Головна ⇒ 📌Математика ⇒ КВАДРАТ ДВОЧЛЕНА

КВАДРАТ ДВОЧЛЕНА

РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ

&11. КВАДРАТ ДВОЧЛЕНА

Ви вже знаєте, як додавати, віднімати і множити многочлени. Як і числа, многочлени можна підносити до степеня з натуральним показником. Для цього достатньо помножити многочлен на себе стільки разів, скільки показує число в показнику степеня. В окремих випадках піднесення до степеня дозволяє спрощувати дії з многочленами. Розглянемо їх.

Запам’ятайте!

Теорема 1 (про квадрат суми двох одночленів). Квадрат суми двох одночленів дорівнює сумі квадратів цих одночленів та їх подвоєного

добутку:

(а + b)2 = а2 + b2 + 2ab.

Д а н о: одночлени a і b.

Д о в е с т и: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

Д о в е д е н н я. Перетворимо вираз у лівій частині цієї рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині:

(a + b)2 =

= (а + b) ∙ (а + b) =

= a2 + ab + ab + b2 =

= a2 + b2 + 2ab.

Отже, a2+ b2+ 2ab – а2 + b2+ 2ab.

Звідси (а + b)2 = а2 + b2 + 2ab, що і вимагалося довести.

Запам’ятайте!

Теорема 2 (про квадрат різниці двох одночленів). Квадрат різниці двох одночленів дорівнює сумі квадратів цих одночленів без їх подвоєного добутку:

(а – b)2 = а2 + b2 – 2ab.

Д а н о: одночлени а і b.

Д о в е с т и: (а – b)2= а2 + b2 – 2ab.

Д о в е д е н н я. Перетворимо

вираз у лівій частині цієї рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині:

(а – b)2 =

= (а – b) ∙ (а – b) =

= a2 – ab – ab + b2 =

= а2 + b2 – 2ab.

Отже, а2 + b2 – 2ab – а2 + b2 – 2ab.

Звідси (а – b)2 = а2 + b2 – 2ab, що і вимагалося довести.

Зверніть увагу:

Щоб піднести до квадрата двочлен, що є сумою (різницею) одночленів:

1) піднесіть до квадрата кожен член двочлена;

2) додайте ці квадрати;

3) додайте (відніміть) подвоєний добуток членів двочлена.

Доведені тотожності є формулами скороченого множення. Знаючи їх, не треба кожного разу множити двочлен сам на себе. Щоб знайти квадрат двочлена (суми або різниці), достатньо застосувати відповідну формулу. Ці формули мають назви “квадрат суми” і “квадрат різниці” відповідно. Ви можете зустріти їх і в такому вигляді:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

(а – b)2 = а2 – 2аb + b2.

Оскільки ці рівності є тотожностями, то їх можна застосовувати й у зворотному порядку, наприклад, а2 + 2аb + b2 = = (а + b)2, а2 – 2ab + b2 – (а – b)2.

Оскільки тричлен a3 + 2ab + b2 можна згорнути у квадрат двочлена, то такий тричлен називають повним квадратом двочлена.

? Чи є повним квадратом двочлена тричлен а2 – 2ab + b2? Так. Оскільки його можна згорнути у квадрат двочлена: (а – b)2.

Задача 1. Спростіть вираз (a + b)2 – ab.

Розв’язання. Щоб спростити даний вираз, знайдемо квадрат суми за відповідною формулою скороченого множення і в отриманому многочлені зведемо подібні доданки:

(а + b)2 – ab =

=а2 + 2ab + b2 – ab =

= а2 + ab + b2.

Розв’язавши задачу, ми отримали тричлен а2 + ab + b2, схожий на повний квадрат. Але він не є повним квадратом, оскільки a2 + ab + b2 = (a + b)2- ab. Міркуючи аналогічно, дістанемо: a2 – ab + b2 = (a – b)2+ ab. Тричлени а2 + ab + b2 і а2 – аb + b2 відповідно називають неповним квадратом суми і неповним квадратом різниці. Вони використовуються в інших формулах скороченого множення.

Зверніть увагу:

– повний квадрат двочлена можна згорнути у квадрат двочлена;

– неповний квадрат двочлена не можна згорнути у квадрат двочлена.

