Головна ⇒ 📌Математика ⇒ СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ

СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ

РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ

&13. СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ

Перелік формул скороченого множення, які ви знаєте, у цьому параграфі доповнимо ще двома формулами. Для цього спочаткy доведемо наступну теорему.

Запам’ятайте!

Теорема 1 (про добуток суми двох одночленів і неповного квадрата їх різниці).

Добуток суми двох одночленів і неповного квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих одночленів:

(а + b)(а2 – аb + b2) = а + b3.

Д а н о: одночлени a i b.

Д о в е с т и: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3.

Д о в е д е н н я. Перетворимо вираз у лівій частині

цієї рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині:

(а + b)(a2 – ab + b2) =

= а3 – a2b + ab2 + a2b – ab2+ b3 =

= а3 + b3.

Отже, а3 + b3 = а3 + b3.

Звідси (а + b)(a2 – ab + b2) = а3 + b3, що і вимагалося довести.

Теорема 2 (про добуток різниці двох одночленів і неповного квадрата їх суми).

Добуток різниці двох одночленів і неповного квадрата їх суми дорівнює різниці кубів цих одночленів:

(а – b) (а2 + ab + b2) = а3 – b3.

Д а н о: одночлени а і b.

Д о в е с т и: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.

Д о в е д е н н я. Перетворимо вираз у лівій частині цієї рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині:

(a –

b)(a2 + ab + b2) =

= а3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 =

= a3 – b3.

Отже, a3 – b3 = a3 – b3.

Звідси (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3, що і вимагалося довести.

Загалом дістали:

(a + b)(a2 – ab + b2) = а3 + b3;

(а – b)(a2 + ab + b3) = а3 – b3.

Ці формули також є формулами скороченого множення. Вони дозволяють полегшувати перетворення виразів.

Оскільки доведені рівності є тотожностями, то їх можна застосовувати і в зворотному порядку:

А3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2);

А3 – b3 = (а – b) (а2 + аb + b2).

Ці тотожності називаються відповідно формулою суми кубів і формулою різниці кубів.

? Чи можна застосовувати формулу суми (різниці) кубів не лише до найпростіших одночленів? Так.

Задача 1. Подайте у вигляді добутку двочлен 8 – x6y15.

Розв’язання. Число 8 є кубом числа 2. Другий член x6y15 даного двочлена можна подати як куб іншого одночлена: х6y15 = (х2y5)3. Звідси випливає, що до даного двочлена можна застосувати формулу різниці кубів:

8 – x6y15 =

= 23- (x2y5)3 =

= (2 – x2y5)(22+ 2х2y5 + (х2y5)2) =

= (2- х2у5) (4 + 2х2у5 + х4у10).

Зверніть увагу:

– сума кубів двох одночленів дорівнює добутку суми цих одночленів і неповного квадрата їх різниці;

– різниця кубів двох одночленів дорівнює добутку різниці цих одночленів і неповного квадрата їх суми;

– різниця квадратів двох одночленів дорівнює добутку суми і різниці цих одночленів.

Задача 2. Знайдіть значення виразу 253+ 125.

Розв’язання. Подамо другий доданок як степінь 53 та застосуємо відповідну формулу скороченого множення:

253+ 53 = (25 + 5) ∙ (252 – 25 ∙ 5 + 52) =

= 30 ∙ 25 ∙ (25 – 5 + 1) = 30 ∙ 25 ∙ 21 =

= 630 ∙ 100 : 4 = 15 750.

Отже, 253 + 125 = 15 750.

Зверніть увагу:

Формули суми кубів і різниці кубів можна застосовувати до будь-яких цілих виразів.

Дізнайтеся більше

Натуральні числа мають багато цікавих властивостей. Проте довести їх буває складніше, ніж виявити. Розглянемо приклад. Дільниками числа 6 є числа 1, 2, 3, 6. Для кожного із цих чисел визначимо кількість їх дільників. А саме: число 1 має один дільник, число 2 має два дільники, число 3 – два дільники, число 6 – чотири дільники. Отже, дістали набір чисел: 1, 2, 2, 4. Виявляється, що сума кубів цих чисел дорівнює квадрату їх суми, тобто: 13 + 23 + 23 + 43 = (1 + 2 + 2 + 4)2. Справді:

13 + 23 + 23 + 43 = 1 + 8 + 8 + 64 = 81;

(1 +2 + 2 + 4)2 = 92 = 81.

