Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості
УРОК 33
Тема. Корінь n – го степеня. Арифметичний корінь n – го степеня і його властивості
Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня.
І. Аналіз контрольної роботи з теми “Тригонометричні рівняння і нерівності”
II. Повторення відомостей про квадратний корінь
Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 13.
1. Що називається квадратним
2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?
3. Чому квадратний корінь з від’ємного числа не існує?
4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?
5. Виконайте вправу № 1 до розділу III.
6. При яких значеннях а має смисл вираз 
?
7. Виконання вправи № 5 до розділу III.
8. Виконання вправи № 2 до розділу III.
Квадратні корені | |
Означення квадратного кореня з числа а: | Означення арифметичного квадратного кореня з числа а: |
Число, квадрат якого дорівнює |
|
Корінь рівняння: Х2 = а.
|
|
, 
.
.
III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 14)
Коренем n-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.
Згідно даного означення, корінь п-го степеня – це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від n і а.
Якщо n – парне, тобто n = 2k, k
N, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.
Якщо n – непарне, тобто n = 2k + 1, kN, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.
Таблиця 14
Корінь n-гo степеня | |
Означення кореня n-го степеня з числа а: Число, n – й степінь якого дорівнює а. Корінь рівняння: х2 = а | Означення арифметичного кореня N-го степеня з числа а:
|
|
Якщо
|
|
|
,…,
– існують для а
, … , 
= а.
Невід’ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.
Арифметичним коренем n-го степеня із невід’ємного числа а називається таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: 
. Число n називають показником кореня, число а – підкореневим числом (виразом).
Якщо n = 2, то замість 
пишуть 
і називають арифметичним квадратним коренем.
Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.
У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь n-го степеня, коротко говорять “корінь n-го степеня”.
Приклад. Знайдемо значення: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
А) = 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;
Б) = 3, оскільки 34 = 81 і 3 > 0;
В) = 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;
Г) = 0, оскільки 0100 = 0.
Корінь парного степеня існує лише з невід’ємних чисел, отже, вираз 
має смисл, якщо 
і набуває невід’ємних значень.
Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.
Для коренів непарного степеня справедлива рівність 
= – 
.
Дійсно 
.
Рівність = – дозволяє виразити корінь непарного степеня з від’ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.
Приклад. Знайдемо значення: а) 
; б) 
; в) 
.
A) = – = -2; б) = – 
= -2 ; в) = – 
= -3 .
Отже, вираз має смисл для будь-якого а R і може набувати будь-яких значень.
Виконання вправ
1. Вправа № 7 до розділу III.
2. Розв’яжіть рівняння:
А) х3 = 64; б) х5 = – 
; в) х4 = 81; г) х6 = – 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.
Відповідь: а) 4; б) – 
; в) 3; – 3; г) немає коренів; д) 
; е) 
; – .
3. Знайдіть область визначення функцій:
А) у =
; б) у = 
; в) у = 
; г) у = 
; д) у = 
+
; е) у = 
.
Відповідь: а) х 
2; б) хR; в) х 
3; г) х? 0; д) 0; е) не визначена.
Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степеня випливає:
)n = а.2. 
3. 
Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і корені n-го степеня.
Властивість 1. Для невід’ємних чисел а і b добуток коренів n-го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: 
–
=
.
Властивість 2. Для невід’ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: 
.
Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід’ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: 
.
Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід’ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: 
.
Властивість 5. Значення кореня із степеня невід’ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: 
.
Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3-5:
3) Так як а 0, то ліва і права частини формули невід’ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властивостями степенів з цілим показником маємо: 
4) При а > О ліва і права частини невід’ємні. Тоді 
. Отже, 
.
5) Згідно з означенням кореня 
– це таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести 
.
Маємо 
.
Виконання вправ
1. Знайдіть значення виразів:
А) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Відповідь: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) 
.
2. Обчисліть:
А) 
–
; б) 
–
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.
3. Знайдіть корінь із степеня:
А) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.
4. Спростіть вирази:
А) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 
= 
; б) 
; в) 
; г) 
.
IV. Підсумок проведення уроку
V. Домашнє завдання
Розділ III § 1 (1-2). Запитання і завдання для повторення розділу III. № 1-12, 17-24. Вправи № 14 (1, 2, 4-6), № 15.