Задача 2. Знайдіть значення виразу 972.

Розв’язання. Подамо основу степеня як різницю 100 – 3 та застосуємо відповідну формулу скороченого множення:

(100 – 3)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 3 + 32 = 10000 – 600 + 9 = 9409.

Отже, 972 = 9409.

Формули квадрата суми і квадрата різниці можна застосовувати до будь-яких цілих виразів.

Дізнайтеся більше

До формул скороченого множення відносять ще дві формули – куба суми двох одночленів та куба різниці двох одночленів. Формулу куба суми двох одночленів можна отримати, подавши куб двочлена як добуток другого і першого степенів даного двочлена та розгорнувши цей добуток у многочлен:

(а + b)3 = (а + b)2 ∙ (а + b) = (a2 + 2ab + b2) ∙ (а + b) =

= а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2а + b3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3.

Користуючись попередньою формулою, знайдемо куб різниці двох одночленів:

(a – b)3 = (а + (-b))3 = a3 – 3а2b + 3ab2 – b3.

Отримали формули куба суми та куба різниці:

(а + b)а = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3,

(а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Сформулюйте і доведіть теорему про квадрат суми двох одночленів; квадрат різниці двох одночленів.

2. Які тотожності називають формулами скороченого множення?

3. Запишіть формули для обчислення квадрата суми та квадрата різниці.

4. Який вираз називається повним квадратом; неповним квадратом?

5. Чи можна згорнути повний квадрат у квадрат двочлена? А неповний квадрат?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

515. Укажіть правильне твердження:

1) квадрат суми двох одночленів дорівнює сумі цих одночленів та їх добутку;

2) квадрат суми двох одночленів дорівнює різниці квадратів цих

Одночленів та їх подвоєного добутку;

3) квадрат різниці двох одночленів дорівнює різниці квадратів цих одночленів;

4) квадрат різниці двох одночленів дорівнює різниці суми квадратів цих одночленів та їх подвоєного добутку.

516. Чи правильно, що:

1) (a + b)2 = a2 + b2 + 2b; 3) (а + b)2 = a2 + b2 + 4аb;

2) (а + b)2 = а2 + b2 + ab; 4) (а + b)2 = а2 + b2 – 2аb?

517. Укажіть правильну формулу:

1) (а – b)2 = a2 – 2ab – b2; 3) (a – b)2=a2- аb + b2;

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2; 4) (a – b)2 = а2 – ab – b2.

518. Чи єтотожністю рівність:

1) a2 – ab + b2 = (a – b)2; 3) а2 + ab + b2 = (a + b)2;

2) a2 + 2ab + 2b2= (a + b)2; 4) а2 – 2аb + b2 = (а – b)2?

519. Який із наступних виразів дорівнює квадрату двочлена х + у:

1) х2 + у2 + ху; 3) 2х2 + 2y2 + 2ху;

2) х2 + у2 + 2ху; 4) х2 + 2у + ху?

520. Яка із наступних рівностей є тотожністю:

1) х2 – z2 + 2хz = (х – z)2; 3) х2 + z2 – 2хz = (х – z)2;

2) х2 – 4хz – z2 = (х – z)2; 4) х2 – 2х2 – z2 = (х – z)2?

521. Чи правильно, що 16 + 8d + d2 дорівнює:

1) (4 + 4d)2;

2) (4 + d)2;

3) (16 + d)2;

4) (4 + 2d)2?

522. Чи правильно, що (х – 3)2 дорівнює:

1) х2 + 9 – 3х; 3) х2 + 9 – 6х;

2) х2 – 9 – 6х; 4) х2 + 3 – 3х?

523. Чи правильно, що 25 – 10с + с2 дорівнює:

1) (5 – 5c)2;

2) (5 + с)2;

3) (5 – с)2;

4) (с – 5)2?

524. 392 = (30 + 9)2. Чи правильно, що 392 дорівнює:

1)302 + 92 – 2 ∙ 30 ∙ 9; 3) 30 + 9 – 30 ∙ 9;

2) 302 – 92 – 30 ∙ 9; 4) 302 + 92 + 2 ∙ 30 ∙ 9?