Щоб перевірити цю властивість ще раз, візьмемо число 16. Його дільники – 1, 2, 4, 8, 16. Знайшовши кількість дільників кожного із цих чисел, отримаємо набір чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Складемо відповідні числові вирази:

13 + 23 + З3 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225;

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 152 = 225.

Отже, 13 + 23 + З3 + 43 + 53= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2.

Проте довести такий факт досить складно. Спробуйте. Можливо, ви зможете це зробити.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Сформулюйте і доведіть теорему про добуток суми двох одночленів і неповного квадрата їх різниці.

2. Запишіть формулу суми кубів.

3. Запишіть формулу різниці кубів.

4. Чому дорівнює сума кубів двох одночленів?

5. Чому дорівнює різниця кубів двох одночленів?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

645. Укажіть правильне твердження:

1) добуток різниці двох одночленів і неповного квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих одночленів;

2) добуток суми двох одночленів і повного квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих одночленів;

3) добуток суми двох одночленів і неповного квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих одночленів;

4) добуток суми двох одночленів і неповного квадрата їх суми дорівнює різниці кубів цих одночленів.

646. Чи правильно, що:

1) (а + b)(a2 + ab + b2) = а3 + b3; 3) (a + b)(a2 – ab + b2) = а3 + b3;

2) (а + b)(a2 – 2ab + b2) = а3 + b3; 4) (а – b)(a2 – ab + b2) = а3 + b3?

647. Чи правильно, що:

1) (а – b)(а2 + аb + b2) = а3 – b3; 3) (а – b)(а2- 2ab + b2) = а3 – b3;

2) (а + b)(а2 – аb + b2) = а3 – b3; 4) (а – b)(а2 – аb + b2).

648. Чи правильно, що:

1) а3 – b3 = (а + b)(а2 + аb + b2); З)а3 – b3 = (a – b)(a2 + 2ab + b2);

2) а3 – b3 = (а – b)(а2 + ab + b2); 4) а3 – b3 = (a + b)(а2 – аb + b2)?

649. Чи правильно, що:

1) а3 + b3 = (а + b)(а2 – аb + b2); 3) а3 + b3 = (а – b)(а2 – 2аb + b2);

2) а3 + b3 = (а – b)(a2 + аb + b2); 4) a3 + b3 = (а + b)(a2 + аb + b2)?

650 . Який із наступних виразів дорівнює добутку (х + у)(х2 – ху + у2):

1)x3 – y3; 2) х3 + у3; 3) х2 – у2; 4) у2 + х2?

651. Чи правильно, що (а + 2)(а2 – 2a + 4) дорівнює:

1)а2 + 4; 2)а3 + 4; 3)а3 – 8; 4)а3 + 8?

652. Чи правильно, що (t + 3)(t2 – 3t + 9) дорівнює:

1)t2 + 27; 2) t3 + 9; 3)t3 + 27; 4)t3 – 27?

653. Який із наступних виразів дорівнює виразу (2 + 3d )(4 – 6d + 9d2):

1) 23 + 3d3;

2) 23 – (3d)3;

3) 23 + (3d)3;

4) 22 – (2b)2?

654. Який із наступних виразів дорівнює добутку (m – n)(m2 + mn + n2):

1)n3 – m3;

2)m3 + n3;

3)m3 – n3;

4)m2 – n2?

655. Чи правильно, що (b – 5)(b2 + 5b + 25) дорівнює:

1) b2 – 25;

2) b3 + 125;

3) b3 – 125;

4) b3 – 25?

656. Який із наступних виразів дорівнює виразу (1 -5b)(1 + 5b + 25b2):

1) 1 + (5b)3;

2) 1 – (5b)3;

3) 1 – 5b3;

4) 1 – (5b)2?

657. Яка із наступних рівностей є тотожністю:

1) (х – 1)(х2 – х + 1) = х3 – 1; 3) (1 – х)(1 + х + х2) = 1 – х3;

2) (х – 1 )(х2 + х + 1) = х3 – 1; 4) (1 – х)( 1 – х + х2) = 1 – х3?

658. Який із наступних виразів дорівнює виразу (2 – t)(4 + 2t + t2):

1) 8 +13; 2) 8 – t3; 3) 4 + t3; 4)8 – t2?

659. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

1) (2а + 4b)(4а2 – 3аb + 16b2) = * + 64b3;

2) (5х – 3b)(25х2 + 15bх + 9b2) = 125х3 – *;

3) (-2х + 6у)(36у2 + 12ху + 4х2) = * – 8х3.

660. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (b + c)(b2 – bc + с2); 5) (x – 3m)(x2 + 3mx + 9m2);

2) (а – х)(а2 + ах + х2); 6) (2b + 3d)(9d2 – 6bd + 4b2);

3) (m + t)(m2 – mt + t2); 7) (xy + 4)(x2y2 – 4xy + 16);

4) (с + 2d)(c2 – 2cd + 4d2); 8) (0,1a – СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВB)(0,01a2 + СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВAb + СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВB2)

661. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (а – n)(а2 + an + n2);

2) (b + 5d)(b2 – 5bd + 25d2);

3) (у – 4х)(у2 + 4ху + 16х2);

4) (5mn – 2а)(25m2n2 + 10аmn + 4а2).

662. Чи правильно, що а3 – 8 дорівнює:

1) а(а – 2)(а + 2); 3)(а – 2)(а2 + а + 4);

2) (a -2)3; 4) (а – 2)(а2 + 2а + 4)?

663. Чи правильно, що 1 – 27y 3 дорівнює:

1) (1 – 3у)(1 + 9у + 9у2); 3) (1 – 3у)(1 +3у + 9у2);

2) (1 – 3у)(1 – 3y + 9y2); 4) (1 – 3у)(1 + 6у + 9у2)?

664. Розв’яжіть рівняння:

1) (1 + х)(х2 – х +1) – х3 = х;

2) (2х + 1 )(4х2 – 2х + 1) – 8х3 + х = 2;

3) х3 – (х – 3)(х2 + 3х + 9) – 3х = 0.

665. Розв’яжіть рівняння:

1) (1 – х)( 1 + х + х2) + х3 – х = 0;

2) (3х + 1)(9х2 – 3х + 1) – 27х3 + 2х = 3.

666. Чи є тотожністю дана рівність:

1) 8с3 – 1 = (2с – 1 )(с2 – 2с +1); 3) 8с3 – 1 = (2с – 1 )(4с2 + 2с + 1);

2) 8с3 – 1 = (2с – 1 )(4с2 – 2с + 1); 4) 8с3 – 1 = (2с – 1 )(4с2 + 4с + 1)?

667. Чи правильно, що 113 + 93=…:

1) (11 +9)(112 + 92) = 20 ∙ (121 + 81) = 4040;

2) (11 + 9)(112 + 11 ∙ 9 + 92) = 20 ∙ (121 + 99 + 81) = 6020;

3) (11 + 9)(112 – 2 ∙ 11 ∙ 9 + 92) = 20 ∙ (121 – 198 + 81) = 80;

4) (11 + 9)(112 – 11 ∙ 9 + 92) = 20 ∙ (121 – 99 + 81) = 2060?

У неправильних рівностях укажіть, де допущено помилку.

668. Чи правильно, що 113 – 103=…:

1) (11 – 10)(112 + 102) = 1 (121 + 100) = 221;

2) (11 – 10)(112 + 11 ∙ 10 + 102) = 1 (121 + 110 + 100) = 331;

3) (11 – 10)(112 + 2 ∙ 11 ∙ 10 + 102) = 1 (121 + 220 + 100) = 441;

4) (11 – 10)(112 – 11 ∙ 10 + 102) = 1 (121 – 110 + 100) = 111?

У неправильних рівностях укажіть, де допущено помилку.

669. Використовуючи формули суми та різниці кубів, обчисліть:

1 )73 + З3; 2)93 – 83; 3) 1,13 + 0,93; 4)0,93 – 0,83.

670. Використовуючи формули суми та різниці кубів, обчисліть:

1) 73 – 63; 2) 0,43 + 0,63.

671. Якому із наступних виразів тотожно дорівнює двочлен 8x6y12 – 27:

1) (2 – 3)(4х6y8 + 6х3y6 + 9);

2) (2х2y4 – 3)(4х4y8 + 12x2y4 + 9);

3) (2х2y4 – 3)(4х4у8 + 6х2у + 9)?

672. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

1) 8a3b3 – 125 = (* – 5)(4а2b2 + 10ab + 25);

2) 0,216a6b9 – СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВC12 = (0,6a2b3 – СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВC4)(* + 0,2a2b3c4 + СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВC8).

673. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

27а3 – 0,001с3 = (3а – *)(9а2 + 0,3ас + 0,01с2).

