. Нехай ∠B = ч, тоді ∠C = х + 30°. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠ВАО = ∠B + ∠C. Складемо рівняння: х + х + 30° = 140°; 2х = 110°; х = 55°. Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.

Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай? ABC – даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠B = х, тоді ∠С = 4х. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠С. Складемо рівняння: х + 4х = 140°; 5х = 140°; х =28°. Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° x 4 = 112°.

Відповідь: 28°, 112°.

455. 1)

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? ABC – даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠А = х, тоді ∠В = х + 20°. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠А + ∠B. Складемо рівняння: х + х + 20° = 120°; 2х =100°; х = 50°. Отже, ∠А = 50°, ∠B = 50° + 20° = 70°.

Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай? ABC – даний трикутник, ∠А = х, ∠B = 3х. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠А + ∠B. Складемо рівняння: х + 3х = 120°; 4х = 120°; х = 30°. Отже, ∠А =30°, ∠B = 3 х 30° = 90°.

Відповідь: 30°, 90°.

456. І випадок.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Зовнішній кут при вершині трикутника. Нехай? ABC – даний рівнобедрений трикутник (AB = ВС), ∠А = ∠С. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠DBC = ∠А + ∠С = 118°, ∠А = ∠С = 118° : 2 = 59°. ∠АВС = 180° – ∠DBC = 180° – 118° = 62°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Зовнішній кут при основі трикутника. Нехай? ABC – даний рівнобедрений трикутник (ВА = ВС). ∠DAB і ∠BAC – суміжні, їх сума дорівнює 180°. ∠BAC = 180° – 118° = 62°. Оскільки ∠BAC = ∠ВСА (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠ВСА = 62°. ∠А + ∠B + ∠C = 180°, ∠В = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 124° = 56°.

Відповідь: 62°, 62°, 54°.

457.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

I випадок. Зовнішній кут при вершині. Нехай? АВС даний рівнобедрений трикутник (AB = ВС). ∠А = ∠С (як кути в основі рівнобедреного трикутника). ∠BDC = ∠А + ∠С за властивістю зовнішнього кута трикутника. 42° = ∠А + ∠С, звідси ∠А = ∠С = 42° : 2 = 21°. ∠B = 180° – 42° = 138°.

Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут при основі. Цей випадок неможливий, бо тоді кути в основі будуть тупими, а у трикутнику можливий тільки один тупий кут.

458.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? KNL – даний трикутник. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠RML = ∠K + ∠L, ∠MLN = ∠K + ∠M, ∠PKM = ∠M + ∠L. Додамо рівності ∠RML + ∠MLN = ∠PKM = ∠K + ∠L + ∠K +∠M + ∠M + ∠L = 2 (∠K + ∠M + ∠L) = 2 x 180° = 360°. Отже, сума зовнішніх кутів будь-якого трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

459. Нехай 3х, 5х і 4х – градусні міри зовнішніх кутів трикутника. Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, складемо рівняння: 3х + 5х + 4х = 360°; 12х = 360°; х = 30°. Таким чином, зовнішні кути трикутника дорівнюють 3 х 30° = 90°, 5 х 30° = 150°, 4 x 30° = 120°.

Знайдемо кути трикутника. Оскільки зовнішні кути трикутника суміжні з кутами трикутника, то вони відповідно дорівнюють 90°, 30°, 60° і відносяться як 3:1:2.

Відповідь: 3:1:2.

460.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай градусні міри кутів трикутника ∠K = 7x, ∠L = 3х, ∠M = 9х. Оскільки зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, маємо: ∠NLK = ∠K + ∠M = 7х + 9х = 16х. ∠PKL = ∠L + ∠M = 8х + 9х = 11х. ∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15х. Отже, відношення зовнішніх кутів 17:16:15.

Відповідь: 17:16:15.

461.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай? РLK – даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR – суміжні. КМ – бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM.

KN – бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180°, ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180°, 2∠LKM + 2∠LKN = 180°, 2(∠LKM + ∠LKN) = 180°, ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.

462.

Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай OK – промінь, що проходить між сторонами ∠AOB, ∠AOK = х, ∠KOB = 90° – х. ∠KOB – ∠AOK = (90° – х) – х = 90° – 2х. ∠AOK + ∠KOB = 90°, 1/3(∠AOK + ∠KOB) = 30°. Отже, 90° – 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°. ∠AOK = 30°, ∠KOB = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°.

463. Зовнішній кут трикутника та його властивості

Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см.

Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 – 22,8; 5x = 21; x = 4,2. Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см.

Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.

464.

Зовнішній кут трикутника та його властивості


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Просте і складне речення.
Ви зараз читаєте: Зовнішній кут трикутника та його властивості