Графік функції. Графічний спосіб задання функції
Розділ 2. ФУНКЦІЇ
& 20. Графік функції. Графічний спосіб задання функції
У 6 класі ми вже розглядали графік залежності між двома величинами. Розглянемо поняття графіка функції.
Приклад 1. Нехай дано функцію у = + 3, де -2 ≤ х ≤ 3.
Знайдемо значення цієї функції для цілих значень аргументу і занесемо результати в таблицю:
Х | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
У | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
Позначимо на координатній
Мал. 6
Мал. 7
Приклад 2. Побудувати графік функції у = х2 – 1, де -3 ≤ х ≤ 2.
Ро з в ‘ я з а н н я. Складемо таблицю значень функції для цілих значень аргументу:
Х | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
У | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Позначимо
Зауважимо, що меншим буде крок (відстань) між значеннями аргументу, то щільніше розташуються точки на координатній площині, а отже, точнішим буде побудований графік.
По графіку можна одразу вказати, при яких значеннях аргументу значення функції додатні, при яких – від’ємні, при яких дорівнюють нулю. По графіку також можна побачити область визначення і область значень функції.
Приклад 3. Використовуючи графік функції у = х2 – 1, де -3 ≤ х ≤ 2, знайти: 1) нулі функції; 2) область значень функції; 3) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 4) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.
Ро з в’ я з а н н я. Графік функції у = х2 – 1 зображено на малюнку 8.
1) Нулі функції – це абсциси точок перетину графіка функції з віссю х.
Тому х = -1 і х = 1 – нулі функції. Зауважимо, що нулі функції можна знайти, і не використовуючи графік даної функції. Наприклад, достатньо розв’язати рівняння х2 – 1 = 0.
2) Функція може набувати будь – яких значень від -1 до 8. Тому областю значень функції є всі такі значення у, що -1 ≤ у ≤ 8.
3) Для значень х таких, що -3 < х < -1, точки графіка розташовані вище осі абсцис. Тому функція набуває додатних значень при -3 < х < -1. На мал. 9 цю частину графіка позначено синім кольором. Так само вище осі абсцис знаходяться точки графіка для 1 < х < 2. Тому при 1 < х < 2 функція знову набуває додатних значень (на мал. 9 цю частину графіка також позначено синім кольором). Отже, при -3 < х < -1 або 1 < х < 2 функція набуває додатних значень.
Мал. 8
Мал. 9
4) Для значень х таких, що -1 < х < 1, точки графіка розташовані нижче осі абсцис (на мал. 9 цю частину графіка позначено червоним кольором). Тому при -1 < х < 1 функція набуває від’ємних значень.
Використовуючи графік функції, для будь-якого значення аргументу з області визначення можна знайти відповідне йому значення функції. Також за графіком можна скласти таблицю значень функції.
Приходимо до висновку: графіком можна задати функцію. Такий спосіб задання функції називають графічним. Він є зручним своєю наочністю і часто використовується для відображення явищ, які супроводжують практичну діяльність людини або відбуваються в навколишньому світі.
Приклад 4. На малюнку 10 зображено графік зміни температури повітря протягом доби, одержаний за допомогою спеціального приладу – термографа. Використовуючи цей графік, знайти: 1) якою була температура о 10 год; 2) о котрій годині температура була -4 °С.
Мал. 10
Р о з в ‘ я з а н н я. 1) Через точку осі t з координатами (10; 0) проведемо перпендикуляр до цієї осі (мал. 10). Точка перетину цього перпендикуляра з графіком температури має координати (10; 2). Отже, о 10 год температура повітря була 2 °С.
2) Через точку осі Т з координатами (0; -4) проведемо перпендикуляр до цієї осі (мал. 10). Цей перпендикуляр перетинає графік у точках (1; -4), (6; -4) і (22; -4). Отже, температура повітря -4 °С була о 1 год, о 6 год і о 22 год.
Зауважимо, що не кожна фігура на координатній площині може бути графіком деякої функції. Наприклад, фігура на малюнку 11 не є графіком жодної з функцій, оскільки існують такі значення х, яким відповідають два значення у. Наприклад, значенню х = 3 відповідають значення у = 2 і у = 5.
Мал.11
Це означає, що залежність між х і у, графік якої зображено на малюнку 11, не є функціональною через те, що існує хоча б одне значення х, якому відповідає більше, ніж одне значення у. Графічно це означає, що існує хоча б одна пряма, перпендикулярна до осі абсцис, яка перетинає дану фігуру більше, ніж в одній точці. Враховуючи, що при функціональній залежності кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції, то кожна пряма, перпендикулярна до осі абсцис, мас перетинати графік функції не більше, ніж в одній точці.
Отже, щоб фігура, яку зображено на координатній площині, була графіком деякої функції необхідно, щоб кожна пряма, перпендикулярна до осі абсцис, перетинала цю фігуру не більше, ніж в одній точці.
Дайте означення графіка функції. Як побудувати графік функції? Покажіть, як за допомогою графіка функції знайти значення функції, що відповідає даному значенню аргументу, та значення аргументу, якому відповідає дане значення функції (на прикладі одного з графіків на мал. 7, 8 і 10). Як з’ясувати, що фігура на координатній площині є графіком функції?
На малюнку 12 зображено графік функції. За графіком:
1) заповніть у зошиті таблицю:
Х | -3 | -2,5 | -2 | -1,5 | -0,5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
У |
2) знайдіть область визначення і область значень функції.