674. Подайте двочлен у вигляді добутку двох виразів:

1)216х3y9 – 0,125; 3)343с3 – СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ а18;

2) 27а6 – СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВB12; 4) 64m3 – 1000n12.

675. Подайте двочлен у вигляді добутку двох виразів:

1) 1000 – 0,008х6y6; 2) СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ – 8c12d21; 3)64а24 – с33.

676. Спростіть вираз:

1) (а + 2b)(а2 – 2аb + 4b2)(а3 – b3);

2) (3х – y)(3х + y)(9Х2+ 3хy + у2)(9х2 – 3ху + у2);

3) (m – 0,1n)(m3 + 0,001n3)(m + 0,1 mn + 0,01n2).

677. Спростіть вираз:

1) (b + 4с)(b2 – 4bс + 16с2)(64с3 – b3);

2) (n3 + 0,125t3)(n2 + 0,5nt + 0,25t2)(n – 0,5t).

678. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1)(1 + х)(1 – х + х2)(1 – х3), якщо х = 2;

2) (2а – 5b)(4а2 + 10аb + 25b2) – 8а3, якщо а = 12,25, b = -0,1

679. Спростіть вираз:

1) (3 + b)3 – b3; 3)343у6 – (5 + 7у2)3;

2) (5 – 4а)3 + 64а3; 4) 125х3 – (5х + 1)3.

680. Спростіть вираз:

1) (а2с2 + 3ас)3 – а6с6; 3) (0,6m3 + n)3 – 0,216m9.

2) (СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВX2y + 5) – 125;

681. Обчисліть, не використовуючи калькулятор:

1) СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ – (772 + 652);

2) СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ + 39 ∙ 21;

3) СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ – 71 ∙ 49.

682. Доведіть, що:

1)793 -293 ділиться на 25.

2) 106 – 1 ділиться на 3.

683. Доведіть, що:

1)413 + 193 ділиться на 20;

2) 543 – 243 ділиться на 60

684. Розв’яжіть рівняння:

1) (1 + 2х)(4х2 – 2х + 1) – 4х(2х2 – 5) = 21;

2) (X + 3)(X2 – 3X + 9) – х(х – 4)(х + 4) = 59;

3) (х – 6)(х2 + 6х + 36) – х(х – 7)(х + 7) = 29;

4) (х – 5)(х2 + 5х + 25) – х(х – 3)2 = 2х(3х + 8).

685. Розв’яжіть рівняння:

1) (1 + х)(х2 – х + 1) – 0,04х(25х2 – 5) = 20;

2) (х – 3)(х2 + 3х + 9) – х(х – 1 )2 = 4х(0,5х + 6,5).

686. Ребро одного куба на 2 см більше за ребро іншого куба, а сума їх об’ємів дорівнює 152 см3. Знайдіть довжини ребер обох кубів.

687. Периметр основи одного куба на 12 см більший за периметр основи іншого куба, а різниця їх об’ємів дорівнює 117 см3. Знайдіть довжини ребер обох кубів.

688. Різниця периметрів основ двох кубів дорівнює 4 см, а сума їх об’ємів – 341 см3. Знайдіть відношення довжин ребер кубів.

689. Доведіть, що сума кубів двох послідовних натуральних чисел ділиться на 4.

690. Доведіть, що:

1) 3283 +1723 ділиться на 2000;

2) 7313 – 6113 ділиться на 120.

691. Два натуральні числа при діленні на 13 дають в остачі 1 і 3 відповідно. Доведіть, що різниця кубів цих чисел ділиться на 13.

692. Доведіть, що вираз (х2 – ху + у2)3 + (х2 + ху + у2)3 набуває невід’ємних значень при будь-яких числових значеннях змінних х і у.

693. Доведіть тотожність:

(x + y + z)3- х3 – у3- z3 = 3(x + y)(y + z)(x + z).

694. Доведіть, що х3 + х2у – ху2 + у2z + у3 = 0 , якщо x + y + z = 0.

695. Обчисліть:

1) значення виразу а3 + b3, якщо а + b = -3, ab = -10;

2) значення виразу а3 – b3, якщо b – a = 5, ab = 14

696. Для зберігання овочів тато виготовив ящик, що має форму куба з ребром 1 м. Проте ящик виявився завеликим Тато вирішив зменшити кожне ребро на 30 см. На скільки зменшився об’єм ящика? Який об’єм нового ящика?

