Властивості множення
Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ
§ 6. Властивості множення
На рисунку 1 (див. с. 47) зображено ящик, що містить 6 рядів по 5 пакетів соку в кожному. Загальну кількість пакетів можна обчислити, помноживши 6 на
5, або 5 на 6. Результати однакові: 6 ∙ 5 = 30 і 5 ∙ 6 = = 30. Отже, 6 ∙ 5 = 5 ∙ 6. У буквеному вигляді:
A ∙ b = b ∙ a.
Тут справджується переставна властивість множення:
Від перестановки множників добуток не змінюється.
Нехай у кожному пакеті, зображеному на рисунку 1, 2 л соку. Як обчислити загальну кількість
Рис. 1
1-й спосіб. Відомо, що пакетів усього 5 ∙ 6, і в кожному – по 2 л соку. Тому всього в ящику 2 ∙ (5 ∙ 6) л соку.
2-й спосіб. В одному ряду 5 пакетів, а соку в кожному 2 л, тому всього в цих 5 пакетах соку (2 ∙ 5) л. Однак рядів 6, тому всього в ящику: (2 ∙ 5) ∙ 6 л соку.
Отже, (2 ∙ 5) ∙ 6 = 2 ∙ (5 ∙ 6). У буквеному вигляді:
(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с).
Маємо сполучну властивість множення:
Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.
З переставної і сполучної властивостей множення випливає, що при множенні кількох
Приклади:
1) 14 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 20 = (14 ∙ 7) ∙ (5 ∙ 20) = 98 ∙ 100 = 9800;
2) 1 200 ∙ 30 000 = 12 ∙ 100 ∙ 3 ∙ 10 000 = (12 ∙ 3) х
Х (100 ∙ 10 000) = 36 ∙ 1 000 000 = 36 000 000.
Переставну та сполучну властивості множення можна використовувати і при спрощенні виразів.
Приклади:
1) 7 ∙ х ∙ 9 = (7 ∙ 9) ∙ х = 63 ∙ х = 63х;
2) 8 ∙ a ∙ 7 ∙ b = (8 ∙ 7) ∙ a ∙ b = 56ab.
На використанні переставної і сполучної властивостей множення грунтується і наступне правило
Множення натурального числа на розрядну одиницю, відоме з молодших класів.
Щоб помножити натуральне число на розрядну одиницю (10, 100, 1000…), треба приписати справа до цього числа стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці.
Приклади:
54 ∙ 100 = 5400, 237 ∙ 1000 = 237 000,
3809 ∙ 10 000 = 38 090 000.
Повернемося до рисунка 1. Нехай маємо 4 ряди пакетів з яблучним соком і 2 – з апельсиновим. Тоді кількість пакетів можна обчислити двома шляхами: (4 + 2) ∙ 5 і 4 ∙ 5 + 2 ∙ 5.
В обох випадках загальна кількість дорівнюватиме 30. Запишемо це в буквеному вигляді:
(а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с.
Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно додавання:
J щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і ці добутки додати.
Цей закон правильний для будь-якої кількості доданків.
(а + b + х) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с + x ∙ с;
(а + b + х + у) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с + х ∙ с + у ∙ с тощо.
Однакові значення мають також вирази (7 – 2) ∙ 5 і 7 ∙ 5 – 2 ∙ 5, оскільки (7 – 2) ∙ 5 = 5 ∙ 5 = 25 і 7 ∙ 5 – 2 ∙ 5 = 35 – 10 = 25.
Тому розподільну властивість можна поширити на віднімання. У буквеному вигляді його записують так:
(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с.
Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно віднімання:
Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число і від першого добутку відняти другий.
Розподільну властивість множення можна використовувати для обчислень та спрощення виразів.
Приклад 1. Обчисли:
А) 49 
113 + 51 ∙ 113;
Б) 42 ∙ 125 – 22 ∙ 125;
В) 37 ∙ 312 + 42 ∙ 312 – 69 ∙ 312;
Г) 97 ∙ 18.
Розв’язання.
А) 49 ∙ 113 + 51 ∙ 113 = (49 + 51) ∙ 113 = 100 ∙ 113 = 11 300;
Б) 42 ∙ 125 – 22 ∙ 125 = (42 – 22) ∙ 125 = 20 ∙ 125 = 2500;
В) 37 ∙ 312 + 42 ∙ 312 – 69 ∙ 312 = (37 + 42 – 69) х х 312 = 10∙312 = 3120;
Г) 97 ∙ 18 = (100 – 3) ∙ 18 = 100 ∙ 18 – 3 ∙ 18 = 1800 – 54 = 1746.
