Головна ⇒ 📌Математика ⇒ ПРЕДМЕТИ ТА ОДИНИЦІ ЛІЧБИ

ПРЕДМЕТИ ТА ОДИНИЦІ ЛІЧБИ

РОЗДІЛ 1

ЛІЧБА, ВИМІРЮВАННЯ І ЧИСЛА

У розділі дізнайтесь: які числа називаються натуральними;

Як користуватися десятковою системою числення;

Що таке координатний промінь та як порівнювати натуральні числа за його допомогою;

Що таке пряма, промінь, відрізок, кут;

Як вимірювати відрізки і кути; чим відрізняються числовий вираз і рівність;

Як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 1. ПРЕДМЕТИ ТА ОДИНИЦІ ЛІЧБИ

Подивіться на малюнки 1-3. Ви бачите стос книг (мал. 1), яблука в кошику

(мал. 2), кілька копійок (мал. 3). Відповідаючи на запитання “Скільки?”, ви порахуєте книги, яблука чи монетки і виразите їх кількість певним числом.

Мал. 1

Мал. 2

Мал. З

Числа, які використовують для лічби, називаються натуральними.

Ви знаєте, що одиниці лічби відповідає натуральне число 1. Двом одиницям лічби – натуральне число 2 і т. д. Кожній кількості предметів лічби відповідає деяке натуральне число. Відсутність предметів лічби виражають числом 0. Оскільки рахувати предмети ніколи не розпочинають з 0, то

число 0 не вважають натуральним. Зрозуміло, що найменшим натуральним числом є число 1.

Чи існує найбільше натуральне число? Ні. Яким би великим не було натуральне число і, завжди можна додати до нього 1 і записати наступне натуральне число.

Запишемо кілька перших послідовних натуральних чисел і поставимо три крапки. Вони позначають, що далі запис потрібно продовжувати нескінченно:

1; 2; 3; 4; 5; 6;…

Дістали запис натурального ряду чисел.

Зверніть увагу:

1) найменшим натуральним числом є число 1;

2) найбільшого натурального числа не існує;

3) кожне число натурального ряду, починаючи з другого, на 1 більше за попереднє;

4) число 0 не є натуральним числом.

Подивіться на малюнки 4-6. Ви бачите 105 штук монет (мал. 4), 1 пару рукавичок (мал. 5), 7 половин горіхів (мал. 6). Узагалі, рахувати можна окремі предмети, групи предметів або частини предметів. При цьому використовують одиниці лічби з найменуванням того, що рахують: штука, пара, п’яток, десяток, половина, третина, чверть та інші.

Мал. 4

Мал. 5

Мал.6

Якщо йдеться про людей, тоді назву “штука” заміняють словом “особа” або “людина”. Наприклад, про кількість учнів у класі кажуть: “30 осіб” або “30 учнів”.

Записи “105 штук”, “1 пара”, “7 половин”, “30 осіб” називають іменованими числами.

Для лічби користуються назвами чисел, а для запису чисел – особливими знаками для їх зображення. Певні знаки утворюють числовий алфавіт і називаються цифрами. Ми користуємося числовим алфавітом, що містить десять цифр:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Цей числовий алфавіт потрапив до Європи з арабських країн, тому його цифри називають арабськими.

Проте відомо, що їх набагато раніше використовували в Індії, і саме звідти вони потрапили до арабських – країн.

Правила, за якими утворюють числа, називають системою числення, або нумерацією. Ви вже знаєте, що в системі числення, якою ми користуємось, десять предметів лічби утворюють десяток. Десять десятків складають сотню, десять сотень складають тисячу і т. д. Тому цю систему числення називають десятковою.

Десяткова система є позиційною. Якщо змінити місце (позицію) цифри в запису числа, то число зміниться. Наприклад, якщо в числі 251 поміняти позицію цифри 5, то дістанемо або 521, або 215. А це вже інші числа.