697. Для виготовлення каркасних макетів двох кубів Сергій розрахував, що йому знадобиться 1,8 м і 1,44 м проволоки (не враховуючи потреб на закріплення згинів). Яке ребро в більшого і меншого кубів? Порівняйте їх об’єми.

698. Цукор і сіль мама зберігає в ємностях, які мають форму куба з ребрами 12 см і 8 см відповідно. На скільки більше за об’ємом мама зберігає цукру аніж солі?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

699. Знайдіть значення виразу 3а2 + 10аb + 2b2.

1) якщо а = -2, b = 5; 2) якщо а = 13 , b = СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ .

700. Доведіть тотожність 5 (а – b) + 6(b – с) – 3(а – с) = 3(а – с) + (b – а) різними способами.

701. Туристична фірма у липні збільшила вартість путівки на 25 %, а в жовтні – зменшила на 10 %. Як змінилася вартість путівки?


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Related posts:

  1. СУМА Й РІЗНИЦЯ КУБІВ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння застосовувати формули суми й різниці кубів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; сприяти удосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати позитивне ставлення до навчання, віру у власні сили, цілеспрямованість; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  2. Сума та різниця кубів Урок № 47 Тема. Сума та різниця кубів Мета: домогтися свідомого засвоєння змісту формул (a ± b)(a2 ab + b2) = a3 ± b3 та виробити базові вміння застосовувати ці формули для перетворень відповідних цілих виразів у багаточлен стандартного вигляду. Тип уроку: засвоєння знань. Хід уроку I. Організаційний момент @ Учитель перевіряє готовність учнів до […]...

  3. Сума і різниця кубів 645. Твердження 3). 646. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) ні. 647. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) ні. 648. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні. 649. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) ні. 650. (х + у)(х2 – ху + у2) = х3 + у3. 651. 1) Ні; 2) […]...

  4. Сума й різниця кубів двох виразів 682. 1) Якщо b = -2, то (1 – b2)(1 + b2 + b4) = 1 – (b2)3 = 1 – b6 = 1 – (-2)6 = 1 – 64 = -63. 2) Якщо х = -1, то 2х3 + 7 – (х + 1)(х2 – х + 1) = 2х3 + 7 – (х3 […]...

  5. РІЗНИЦЯ КВАДРАТІВ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &12. РІЗНИЦЯ КВАДРАТІВ Ви вже знаєте, що таке формули скороченого множення, і вмієте користуватися формулами квадрата суми двох одночленів і квадрата різниці двох одночленів. Ще одну формулу дістанемо, довівши наступну теорему. Запам’ятайте! Теорема (про добуток суми і різниці двох одночленів). Добуток суми і різниці двох одночленів дорівнює різниці їх квадратів: (а + […]...

  6. Формули скороченого множення Математика – Алгебра Многочлен Формули скороченого множення – Формула різниці квадратів. Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів. – Формула квадрата суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів і плюс квадрат другого виразу. – Формула квадрата різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату […]...

  7. Формули скороченого множення – ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Формули скороченого множення (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 (квадрат суми); (a – b)2 = а2 – 2ab + b2 (квадрат різниці); A2 – b2 = (a + b)(a – b) (різниця квадратів); (a + b)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3 (куб суми); […]...

  8. РІЗНИЦЯ КВАДРАТІВ Цілі: – навчальна: сформувати стійкі вміння і навички застосовувати формулу різниці квадратів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння використовувати необхідну інформацію для розв’язування задач; сприяти удосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати відповідальність за результати своєї роботи, дисциплінованість, працьовитість; Тип уроку : застосування знань, умінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП […]...

  9. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ ДО РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Цілі: – навчальна: сформувати вміння розкладати многочлени на множники, використовуючи формули скороченого множення; – розвивальна: формувати вміння орієнтуватися у видозміненій ситуації; розвивати творчі здібності, кмітливість учнів; – виховна: виховувати інтерес до вивчення математики, наполегливість у досягненні мети; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  10. КВАДРАТ ДВОЧЛЕНА РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &11. КВАДРАТ ДВОЧЛЕНА Ви вже знаєте, як додавати, віднімати і множити многочлени. Як і числа, многочлени можна підносити до степеня з натуральним показником. Для цього достатньо помножити многочлен на себе стільки разів, скільки показує число в показнику степеня. В окремих випадках піднесення до степеня дозволяє спрощувати дії з многочленами. Розглянемо їх. Запам’ятайте! […]...