На малюнку 13 зображено графік функції. За графіком:
1) заповніть таблицю:
Х | -2 | -1,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 |
У |
2) знайдіть область визначення і область значень функції.
Мал.12
Мал. 13
1) Побудуйте графік функції у – х – 3, де -2 ≤ х ≤ 5, склавши таблицю для цілих значень аргументу.
2) Чи належить графіку функції точка А(3; 0); точка В( 1; 2)?
3) Знайдіть за графіком значення функції, якщо х = 2; х = 4.
4) Знайдіть за графіком значення аргументу, якому відповідає значення функції у = -3; у = 2.
749.
1) Побудуйте графік функції у = х + 2, де -4 ≤ х ≤ 3, склавши таблицю для цілих значень аргументу.
2) Чи належить графіку функції точка 0(2; 5), точка D(-2; 0)?
3) Знайдіть за графіком значення функції, якщо х = -3; х = 1.
4) Знайдіть за графіком значення аргументу, якому відповідає значення функції у = 1; у = 5.
Не виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:
1)у = 3х;
2) у = 2х – 4;
3) у = -;
4) у = .
Не будуючи графіка, знайдіть нулі функції:
1) у = -2х;
2) у = 6 – 2х;
3) у = ;
4) у = х + .
За графіком, зображеним на малюнку 10, знайдіть:
1) якою була температура повітря о 3 год; о 5 год; о 7 год; о 21 год;
2) о котрій годині температура повітря була -5 °С; 0 °С; 5 °С.
За графіком, зображеним на малюнку 10, знайдіть:
1) якою була температура повітря в 0 год; о 2 год; о 9 год; о 12 год; о 18 год;
2) о котрій годині температура повітря дорівнювала -6 °С; -2 °С; 1 °С; 3 °С;
3) якою була найнижча температура і о котрій годині;
4) якою була найвища температура і о котрій годині;
5) протягом якого часу температура підвищувалась;
6) протягом якого часу температура знижувалась;
7) протягом якого часу температура повітря була нижчою за 0 °С;
8) протягом якого часу температура повітря була вищою за 0 °С.
Не виконуючи побудови, з’ясуйте, чи належить графіку функції у = х2 – 3х точка:
1) (1; -2);
2) (-2; -2);
3) (0; -3);
4) (-1; 4).
Не будуючи графіка функції у = 2х + х2, з’ясуйте, чи на лежить йому точка:
1) (1; 3);
2) (-1; 3);
3) (0; 0);
4) (-2; 4).
За графіком, зображеним на малюнку 14, знайдіть:
1) значення у, якщо х = -3; -2; -0,5; 1,5; 4;
2) значення х, яким відповідає у = -2,5; -1,5; 1;
3) нулі функції;
4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;
5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.
Мал. 14
За графіком функції (мал. 15) знайдіть:
1) значення у, якщо х = -3,5; -2; -1,5; 0; 1; 2,5;
2) значення х, яким відповідає у = -1; 1; 2; 3;
3) нулі функції;
4) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень;
5) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень.
Мал.15
Ламана ABC – графік деякої функції, причому А( 3; 2), В(1; 6), С(4; 0). Побудуйте графік і знайдіть з його допомогою:
1) значення функції, які відповідають значенням х = -2; 0; 1;
2) значення аргументу, яким відповідає значення у = 2; 4; 6.
Ламана MNL є графіком деякої функції, причому М(-2; -1), N(2; 3), L(6; -1). Побудуйте графік цієї функції і знайдіть з його допомогою:
1) значення функції, які відповідають значенням х = -2; 0; 2; 5;
2) значення аргументу, яким відповідають значення у = -1; 1; 2.
Не будуючи графіка, знайдіть нулі функції:
1) у = х2 – 4х;
2) у = 16 – х2;
3) у = 2х3 + 10х.
Не будуючи графіка, знайдіть нулі функції:
1) у = х2 + 2х;
2) у = х2 – 25;
3) у = 12х – 3х2.
Побудуйте графік функції:
1) у = 8 – , де – 2 ≤ х ≤ 10;
2) у = х(4 + х), де -5 ≤ х ≤ 1.
Побудуйте графік функції:
1) у = х + , де -5 ≤ х ≤ 7;
2) у = х (4 – х), де -1 ≤ х ≤ 5.
Чи є фігура на малюнку 16 графіком деякої функції?
Мал. 16
На малюнку 17 зображено графік залежності маси m (у кг) відра з водою від об’єму V (у л) води в ньому.
Знайдіть за графіком:
1) масу порожнього відра;
2) масу відра, у якому 4 л води;
3) масу 1 л води;
4) об’єм води у відрі, якщо маса відра з водою – 8 кг.
Мал.17
Вправи для повторення
Спростіть вираз:
1) (а – 5)(а + 5) – а(а + 7);
2) m(m – 4) + (9 – m)(m + 9);
3) 2а(а – b) – (а – b)2;
4) (q + 5р)(5р – q) – (р – 5q) – 10pq.
Доведіть, що різниця між будь-яким трицифровим натуральним числом і сумою його цифр є кратною числу 9.
Цікаві задачі для учнів неледачих
Доведіть, що якщо n – натуральне число (n > 1), то число 4n – 3 не може бути квадратом натурального числа.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...