У запису числа є класи, а в кожному класі – по три розряди: одиниці цього класу, його десятки й сотні. Деякі класи ви вже знаєте – це клас одиниць, клас тисяч і клас мільйонів. За класом мільйонів йде клас мільярдів, за ним – клас трильйонів, потім клас квадрильйонів, клас квінтильйонів, клас секстильйонів і т. д. Кількість класів можна збільшувати і далі. Але для практичних потреб досить знати перші чотири класи.

У таблиці 1 записано число сто двадцять три мільярди чотириста п’ять мільйонів шістсот сімдесят вісім тисяч дев’ятсот вісімдесят сім. Ви бачите, що в даного числа відсутні десятки мільйонів, тому в розряді десятків класу мільйонів стоїть цифра 0.

Таблиця 1

Клас

Мільярди

Мільйони

Тисячі

Одиниці

Розряд

Сотні

Десятки

Одиниці

Сотні

Десятки

Одиниці

Сотні

Десятки

Одиниці

Сотні

Десятки

Одиниці

Число

Задача, Прочитайте число 3492503072.

Розв’язання.

1. Розіб’ємо запис числа на класи, рухаючись справа наліво: 3 492 503 072.

2. Назвемо класи, наявні в запису числа, починаючи з класу одиниць: одиниці, тисячі, мільйони, мільярди.

3. Назвемо число, що міститься в кожному класі, починаючи з класу одиниць:

У класі одиниць – 72;

У класі тисяч – 503;

У класі мільйонів – 492;

У класі мільярдів – 3.

4. Прочитаємо дане число, починаючи з найстаршого класу: три мільярди чотириста дев’яносто два мільйони п’ятсот три тисячі сімдесят два.

Зверніть увагу:

Щоб прочитати багатоцифрове число:

1) розбийте запис числа справа наліво на класи;

2) назвіть наявні класи, починаючи з класу одиниць;

3) починаючи з найстаршого класу, прочитайте числа, що містяться в кожному класі, разом із назвою класу (крім назви класу одиниць).

У десятковій системі числення кожне натуральне число можна записати у вигляді суми розрядних доданків. Наприклад, число 5248 складається з 5 тисяч, 2 сотень, 4 десятків і 8 одиниць, тому:

5248 = 5000 + 200 + 40 + 8 =

= 5 ∙1000 + 2 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 1.

Дізнайтеся більше

1. Назва натуральних чисел походить від латинського слова natura, яке в перекладі означає “природа”.

2. Походження десяткової системи числення пов’язане із кількістю пальців на двох руках людини.

3. Крім десяткової системи числення в наш час використовують ще одну – римську, яка була винайдена стародавніми римлянами. Для запису чисел у цій системі використовують римські цифри.

І	V	X	L	С	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

У цій системі натуральні числа записують за допомогою повторення римських цифр. Наприклад, 3 – III, 20 – XX.

Найчастіше римські цифри використовують для позначення порядкових чисел. Щоб не писати 1-й, 2-й, 3-й, пишуть I, II, III і читають “перший”, “другий”, “третій”.

4. Ми користуємося залишками й інших систем числення – дванадцяткової та шістдесяткової. Наприклад, рік ми розділяємо на 12 місяців, столові прибори рахуємо дюжинами, напівдюжинами. А дюжина – це 12 штук. Година містить 60 хвилин, хвилина – 60 секунд тощо.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1.Скільки сторінок у вашому: 1) зошиті; 2) щоденнику; 3) підручнику з математики? Які числа ви використали під час лічби?

2. Чи вважають нуль натуральним числом? Відповідь поясніть.

3. Чи правильно, що в ряді натуральних чисел є:

1) найменше число; 2) найбільше число?

4. Чи для кожного натурального числа можна назвати:

1) попереднє число; 2) наступне число?

5.За допомогою іменованих чисел запишіть кількість:

1) парт у вашій класній кімнаті;

2) пар учнів, що сидять за партами у вашому класі;

3) п’ятикласників у вашій школі;

4) сторінок у вашому підручнику математики.

6. Назвіть перші десять чисел натурального ряду.