  11. СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ & 10. СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА Теорема 8 Сума кутів трикутника дорівняй: 180°. Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник (мал. 130). Через йот вершину С проведемо пряму КР, паралельну стороні АВ. Утворені кути АСК і ВСР позначимо цифрами 1 і 2. Тоді ∠A = ∠1, ∠B = ∠2, як внутрішні різносторонні кути при […]...

  12. Сума перших n членів арифметичної прогресії УРОК № 53 Тема. Сума перших n членів арифметичної прогресії Мета уроку: закріпити знання учнів про формули обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії, а також про її означення та властивості, вивчені на попередніх уроках; сформувати уявлення про спосіб розв’язування задач на відшукання суми послідовних членів арифметичної прогресії з n-го по т-й включно (n < […]...

  13. Сума кутів трикутника Геометрія Основні властивості найпростіших геометричних фігур Сума кутів трикутника Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює . Із цієї теореми випливають наслідки: 1. У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі (тобто в трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого ­кута). 2. Кути рівностороннього трикутника дорівнюють . Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний […]...

  14. Сума перших n членів геометричної прогресії УРОК № 57 Тема. Сума перших n членів геометричної прогресії Мета уроку: закріпити знання учнів про зміст означення та супутніх понять геометричної прогресії, а також про її основні властивості. Доповнити ці знання знанням формули n-го члена геометричної прогресії. Закріпити вміння: вирізняти геометричну прогресію серед числових послідовностей, відшукувати знаменник геометричної прогресії, перші члени геометричної прогресії, а […]...

  15. Різниця квадратів. (Добуток різниці двох виразів на їх суму) Урок № 46 Тема. Різниця квадратів (Добуток різниці двох виразів на їх суму) Мета: відпрацювати навички застосування формули (a – b)(a + b) = a2 – b2 для перетворення цілих виразів у багаточлен стандартного вигляду із застосуванням переставного та сполучного законів множення та залежностей між знаком множників та добутком цих множників; поглибити знання та вміння […]...

  16. Страхова сума Страхова сума – грошова сума, в межах якої страховик відповідно до умов страхування зобов’язаний здійснити виплати при настанні страхового випадку, а також сума, що виплачується за особисте страхування. Страховий випадок – подія, передбачена договором страхування або законодавством, яка відбулася і з настанням якої виникає обов’язок страховика сплатити страхову суму (страхове відшкодування) страхувальнику, застрахованій або іншій […]...

  17. Сума кутів трикутника Урок № 34 Тема. Сума кутів трикутника Мета: закріпити знання учнів про зміст теореми про суму кутів трикутника та наслідків з неї; працювати над засвоєнням поняття “зовнішній кут трикутника”; розглянути властивість зовнішнього кута трикутника. Сформувати вміння: – знаходити на рисунку та виконувати зображення зовнішнього кута при даній вершині трикутника; – записувати теорему про зовнішній кут […]...

  18. Потенціал і різниця потенціалів ЕЛЕКТРОДИНАМІКА Електричне поле. Електричний струм УРОК 3/3 Тема. Потенціал і різниця потенціалів Мета уроку: ознайомити учнів з енергетичною характеристикою електричного поля. Тип уроку: комбінований урок. ПЛАН УРОКУ Контроль знань 15 хв. Самостійна робота № 1 “Напруженість електричного поля. Речовина в електричному полі” Демонстрації 3 хв. 1. Вимірювання різниці потенціалів. 2. Еквіпотенціальні поверхні Вивчення нового матеріалу […]...

  19. РОБОТА В ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОМУ ПОЛІ. ПОТЕНЦІАЛ ПОЛЯ. РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ ДВОХ ТОЧОК ПОЛЯ Фізика підготовка до ЗНО комплексне видання ЕЛЕКТРОДИНАМІКА 1. ОСНОВИ ЕЛЕКТРОСТАТИКИ 1.5. РОБОТА В ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОМУ ПОЛІ. ПОТЕНЦІАЛ ПОЛЯ. РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ ДВОХ ТОЧОК ПОЛЯ Робота в електростатичному полі: – не залежить від шляху, а визначається координатами точок, між якими переноситься заряд; – у будь-якому замкненому контурі дорівнює нулю. Такі поля називаються потенціальними. Потенціал поля (φ) у даній […]...

