ЗАКОН ДОДАВАННЯ ШВИДКОСТЕЙ
Розділ ІІ Механічний рух
&13. ЗАКОН ДОДАВАННЯ ШВИДКОСТЕЙ
Швидкість руху з точки зору рухомої і нерухомої системи відліку
Проведемо “мислимий експеримент”. Розглянемо випадок, коли ви пливете в моторному човні озером зі швидкістю 4 м/с. Уявімо, що іншим разом у тому самому човні ви пливете вниз за течією річки (мал. 13.1). Нехай швидкість течії становить 1 м/с (звісно, відносно берега). Пропливаючи повз дерево, ви вмикаєте секундомір. На якій відстані від дерева
Ви опинитесь через 10 с?
В озері ви пропливли б за цей час 40 м.
Мал. 13.1. Швидкість човна відносно плота і берега різна
Векторна швидкість руху
Узагальнимо наше спостереження. Переміщення човна відносно води вниз за течією становить за величиною 40 м, а переміщення разом
Введемо тепер векторну швидкість (або швидкість за переміщенням), яка визначається так:
(13.1)
Згідно з формулою (13.1) вектор швидкості напрямлений за вектором переміщення.
Оскільки то звідки випливає:
(13.2)
Закон додавання швидкостей
Рівняння (13.2) називають законом додавання швидкостей. Фізичний зміст закону такий: швидкість човна (мал. 13.2) відносно берега (червона стрілка) дорівнює швидкості човна відносно води (синя стрілка) плюс швидкість течії (переносна швидкість) відносно берега (чорна стрілка). У нашому прикладі швидкість човна відносно води становить 4 м/с, переносна швидкість дорівнює 1 м/с, а швидкість човна відносно берега становить 5 м/с.
Подивимося, якою буде швидкість човна відносно берега, якщо човен пливе проти течії. За ті самі 10 с у стоячій воді ви пропливли б 40 м. Вода знесла ваш човен униз за течією на 10 м.
У результаті ви змістилися відносно дерева лише на 30 м. Ваша швидкість відносно берега тепер складає 3 м/с, тобто 4 м/ с – 1 м/ с = 3м/ с. Але векторні швидкості знову додаються (мал. 13.3): швидкість човна відносно берега (червона стрілка) дорівнює швидкості човна відносно води (відносна швидкість – синя стрілка) плюс (згідно з правилами додавання векторів) швидкість течії (переносна швидкість) відносно берега (чорна стрілка).
Мал. 13.2. При відносному русі швидкості додаються
Мал. 13.3. При русі проти течії вектори знову додаються
Обидва випадки ми розглядали з точки зору спостерігача, який перебуває на березі.
Швидкість руху човна відносно води не залежить від напрямку руху
Тепер уявімо собі, що кожного разу, коли наш човен пропливає повз дерево, там знаходиться ще й пліт. Пліт не має двигуна й рухається вниз за течією зі швидкістю течії. З’ясуємо, якою буде ваша швидкість відносно спостерігача, що знаходиться на плоту. У першому випадку, коли ви пливете вниз за течією, через 10 с ви опинитеся на відстані 40 м від плоту, оскільки за ті самі 10 с течія знесла його на 10 м униз.
У другому випадку, рухаючись угору проти течії, ви знову опинитеся на відстані 40 м від плоту, оскільки змістилися проти течії на 30 м відносно берега, а пліт течія знесла на 10 м униз.
Виявляється, що, рухаючись униз за течією чи вгору проти течії, за 10 с ви переміщаєтеся відносно плоту однаково. Це означає, що ваша швидкість відносно плоту одна й та сама, куди б ви не рухалися. У цьому немає нічого дивного. Адже для того, щоб рухатись, лопаті двигуна мусять відштовхуватися від води й рухати човен. Швидкість цього руху відносно води не залежить від того, рухається вода (як у річці) чи вона стояча (як в озері).
Рухома і нерухома системи відліку рівноправні
Рух човна з погляду спостерігача на березі та з погляду спостерігача на плоту виглядає по-різному. Але вони обидва по-своєму мають рацію. Щоправда, при розрахунках може виявитися зручнішим спостерігати за човном із плоту, а не з берега, чи навпаки. Розв’язуючи задачі, ви навчитеся вибирати “вигідні” тіла відліку.
Приклад 13.1
Гелікоптер. Пролітаючи над пунктом А, пілот наздогнав повітряну кулю, яку зносило вітром по курсу гелікоптера (мал. 13.4). Через 0,5 год. пілот повернув назад і згодом зустрів повітряну кулю на віддалі 30 км від пункту А. Якою була швидкість вітру?