7. Чи можна вважати натуральним рядом даний ряд чисел:

1) 1; 2; 3; 5; 6;…; 3) 3; 4; 5; 6; 7;…;

2)0; 1; 2; 3; 4; 5;…; 4) 1; 2; 3; 4; 5;…?

Відповідь поясніть.

8. Чи правильно записано число як суму розрядних доданків:

1)451 =4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 1 ∙1;

2)302 = 3 ∙100 + 2 ∙ 10;

3)8195 = 8 1000+ 1 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 5 ∙ 1?

9. Прочитайте число:

1)34 902; 3)56123098; 5)4523475234;

2)102 091; 4)55000555; 6) 10000000000.

Скільки цифр використано в запису числа? Скільки різних цифр використано в запису числа? Поясніть, чому відповіді в першому і другому випадках відрізняються.

10. Яку позицію займає цифра 7 у запису числа:

1)1178; 2)1718; 3)1187; 4)7118?

11. Прочитайте число:

1)15; 3)6549; 5)899999;

2)438; 4)29899; 6)2841500000.

Назвіть число, яке в натуральному ряді слідує заданим числом.

12. Прочитайте число:

1)30; 3)4261; 5)762809; 7)1725999;

2)169; 4)80000; 6)4000100; 8)499569110.

Назвіть число, яке в натуральному ряді передує даному числу.

13. Скільки чисел натурального ряду розміщено між числами:

1)10 і 19; 2) 99 і 110; 3)451 і 471; 4) 1000 і 1025?

Чи є закономірність знаходження кількості чисел?

14.Скільки чисел у натуральному ряді розміщено:

1) від 10 до 23; 3) від 245 до 251;

2) від 57 до 68; 4) від 1231 до 1245?

Чи є закономірність знаходження кількості чисел?

15. Запишіть найменше і найбільше числа серед:

1) одноцифрових натуральних чисел;

2) двоцифрових натуральних чисел;

3) трицифрових натуральних чисел;

4) п’ятицифрових натуральних чисел.

16. Скільки в ряді натуральних чисел:

1) одноцифрових чисел, 3) трицифрових чисел;

2) двоцифрових чисел; 4) чотирицифрових чисел?

17. Запишіть число, в якому:

1) 52 тисячі 435; 4) 700 мільйонів 70 тисяч 7;

2) 4 мільйони 410 тисяч 561; 5)12 мільярдів 12 тисяч 12;

3) 16 мільйонів 28 тисяч 238; 6) 52 мільйони 52 тисячі.

18. Запишіть число, в якому:

1) 216 тисяч 290;

2) 48 мільйонів 534 тисячі 308;

3) 32 мільярди 17 мільйонів 34 тисячі 109;

4) 46 мільярдів 46 мільйонів 46 тисяч 46.

19. Запишіть цифрами число:

1) п’ятсот двадцять три;

2) дві тисячі чотириста вісімдесят один;

3) сорок три тисячі шістдесят вісім;

4) сто двадцять тисяч двадцять;

5) чотирнадцять мільйонів дві тисячі двадцять п’ять;

6) сто сімдесят два мільйони сімдесят дві тисячі,

20. Запишіть цифрами число:

1) вісімсот сорок п’ять;

2) шістдесят три тисячі вісімсот два;

3) сімнадцять мільярдів сімнадцять тисяч сімнадцять;

4) двадцять один мільйон двісті десять тисяч двадцять один.

21. Запишіть чотири рази підряд число:

1)28; 2)409.

Прочитайте числа, які отримали.

22, Запишіть у вигляді суми розрядних доданків число:

1)543; 3)7019; 5)48012514;

2)207; 4)4754002; 6) 3003030300.

23. Запишіть у вигляді суми розрядних доданків число:

1)712; 3)2105; 5)904520451;

2)470; 4)678021; 6)1900190019109.

24. Серед десятицифрових чисел, у запису кожного з яких усі цифри різні, вкажіть найбільше і найменше.

25. У 5-А класі навчаються 30 учнів. Скільки парт треба поставити в класній кімнаті, якщо за партою сидять два учні?

26. На руках 10 пальців. Скільки пальців на 10 руках?