  20. ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ У МЕТАЛАХ. КОНТАКТНА РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ. ЯВИЩЕ ПЕЛЬТЬЄ Фізика підготовка до ЗНО комплексне видання ЕЛЕКТРОДИНАМІКА 3. ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ У РІЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ 3.1. ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ У МЕТАЛАХ. КОНТАКТНА РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ. ЯВИЩЕ ПЕЛЬТЬЄ Струм у металах – упорядковане переміщення вільних електронів під дією електричного поля: Де е – заряд електрона; n – концентрація вільних електронів; – швидкість дрейфу електронів. Вольт-амперна характеристика струму в металах випливає […]...

  21. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів 1-й семестр ЕЛЕКТРОДИНАМІКА 1. Електричне поле УРОК 4/4 Тема. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів Мета уроку: ознайомити учнів з енергетичною характеристикою електростатичного поля Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу. ПЛАН УРОКУ Контроль знань 4 хв. 1. Робота з переміщення заряду в однорідному електростатичному полі. 2. Робота з переміщення заряду в полі, створеному точковим зарядом. 3. […]...

  22. Ознаки паралельності прямих. Сума кутів трикутника Урок № 40 Тема. Ознаки паралельності прямих. Сума кутів трикутника Мета: перевірити рівень засвоєння знань та вмінь, передбачених програмою, із зазначених тем. Тип уроку: контроль та корекція знань. ХІД УРОКУ I. Організаційний момент II. Перевірка домашнього завдання Зібрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою. Роботу оцінити та врахувати в тематичному балі. III. Умова контрольної роботи […]...

  23. ВЛАСТИВОСТІ ДІЙ ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ ВЛАСТИВОСТІ ДІЙ ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ A + b = b + a A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c Додавання числа до суми Додавання суми до числа Віднімання числа від суми Віднімання суми від числа (a – b) + c = (a + c) – […]...

  24. Сума кутів опуклого многокутника Урок № 43 Тема. Сума кутів опуклого многокутника Мета: закріпити знання змісту понять, вивчених на попередньому уроці. Працювати над засвоєнням учнями змісту та доведення теореми про суму кутів опуклою многокутника. Сформувати вміння: – відтворювати зміст вивченої теореми; – застосовувати теорему під час розв’язування задач на знаходження градусної міри кутів многокутників. Тип уроку: засвоєння нових знань, […]...

  25. Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 15. Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника Вправи 357. Нехай х° – третій кут трикутника, тоді 35 + 96 + х = 180, звідси х + 131 = 180; х = 180 – 131; х = 49. Отже, третій кут дорівнює 49°. Відповідь: 49°. 358. Нехай х° – […]...

  26. Добуток різниці та суми двох виразів Рівняння коренів не має; Коренем рівняння є будь-яке число; Отже, значення виразу не залежить від значення змінної. 2) (2a – b)(2a + b) + (b – с)(b + с) + (с – 2а)(с + 2а) = 4а2 – b2 + b2 – с2 + с2 – 4а2 = 0. Отже, значення виразу не залежить від […]...

  27. Розділ 2. Одночлени 5. А 1 -1,1 1/5 -0,6 А2 1 1,21 1/25 0,36 А3 1 -1,331 1/125 -2,16 12. 1) х = 0; 2) х = -8; 3) х = 0; 4) x = 2/5; 5) немає розв’язку; 6) х = -3. 13. 1) 2; 2) 1. 19. Одночлен 1.2 х2y 4 а 2m M2n2 2,8 9а […]...

  28. Віднімання раціональних чисел. Алгебраїчна сума чисел Урок № 7 5 Тема. Віднімання раціональних чисел. Алгебраїчна сума чисел Мета: базуючись на знаннях учнів про правила і властивості додавання та віднімання раціональних чисел, сформувати уявлення про зміст поняття “алгебраїчна сума” та виробити вміння застосовувати набуті знання для обчислення алгебраїчних сум. Тип уроку: застосування знань, умінь і навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання. […]...

  29. Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму УРОК 15 Тема. Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму Мета уроку: вивчення формул суми і різниці однойменних три­гонометричних функцій і формул перетворення до­бутку тригонометричних функцій у суму. Формування умінь учнів застосовувати вивчені формули для спро­щення виразів та обчислень. Обладнання. Таблиця “Формули перетворення суми в добуток (добутку в суму)”. І. […]...