Приклад 2. Спрости вираз:
А) 3х + 9х;
Б) 8а + 3а – 2а;
В) 7х – 2х + х – 8.
Розв’язання. а) 3х + 9х = (3 + 9)х = 12х;
Б) 8а + 3а – 2а = (8 + 3 – 2) а = 9а;
В) 7х – 2х + x – 8 = 7х – 2х + 1х – 8 = = (7 – 2 + 1)x – 8 = 6х – 8.
Використовуючи розподільну властивість множення для виразів (а + b) ∙ с і (а – b) ∙ с, отримаємо вираз, що не містить дужок. Кажуть: розкрили дужки.
Приклад 3. Розкрий дужки:
А) 5(х + 7);
Б) 3(2b – 13).
Розв’язання.
А) 5(х + 7) = 5 ∙ x + 5 ∙ 7 = 5х + 35;
Б) 3(2b – 13) = 3 ∙ 2b – 3 ∙ 13 = 6b – 39.
226. Обчисли (усно):
1) 572 ∙ 10; 2) 100 ∙ 7982; 3) 1000 ∙ 52;
4) 8 ∙ 7 ∙ 5; 5) 7 ∙ 20 ∙ 5; 6) 4 ∙ 8 ∙ 25;
7) 43 ∙ 10 ∙ 2; 8) 5 ∙ 9 ∙ 2 ∙ 7; 9) 10 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 50.
Середній рівень
227. Обчисли зручним способом:
1) 4 ∙ 89 ∙ 25; 2) 2 ∙ 472∙ 5; 3) 5 ∙ 72 ∙ 4;
4) 50 ∙ 15 ∙ 2; 5) 125 ∙ 14 ∙ 8; 6) 8 ∙ 37 ∙ 25.
228. Обчисли зручним способом:
1) 25 ∙ 17 ∙ 4; 2) 5 ∙ 137 ∙ 20; 3) 6 ∙ 5 ∙ 39;
4) 500 ∙ 19 ∙ 2; 5) 8 ∙ 115 ∙ 125; 6) 80 ∙113 ∙ 5.
229. Спрости вираз:
1) 6 ∙ 7 ∙ b; 2) 8 ∙ 9а; 3) 3 ∙ a ∙ 4 ∙ b;
4) 5x ∙ 7у; 5) 3 ∙ m ∙ 2а ∙ 7 ∙ t; 6) 2а ∙ 3z ∙ 4n.
230. Спрости вираз:
1) 8 ∙ 7 ∙ х; 2) 17х ∙ 2; 3) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ m;
4) 9а ∙ 11b; 5) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ 8 ∙ а ∙ m; 6) 10b ∙ 20с ∙ 17p.
231. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 387 ∙ 73 + 387 ∙ 27; 2) 842 ∙ 39 + 158 ∙ 39;
3) 18 ∙ 918 – 18 ∙ 818; 4) 7292 ∙ 27 – 7292 ∙ 26.
232. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 452 ∙ 499 + 452 ∙ 501;
2) 83 ∙ 47 + 917 ∙ 47;
3) 192 ∙ 2005 – 192 ∙ 1005;
4) 4592 ∙ 217 – 4592 ∙ 216.
233. Спрости вираз:
1) 4m + 5m; 2) 9х – 5х;
3) 10с – 2с; 4) 7a + 8a – 5а.
234. Спрости вираз:
1) 9a + 2a; 2) 15b – 3b;
3) 4х + 2х – 3х; 4) 10t – 2t – 5t.
235. Розкрий дужки:
1) 5 ∙ (х + 2); 2) (7 – а) ∙ 9;
3) 2 ∙ (3b + 8с); 4) (5а – 6k) ∙ 2.
236. Розкрий дужки:
1) 7 ∙ (a – 3); 2) (b + 7) ∙ 11;
3) 15(2х + 3у); 4) (7m – 2n) ∙ 20.
Щз Достатній рівень
237. Спрости вираз 5х ∙ 20 та знайди його значення, якщо х = 37.
