Вектор електричної індукції. Теорема Остроградського-Гаусса
ФІЗИКА
Частина 3 ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ
Розділ 8 ЕЛЕКТРИКА
8.5. Вектор електричної індукції. Теорема Остроградського-Гаусса
Припустімо, що точковий заряд q міститься в центрі сферичного повітряного пухирця, який перебуває в певному середовищі, наприклад у маслі, діелектрична проникність якого ε=2. Напруженість електричного поля поблизу межі поділу повітря – масло на відстані r від заряду, меншій за радіус пухирця,
Досить лише перейти межу поділу, як напруженість поля у точці, що розміщується
Отже, напруженість на межі поділу двох середовищ стрибкоподібно змінюється. Тому зображення електричного поля за допомогою силових ліній ускладнюється. Якщо середовище, в якому реалізується електростатичне поле, неоднорідне, тобто характеризується різними значеннями діелектричної проникності, то для характеристики поля зручніше використати іншу величину, яка, на відміну від напруженості, не змінюється стрибкоподібно поблизу поверхні поділу двох різних діелектриків. Цю величину називають вектором електричної
. Вона пов’язана з вектором напруженості таким співвідношенням:
Із наведеної рівності випливає, що індукція при переході через межу поділу двох діелектриків залишається незмінною, оскільки зміна 
при переході в середовище з діелектричною проникністю ε компенсується відповідним множником.
Оскільки для вакууму і практично для повітря ε = 1, то для них = ε0.
Якщо електричне поле створено одним точковим зарядом q, то вектор електричної індукції на відстані r від заряду буде
За аналогією з силовими лініями (лініями напруженості) для графічного зображення електростатичних полів використовують лінії електричної індукції. Кількість ліній індукції, що проходять через довільну поверхню, проведену в полі, називають потоком вектора електричної індукції через цю поверхню.
Обчислимо потік вектора електричної індукції 
через поверхню сфери радіуса r, у центрі якої міститься заряд q, що створює електричне поле. Оскільки напруженість електричного поля в кожній точці сферичної поверхні 
то через одиницю поверхні проходить Е ліній напруженості або D ліній індукції. Тоді потік вектора електричної індукції, що пронизує поверхню сфери радіуса r, можна визначити так:
Неважко довести, що отриманий результат справедливий не тільки для випадку сферичної поверхні, а й для будь-якої замкненої поверхні, всередині якої у довільній точці міститься точковий заряд q.
Формулу (8.15) можна узагальнити і на випадок, коли поле створене системою точкових зарядів q1, q2,…, qn. Урахувавши принцип суперпозиції електричних полів, дістанемо
Отже, потік вектора електричної індукції через довільну замкнену поверхню не залежить від діелектричних властивостей середовища і дорівнює алгебраїчній сумі електричних зарядів, що містяться всередині цієї поверхні. Отриманий результат називають теоремою Остроградського – Гаусса.
Теорему Остроградського – Гаусса застосовують для розрахунку індукції (або напруженості) полів, які створюються довільним зарядом, оскільки будь-який заряд можна подати у вигляді суми нескінченно великої кількості точкових зарядів.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...