  30. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутника Урок № 2 Тема. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутника Мета: сформувати уявлення про внутрішню область чотирикутника, поняття опуклого та неопуклого чотирикутників, кута опуклого чотирикутника, сусідніх та протилежних кутів опуклого чотирикутника. Сформувати первинні вміння: – відтворювати вивчені означення; – розрізняти на готових рисунках вивчені об’єкти; – зображувати вивчені об’єкти на рисунку. Сформувати усвідомлене розуміння змісту теореми […]...

  31. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники Урок № 49 Тема. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники Мета: виробити в учнів уміння розкладати різницю квадратів та суму й різницю кубів на множники із використанням відповідних формул скороченого множення. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Організаційний момент Учитель спонукає учнів до само – та взаємоперевірки готовності […]...

  32. ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ. РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ Розділ 1 Електричне поле і струм § 3. ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ. РІЗНИЦЯ ПОТЕНЦІАЛІВ На кожен заряд, розміщений в електричному полі, діє сила, під дією якої він переміщується. При русі заряду електричне поле виконує певну роботу. Роботу сил електричного поля можна розглядати як зміну потенціальної енергії, яку має кожне заряджене тіло, що перебуває в цьому […]...

  33. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 16. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів У тотожності (а – b)(а + b) = а2 – b2 поміняємо місцями ліву і праву частини. Матимемо: Цю тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Читають її так. Формулу різниці квадратів двох виразів застосовують для розкладання на множники двочлена а2 – […]...

  34. Степінь натурального числа з натуральним показником Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 7. Степінь натурального числа з натуральним показником Уже відомо, що суму, в якій всі доданки рівні між собою, можна записати коротше – у вигляді добутку. Наприклад, У математиці є спеціальний спосіб і для запису добутку, в якому всі множники рівні між собою. […]...

  35. Різниця квадратів двох виразів 533. a2 – 144 = (a – 12)(a + 12). 534. -49 + b2 = b2 – 49 = b2 – 72 = (b – 7)(b + 7). 535. 1) а2 – 9 = а2 – 32 = (а – 3)(а + 3); 2) b2 + 1 – не можна розкласти на множники; 3) 4 […]...

  36. СУМА ЕФЕКТИВНИХ ТЕМПЕРАТУР Екологія – охорона природи СУМА ЕФЕКТИВНИХ ТЕМПЕРАТУР – 1) характеристика теплового режиму за певний, напр, вегетаційний, період, яку дістають додаванням середніх добових т-р повітря за весь цей час; 2) та сама характеристика, одержана шляхом підсумовування щоденного перевищення середньодобових т-р повітря над умовним значенням нижньої температурної межі вегетації рослин або проходження ними певної фенологічної фази. За […]...

  37. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &14. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Ви вже знаєте, як розгорнути в многочлен добуток многочленів. Нерідко виникає потреба виконати обернену дію – згорнути многочлен у добуток кількох множників. Таку дію називають розкладанням многочлена на множники. Запам’ятайте! Розкласти многочлен на МНОЖНИКИ – означає перетворити його в добуток кількох виразів. Для розкладання многочлена на множники […]...

  38. Розкладання многочленів на множники способом групування Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 13. Квадрат суми і квадрат різниці Піднесемо до квадрата двочлен а + b: (а + b)2 = (а + b)(а + b) = а2 + аb + bа + b2 = а2 + 2ab + b2. Отже, Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Ця тотожність дає змогу підносити до квадрата […]...

  39. Додавання двох чисел з різними знаками Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними §39. Додавання двох чисел з різними знаками Припустимо, що в понеділок Іван заборгував Сергію 3 грн, а у вівторок повернув борг, тобто віддав Сергію 3 грн. Оскільки борг можна тлумачити як від’ємні числа, а майно – як додатні, то розрахунок між хлопцями можна подати так: -3 + 3 […]...

  40. ЗМІНА СУМИ Й РІЗНИЦІ ПРИ ЗМІНІ ЇХ КОМПОНЕНТІВ ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА 3 КЛАС ЗМІНА СУМИ Й РІЗНИЦІ ПРИ ЗМІНІ ЇХ КОМПОНЕНТІВ 67. “Розшифруй” записи. Якщо a + b = c, то (a + k) + b = c + k Якщо a – b = c, то (a + k) – b = c + k 68. Поясни за таблицею залежність зміни суми […]...

Ви зараз читаєте: СУМА І РІЗНИЦЯ КУБІВ
«
»