238. Спрости вираз 7а ∙ 18b та знайди його значення, якщо a = 5, b = 100.
239. Спрости вираз і знайди його значення:
1) 125х ∙ 4, якщо x = 27;
2) 4р ∙ 25k, якщо р = 20, k = 113.
240. Обчисли зручним способом:
1) 24 ∙ 25; 2) 28 ∙ 125; 3) 15 ∙ 120; 4) 32 ∙ 17 ∙ 125.
Розв’язання.
1) 24 ∙ 25 = 6 ∙ 4 ∙ 25 = 6 ∙ (4 ∙ 25) = 6∙100 = 600.
241. Обчисли зручним способом:
1) 48 ∙ 125; 2) 400 ∙ 25;
3) 140 ∙ 35; 4) 50 ∙ 32 ∙ 5.
242. Порівняй:
1) 8 ∙ 23 ∙ 182 і 8 ∙ 22 ∙ 182;
2) 42 ∙ 72 і 6 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 10;
3) 30 ∙ 92 і 5 ∙ 92 ∙ 6;
4) 28 ∙ 2 ∙ 9 і 4 ∙ 14 ∙ 9.
243. Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:
1) 17а + 25а – 32а, якщо а = 12;
2) 37b + b – 8b, якщо b = 1001;
3) 20х + 7х – х – 21х, якщо x = 214;
4) 4m + 2m – 3m + 9, якщо m = 142.
244. Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:
1) 29m + 31m – 40m, якщо m = 211;
2) 15a – a + 10a, якщо a = 40;
3) 30х + 31x + 32х – 90х, якщо x = 140;
4) 10 + 5a + 6a – a, якщо a = 11.
245. Обчисли значення виразу найзручнішим способом:
1) 4972 ∙ 17 + 28 ∙ 4972 – 35 ∙ 4972;
2) 14 592 + 14 592 ∙ 2 + 14 592 ∙ 3 + 14 592 ∙ 4;
3) 5983 ∙ 14 + 5983 ∙ 11 – 4983 ∙ 25;
4) 7182 ∙ 164 – (6182 ∙ 127 + 6182 ∙ 37).
246. Обчисли, використовуючи розподільну властивість:
1) 102 ∙ 13; 2) 997 ∙ 15;
3) 71 ∙ 80; 4) 88 ∙ 600.
247. Обчисли, використовуючи розподільну властивість:
1) 99 ∙ 17; 2) 1002 ∙ 21;
3) 82 ∙ 60; 4) 59 ∙ 700.
Високий рівень
248. На складі готової продукції сорочки упаковували в коробки по 25 штук у кожну. Коробки розмістили в х рядів по у коробок у кожному ряді. Запиши вираз для визначення кількості всіх сорочок на складі. Обчисли значення цього виразу, якщо x = 26, у = 40.
249. У школі чотири п’ятих класи. У кожному класі навчається а учнів. Кожний з них має по b підручників. Склади вираз для обчислення кількості підручників в усіх п’ятих класах. Обчисли цю кількість, якщо а = 25, b = 17.
250. Як зміниться добуток двох чисел, якщо:
1) один множник збільшити в 3 рази;
2) один множник збільшити в 5 разів, а другий – у 4 рази.
Розв’язання. 2) Розглянемо добуток a ∙ b. Після збільшення множників маємо:
(5а) ∙ (4b) = (5 ∙ 4) ∙ (а ∙ b) = 20ab.
Отже, добуток збільшився у 20 разів.
251. Не виконуючи дій, порівняй вирази:
1) 11(752 + 979) і 11 ∙ 752 + 10 ∙ 979;
2)(7372 – 599)∙5 і 7372 ∙ 4 – 599 ∙ 5.
Вправи для повторення
252. Запиши числа в порядку спадання та знайди ім’я жінки – однієї із засновників Києва.
(І) 325 259; (Ь) 325 099; (Л) 327 429;
(Б) 325 529; (Д) 325 159; (И) 327 425.
253. Фермер продав першого дня 1 т 250 кг картоплі, а другого – 1 т 150 кг картоплі і отримав за два дні виручку 6720 грн. За якою ціною продавав фермер картоплю?
254. У наборі 5, 7, □ одна цифра загубилася. Знайди її, якщо сума двох найменших трицифрових чисел, що складені із цифр цього набору (цифри в числі не можуть повторюватися), дорівнює 1165.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...