27. Бабуся вирішила пригостити трьох своїх онуків горіхами порівну. Скільки горіхів отримає кожен онук, якщо у бабусі 15 горіхів?

28. Запишіть цифрами числа, що зустрічаються в тексті: “Дніпро – третя за довжиною річка Європи після Волги і Дунаю, має найдовше русло в межах України. Довжина Дніпра в природному стані становила дві тисячі двісті вісімдесят п’ять кілометрів, тепер (після побудови каскаду водосховищ, коли у багатьох місцях випрямили фарватер) – дві тисячі двісті один кілометр; у межах України – дев’ятсот вісімдесят один кілометр. Поділяється на три частини: довжина верхньої течії (від витоку до міста Києва) становить тисячу триста двадцять кілометрів, довжина середньої частини (від Києва до Запоріжжя) – п’ятсот п’ятдесят кілометрів, а довжина нижньої частини (від Запоріжжя до гирла) – триста двадцять шість кілометрів.

29. За даними таблиці 2 знайдіть невідомі числа.

Таблиця 2

A	15	101
A + 1	54	235
A – 1	64	419

30. Для натурального числа а запишіть наступні чотири натуральні числа.

31. Порахуйте, скільки разів зустрічається цифра 1 у записах усіх натуральних чисел від 1 до 100.

32. Порахуйте, скільки разів зустрічається цифра 9 у записах усіх натуральних чисел від 1 до 100.

33. Порахуйте, яка цифра у записах усіх натуральних чисел від 1 до 100 зустрічається найчастіше, а яка – найрідше.

34. У будинку 160 квартир. Скільки разів на дверях написано цифру:

1)5; 2)7?

35. Скільки існує двоцифрових чисел, складених із цифр 1, 2, З, 4, у яких цифри записано в порядку зростання?

36 Запишіть усі чотирицифрові числа, які складено із цифр 1, 2, З, 4. Скільки чисел ви отримали? Запишіть усі чотирицифрові числа, які складено із цифр 0,1,2, 3. Скільки чисел ви отримали? Поясніть, чому відповіді в першому і другому випадках відрізняються.

37. Восьмицифрове натуральне число записано двома одиницями, двома двійками, двома трійками і двома четвірками. Між одиницями стоїть одна цифра, між двійками – дві, між трійками – три, між четвірками – чотири. Знайдіть це число. Скільки таких чисел можна записати?

38 Для нумерування сторінок книги “Цікава математика” знадобилося 324 цифри. Скільки сторінок у цій книзі?

39. У книзі 825 сторінок. Скільки цифр знадобилося для нумерування всіх її сторінок?

40. Знайдіть закономірність і запишіть два наступні числа:

1) 1,3, 5, 7,…; 3)5,12,19,26,…;

2) 2, 4, 6, 8, …; 4) 800, 400, 200, 100…

41 . У числі 111171111 викресліть три цифри так, щоб отримане число було; 1) найбільшим; 2) найменшим.

Застосуйте на практиці

42. Запишіть підряд число, місяць і рік свого народження. Яке число ви отримали? Прочитайте його.

43. Навчальний рік розпочинається 1 вересня, а зимові канікули, як правило, – 25 грудня. Є ще тиждень канікул восени. Порахуйте, скільки днів ви навчались у першому семестрі.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

44. Обчисліть усно:

1) (24: 8+14)-2-15; 2) (45 + 5) : 10 ∙4 – 12.

45. Обчисліть:

1) (542- 128): 18 + 24-15; 2) (32 ∙ 16 + 38): 11 – 25.

46. На святкову лінійку з нагоди 1 вересня прийшло 28 учнів 5-А класу, 27 учнів 5-Б класу і 32 учні 5-В класу. Скільки п’ятикласників було на святковій лінійці?

47. У літньому таборі “Мрія” в першу зміну відпочило 85 дітей, у другу – на 15 дітей більше, ніж у першу зміну, а в третю – на 20 дітей менше, ніж у другу зміну. Скільки дітей відпочило в таборі “Мрія” цього літа?