525. Укажіть правильну рівність:

1) 62 + 52 – 2 ∙ 6 ∙ 5= 112; 3) 62 + 52 – 2 ∙ 6 ∙ 5 = 302;

2) 62 + 52 – 2 ∙ 6 ∙ 5 = 12; 4) 62 + 52 – 2 ∙ 6 ∙ 5 = 222.

526. Яка з рівностей є тотожністю:

1) 212 = 202 – 2 ∙ 20 ∙ 1 + 12; 3) 212 = 202 + 20 – 1 + 12;

2) 212 = 202 + 2 ∙ 20 ∙ 1 + 12; 4) 212 = 212 + 2 ∙ 21 ∙ 1 + 12?

527. Чи правильно, що 16 + 4а2 + 16а дорівнює:

1) (4 + 4а)2;

2)(2 + 2а)2;

3)(16+2а)2;

4) (4 + 2а)2?

528. Який із наступних виразів дорівнює (2х + 5у)2:

1) 4х2 + 10ху + 25у2;

2) 2х2 + 10ху + 5y2;

3) 4х2 + 20ху + 25у2;

4) 4х2 + 40ху + 25у2?

529. Оберіть правильну рівність:

1) (2ас + 5)2 = 4а2с2 + 10ас + 25; 3) (2ас + 5)2 = 20ас + 25 + 4а2с2;

2) (2 ас + 5)2 = 2а2с2 + 25 + 20ас; 4) (2ас + 5)2 = 20ас + 4а2с2+ 5.

530. Піднесіть до квадрата двочлен-суму:

1) 3x + 4; 2) 6а + 4; 3)5у + 4; 4)2х + 5.

531. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1) (2х + 3у)2; 3) (Зd + 8с)2;

2) (7а + 5с)2; 4) (9х + 2b)2.

532. Піднесіть до квадрата двочлен-різницю:

1)2 – 3х; 2) 6b – 5; 3) 7у – 1; 4)8х – 3.

533. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1)(4а – 5у)2; 3) (4d – 7a)2;

2) (10b – 3с)2; 4) (3х – 8у)2.

534. Піднесіть до квадрата вираз:

1) 0,2х + 0,5у; 3) 0,1а – 0,7d;

2) 0,3b + 2с; 4) 0,5b – 8с.

535. Піднесіть до квадрата вираз:

1) 0,3у + 0,4а; 3)0,7а – 0,5b;

2) 0,2d + 3с; 4)0,4х – 6с.

536. Використовуючи формулу квадрата суми, обчисліть:

1)512; 2) 622; 3) 832; 4) 1112

537. Використовуючи формулу квадрата різниці, обчисліть:

1)392; 2) 592; 3) 182; 4) 1072.

538. Використовуючи формулу квадрата суми та квадрата різниці, обчисліть:

1)282; 2) 422; 3)992; 4) 1052.

539. Тричлен 16х2 – 24х + 9 згорнули у квадрат двочлена. Який вираз отримали:

1)4х + 3; 2)4х – 3; 3)(4х + 3)2; 4)(4х – 3)2?

540. Чи можна згорнути у квадрат двочлена вираз:

1) 9х2 + 6ху – у2; 3)9х2 – 6ху + у2;

2) 9х2 + 6ху + у2; 4)9х2 – 6ху – у2?

541. Чи можна згорнути у квадрат двочлена вираз:

1) t2 + 10t +25;

2)4х2 + 4ху + у2;

3) 4с2 – 8с + 4?

542. Даний тричлен згорніть у квадрат суми двох одночленів:

1) 1 + 4a + 4a2; 3) b2 + 10b + 25;

2) 4 + 12a + 9а2; 4) b2 + 8b + 16.

543 . Даний тричлен згорніть у квадрат різниці двох одночленів:

1)9 – 6а + а2; 3) 4b2 – 20b + 25;

2) 49 – 14а + а2; 4) 9b2 – 24b + 16.

544. Даний тричлен згорніть у квадрат двочлена:

1) 4 + 4х + х2; 3) 36b2 + 24b + 4;

2) 81 – 18у + у2; 4) 64с2 – 80с + 25.

545. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

1) (2а + 3b)2 = * + 12ab + 9b2; 3) (4с + 5 d)2 = 16с2+ 40cd + *;

2) (3а – b)2 = 9а2 – * + b2; 4) (6d – 4c)2 = 36d2 – * + 16с2.

546. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

1) (* + 6b)2 = а2 + 12аb + 36b2; 3) (* + 8d)2 = 16с2 + 64сd + 64d2;

2) (3а – *)2 = 9а2 – 12аb + 4b2; 4) (* – 4c)2 = 9d2 – 24cd + 16с2.

547. Уставте замість зірочки такий одночлен, щоб утворилася тотожність:

1) (а + 5b)2 = * + 10аb + 25b2; 3) (* – b)2 = 64а2 – 16аb + b2,

2) (2с + 9d)2 = 4c2 + 36cd + *; 4) (2d – *)2 = 4d2 – 28cd + 49 с2

548. Спростіть вираз:

1) (5 + b)2 – 10b; 7) (6 + у)2 – у(у – 6);

2) (4 – 2b)2 + 16b; 8) (4x + 1 )2 + 2х(3 – 8х);

3) (5 +7у)2 – 70у; 9) (0,5 + b)2 – b(b + 1);

4) (5х + 1)2 – 10х; 10) (0,3 – 0,3а )2 – 0,9(1 – 0,2а);

5) (4 + b)2 – 4b + 2); 11) (0,1 + у)2 – 0,2(у + 0,05);

6) (3 – 2а)2 – 3(3 – 2а); 12)(0,5х + 10)2 – 2х(5 + 0,125х).

549. Виконайте вказані дії:

1) (0,3 + х)2 – х(х + 0,6); 3) (0,4у + 2)2 – 0,8(2y + 5);

2) (0,5d – 0,1)2 – 0,1(0,1 – d); 4) (5а +0,7)2 – 5а(5а + 1,4).

550. Розв’яжіть рівняння:

1) (3 + х)2 – х2 = 0; 5) (3х + 1 )2 – х(9х + 1) = 0;

2) (2х – 1)2 – 4х2 = 0; 6) (4х – 1)2 – 4х(4х + 1) = 1;

3) х2 – (5 – х)2 = 0; 7) (5 + х)2 – х(х + 5) = 0;

4) 9х2 – (4 -3х)2 = 0. 8) (7 – 3х)2 = 3х(3х -14).

551. Розв’яжіть рівняння:

1) (4 + Х)2 = Х2; 3) (6 + х)2 = х(х + 12);

2) (3х – 2)2 = 9х2; 4) (7 – 2х)2 – 4х(х – 8) = 1.

552. Доведіть тотожність:

1) (х + у)2 = (-x – у)2; 3) (2х + 4у)2 = 4(-х – 2у)2;

2) (х – у)2 = (у – х)2; 4) (3x – 6y)2 = 9(2y – x)2.

553. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1)(-x + 2y)2; 3) (-5a – 6b)2;

2)(-3y – 4x)2; 4) (-2xy + 7)2.

554. Піднесіть до квадрата вираз:

1) 10×2 + 2х; 3)-5а3b2 + 6b3;

2) -3у3 – 4у2; 4) -2сd2 + 7с4.

555. Піднесіть до квадрата вираз:

1) 3с2 + 5с; 3) -3c2d – 2d2;

2)-4у3 – у2; 4) -2ab4 + 6a5.

556. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1) 3х(-0,2х + 2 у)2; 3) 6ab(-2a + 0,3b)2;

2) 4y2(5y2 + 4×2)2; 4) 10y3(8x + 0,01y)2.

557. Спростіть вираз:

1) (-0,5а – 6b)2(2a + 3b); 3) (-5с – 9d)(c + 3d)2;

2)(-0,02ху + 10)2(5x + 0,01y); 4) (-0,1ab + 5)(15a + 0,2b)2

558. Спростіть вираз:

1) 10х (-0,01 х + 4)2; 3) (-0,5хy + 20)2(6х + 0,1y);

2) 40с2(-0,5с2 + 4)2; 4) (-3с – 0,7d)(5c + 0,4d)2.

559. Доведіть тотожність:

1) (a + b)2 – (-a + b)2 = 4ab;

2) (а – b)2 – (-а + b)2 = 0;

3) (а + b)2 + (-а + b)2 = 2а2 + 2b2.

560. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (10 + х)(-0,01х + 1) + (1 + 0,1 х)2, якщо х = 5;

2) (4х + 1 )2 + 2х(-4 – 8х), якщо х = 24

561. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (0,5 + 2х)2 – (-0,5 + 2х)2, якщо х = 2,5;

2) (2х + 9)2 – х(41 + 4х), якщо х = 10.

562. Розв’яжіть рівняння:

1) (4 + х)2 = (х – 2)(х – 6); 3) (2х – 1 )2 = (2х – 0,5)(2х – 2);

2) (2х + 3)2 = (2х + 1)(2х + 6); 4) (7 – х)2 = (х – 8)(х – 5).

563. Розв’яжіть рівняння:

1) (-6 + 3х)2 = (-9х – 3)(-х + 2);

2) (-x + 5)2 = (-0,2х +1)(-5х + 15);

3) (8х – 2)2 = (-32х -10)(-2х + 0,5);

4) (9 – 2х)2 = (4х – 9)(х – 3).

564. Використовуючи формули квадрата суми і квадрата різниці, обчисліть суму квадратів чисел:

1)55 і 45; 2) 43 і 41; 3)64 і 24; 4) 199 і 201.

565. Сторону квадрата зменшили на 3 см, при цьому його площа зменшилася на 27 см2. Знайдіть сторону початкового квадрата.

566. Периметр квадрата збільшили на 16 см, при цьому його площа збільшилася на 40 см2. Знайдіть сторону початкового квадрата.

567. Сторону квадрата збільшили на 7 см, при цьому його площа збільшилася на 231 см2. Знайдіть сторону початкового квадрата.

568. Виведіть формулу квадрата тричлена а + b + с.

569. Піднесіть до квадрата вираз:

1)а – b + с; 3) а – b – с; 5)-а – b + с;

2)а + b – с; 4) – а + b + с; 6)-а – b – с.

570. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1) (а – 2b + 4)2; 3)(-x + 4y + 5)2;

2) (3 + 4b – с)2, 4) (-2b – 3b2 + 1 )2.

571. Подайте у вигляді многочлена вираз:

1) (x -2y + 3)2; 3)(-3x + 4y + 2)2;

2) (5 + b – 3с)2; 4)(-2с2 – 3с + 4)2.

572. Доведіть тотожність: (а2 + b2)(х2 + у2) = (ах + by)2+ (aу – bх)2.

573. Виведіть формулу квадрата многочлена a + b + c + d.

574. Піднесіть до квадрата вираз:

1) a – b – c – d; 3) а + b – с + d;

2) – a + b – c – d; 4 )-a + b – c + d.

575. Піднесіть до квадрата вираз:

1) (х – у – z – 1)2; 3) (4х + 5 + 6z -2t)2;

2) (2x + 3 + 5а + 4у)2; 4) (3с – 2 – 5с2 + 4с3)2.

576. Сторони трьох квадратів є послідовними натуральними числами. Різниця суми площ першого і другого квадратів та площі третього квадрата дорівнює 12. Знайдіть сторони цих квадратів.

577. Периметри трьох квадратів є послідовними парними натуральними числами. Різниця суми площ першого і третього квадратів та площі другого квадрата дорівнює 6,75. Знайдіть сторони цих квадратів.

578. Дано три послідовні непарні натуральні числа. Відомо, що квадрат їх суми більший за подвоєну суму квадратів цих чисел на 227. Знайдіть ці числа.

579. Натуральне число при діленні на 9 дає в остачі 3 Доведіть, що квадрат цього числа ділиться на 9.

580. Деяке натуральне число при діленні на 5 дає в остачі 1, а інше натуральне число при діленні на 5 дає в остачі 2. Доведіть, що сума квадратів цих чисел ділиться на 5.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

581. Восени Марія Іванівна вирішила зменшити ділянку городу квадратної форми, на якій вона садила картоплю. Кожну сторону городу вона зменшила на 1 м, при цьому його площа зменшилася на 9 м2. Скільки картоплі потрібно приготувати Марії Іванівні навесні, якщо для засаджування 1 м2 городу потрібно 4 кг картоплі?

582. Чи є рівними площі незафарбованої частини фігур на малюнку 7?