А) Розв’язання в системі відліку “земля”. Нехай точка С – місце розвертання гелікоптера через tAC = 0,5 год. після зустрічі з повітряною кулею над пунктом А, а точка В – місце повторної зустрічі гелікоптера й кулі через час tCB після розвертання гелікоптера в точці С. Нехай u – швидкість вітру, v – швидкість гелікоптера відносно повітря. Тоді v + u – швидкість гелікоптера відносно землі в напрямку АВС, v-u – швидкість гелікоптера відносно землі в напрямі СВ (проти вітру):
SAC = (v + u) ∙ tAC; sCB = (v – u) ∙ tCB ; sAB = u ∙ (tAC + tCB).
Мал. 13.4. Відносно кулі гелікоптер рухається з однаковою швидкістю
У той момент часу, коли гелікоптер був у точці С, куля знаходилася в деякій проміжній точці D. За той час, поки гелікоптер долетів із точки С у пункт В, куля перемістилася з D у В. Швидкість повітряної кулі дорівнює швидкості вітру u. Очевидно, що sAC – sCB = sAB. Підставивши сюди вирази для sAC, sCB та, отримаємо: (v + u) ∙ tAC – (v – u) ∙ tCB = u ∙ (tAC + tCB) . Після нескладних перетворень знаходимо, що tAC = tCB. Тоді (tAC +tCB) = 1 год., а швидкість вітру дорівнює u = 30 км/год.
Відповідь. Швидкість вітру дорівнює 30 км/год.
Співвідношення tAC = tCB видається досить дивним. Але його зміст стає зрозумілим, якщо розв’язати задачу інакше.
Б) Розв’язання з погляду тіла відліку “повітряна куля”. Відносно повітря куля не рухається. Швидкість гелікоптера відносно кулі одна і та сама в довільному напрямі (тобто дорівнює v), тому час віддалення гелікоптера від кулі (0,5 год.) дорівнює часу його наближення до неї. Весь час польоту кулі з А до В дорівнює 1 год. і розв’язок задачі очевидний.
Ця задача показує, наскільки зручним може бути вдалий вибір системи відліку.
Підведемо підсумки
Векторна швидкість дорівнює відношенню переміщення до часу руху: Якщо одне тіло наздоганяє інше, то вони зближаються повільно. Якщо тіла рухаються назустріч, то вони зближаються швидко. Швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку дорівнює сумі відносної і переносної швидкостей тіла:
Творчі завдання
13.1. Сформулюйте критерій, згідно з яким можна вибрати “найкращу” систему відліку.
Вправа 13
Чим швидкість за переміщенням відрізняється від швидкості за шляхом? Куди напрямлена векторна швидкість? В чому полягає закон додавання швидкостей? Чому в прикладі 13.1. вигідніше міркувати з точки зору спостерігачів, які знаходяться на повітряній кулі? Ви перебуваєте в човні, навколо вас вода, туман, берега не видно, до дна дістати неможливо. Як визначити – річка це чи озеро? (Це дискусійна задача; не віриться, але не існує методів визначення руху в даному випадку!). Яку форму мають хвилі, утворені кинутим у річку каменем, з точки зору спостерігача, що знаходиться: а) на березі, б) на плоту? Вода несе човен поряд із плотом униз за течією. Що легше весляреві: відстати на 10 м від плоту, чи на стільки ж перегнати його? Рухаючись катером униз за течією річки, ви загубили рятівний круг. Через 5 хв. опісля, розвернувши катер, ви пливете назад. Через який час після розвороту ви підберете круг? Між двома пунктами, розташованими на березі річки на відстані 100 км один від одного, курсує катер. Пливучи за течією, катер витрачає 4 год.,а проти течії – 10 год. Визначте: а) швидкість течії; б) швидкість катера відносно води. Моторний човен проходить віддаль між пунктами А і В за 3 год., а пліт – за 12 год. Скільки часу витратить човен на зворотний шлях? Повз пристань пропливає пліт. У цей момент до села, що знаходиться на відстані 15 км униз за течією від пристані, відправляється моторний човен. Він приходить до села через 45 хв. і, повертаючись назад, зустрічає пліт на відстані 9 км від села. Знайдіть: а) швидкість течії; б) швидкість човна відносно води. Вважайте, що човен в селі не затримався. Моторний човен проходить одну й ту саму відстань туди й назад уздовж берега річки та в озері. У якому з випадків він затратить для проходження всього шляху більше часу?
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...