Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і половинного аргументу
УРОК 13
Тема. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і половинного аргументу
Мета уроку: вивчення формул тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел, формул тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу. Формування умінь застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.
І. Перевірка домашнього завдання
Розв’язання вправ, аналогічних до домашніх: вправа № 40 (11), 44 (3).
II. Сприймання і усвідомлення формул суми і різниці двох чисел
1.
На одиничному колі позначимо точки Р? і Р? (? > ?) проведемо вектори 
і 
, тоді (соs?; sіn?), (соs?; sіn?) (рис. 101).
Знайдемо скалярний добуток векторів і , двома способами:
1) – = соs? – соs? + sіn? – sіn?;
2) – = 
–
Соs (? – ?) = соs? – соs? + sіn? – sіn?. (1)
Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:
Соs (? + ?) = соs? – соs? – sіn? – sіn?; (2)
Sіn (? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?; (3)
Sіn (? – ?) = sіn? – соs? – соs? – sіn?; (4)
(5)
(6)
Змінивши в формулі (1) ? на -? і врахувавши, що соs(-?) = соs?, sіn(-?) = – sіn?, одержимо
Соs(? + ?) = соs(? – (-?)) = соs? – соs(-?) + sіn? – sіn(-?) = соs? – соs? – sіn? – sіn?;
= sin? – cos? + cos? – sin?.
Таким чином,
Sіn(? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?
Змінивши в останній формулі? на – ? одержимо:
Sin(? – ?) = sіn? – соs(-?) + соs? – sіn(-?)
Виведемо формулу тангенса суми чисел:
.
Отже 
Змінивши? на – ?, одержимо 
1. Знайдіть значення виразів:
А) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°;
Б) 
;
В) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°;
Г) 
;
Д) 
;
Є) 
.
2. Спростіть вирази:
А) sіn(? + ?) – sіn? – соs?;
Б) 
;
В) 
.
Відповідь: а) соs? – sіn?; б) sіn 2?; в) 
.
3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn 
.
Відповідь: а) 
; б) tg15° = tg (45° – 30°) = 2 – 
; в) 2 – ; г) .
III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу
Демонструється таблиця “Тригонометричні функції подвійного аргументу” (табл. 6).
Таблиця 6
Sіn 2? = 2sіn? соs? Соз 2? = соs2 ? – sіn2 ? |
Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2? через функції аргументу?.
Скористаємося формулою sіn(? + ?) = sіn? – соs? + соs? – sіn?.
Вважаючи? = ?, маємо: sіn 2? = 2sіn? – соs?.
Аналогічно із формули соs(? + ?) = соs? – соs? – sіn? – sіn? при? = ? одержуємо: соs 2? = соs2 ? – sin2 ?.
Із формули при? = ?, маємо: 
.
Виконання вправ
1. Обчисліть:
А) 2sin15° соs15°;
Б) соs215° – sіn215°;
В) 
;
Г) (соs 75° – sіn 75°).
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
; г) .
2. Обчисліть sіn 2?, якщо а) sin? = 
; 
< ? < ?; б) соs? = 
; ? < ? < 
.
Відповідь: а) 
; б) 
.
3. Спростіть:
А) sіn? соs?;
Б) соs? – соs 
;
В) 2соs23? – 1;
Г) 1 – 2sin2 5?;
Д) соs 4? + sіn2 2?;
Є) sіn 2? + (sin? – соs?)2.
Відповідь: а) Sin2?; б) Sіn2?; в) соs 6?; г) соs 10?; д) соs2?; є) 1.
4. Доведіть тотожності:
А) 2соs2 ? – соs 2? = 1;
Б) 
;
В) 
;
Г) 
.
IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу
За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу 
якщо відомо, у якій чверті лежить кут?.
Із формули соs 2x = соs2х – sіn2x при х = , одержуємо: соs? = соs2 – sіn2 . (1)
Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді: 1 = соs2 + sin2. (2)
Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:
1+ соs? = 2соs2 ; (3)
1 – соs? = 2sіn2 . (4)
Формули (3) і (4) можна записати так:
(5)
(6)
Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також формулами зниження степеня.
Виконання вправ
1. Знайдіть числові значення виразу:
А) 2соs2 
– 1;
Б) 1 – 2sin2 ;
В) + 2sіn215°;
Г) – + 2соs215°.
Відповідь: а) 
; б) ; в) 1; г) 1.
2. Нехай соs? = 0,6 і 0 < ? < . Обчисліть: а) sin ; б) соs ; в) tg .
Відповідь: а) 
; б) 
; в) .
3. Обчисліть: а) sіn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30′.
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
.
4. Спростіть:
А) 
; б) 
.
Відповідь: а) 2соs?; б) tg?.
5. Доведіть тотожності:
А) 
; б) 
; в) 
.
V. Підведення підсумків уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63-65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розглянути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...