Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричні функції числового аргументу

Математика – Алгебра

Тригонометричні функції

Розглянемо одиничне (тригонометричне) коло, центр якого розташований у точці і радіус якого дорівнює 1 (див. рисунок).

Нехай точка P0 – це точка (1; 0). Кожну іншу точку кола можна дістати поворотом P0 навколо початку координат. Будемо вважати від’ємним напрямок повороту за годинниковою стрілкою, додатним – проти.
Точку, яку дістанемо поворотом P0 навколо початку координат

на кут

Тригонометричні функції числового аргументу

, назвемо

. Очевидно, що значення

можуть бути від

до

, причому кути, міри яких відрізняються на

, дають на колі одну й ту саму точку. Наприклад:

.
Введемо означення:

;

.
Значення

class=""/>,

залежить тільки від кута

.
Для

ці означення дають той самий результат, що й означення за допомогою елементів прямокутного трикутника.
Якщо означення

уведені таким чином, то очевидно, що ми дістали числові функції. Дійсно, кожному значенню

відповідає єдине значення

. Також кожному дійсному значенню

, відповідає єдине значення

і кожному значенню

, відповідає єдине значення

.
Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці

(див. рисунок нижче). Вона називається Лінією тангенсів, тому що ордината точки перетину прямої

із прямою t дорівнює тангенсу кута

.
Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці

(див. рисунок на с. 73). Для довільного числа

, абсциса точки перетину прямої

з прямою q дорівнює котангенсу кута

. Тому пряма q називається Лінією котангенсів.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Основою для виведення решти формул є Формули додавання:
;
;
;
;
;
.

Формули зведення

Формули зведення допомагають виразити значення тригонометричних функцій кутів вигляду , ,, через функції кута (табл. 1). Відповідні формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами:
1) якщо аргумент функції має вигляд або , назва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд , , назва функції не змінюється;
2) перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо – кут у І чверті.
Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.