Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Квадратична функція – Функції та графіки

Квадратична функція – Функції та графіки

Математика – Алгебра

Функції та графіки

Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду , де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому .
Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння .
Теорема. Якщо і – корені квадратного

тричлена

, то

.
Приклади
1)

;

або

.
2) Скоротити дріб.
а)

;
б)

;
в)

;

.
Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду

, де x – незалежна змінна, a, b, c – довільні числа, причому

.
Графіки функцій

– рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.
Будь-яку функцію

можна представити у вигляді

, де m і

, n – деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції

можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції

.
Приклад

;

.
Отже, щоб дістати графік функції

, треба зробити з графіком функції

такі перетворення:
1) відобразити симетрично осі Ox;
2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;
3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.
Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.
1. Координати вершини параболи

:
xв=

; yв=

або yв= y(xв).
Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.
2. Точки перетину параболи з осями координат є такими:
Абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді

.
Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння

.
Якщо це рівняння має два різних корені

, графік перетинає вісь Ox у точках

.
Якщо це рівняння має один корінь (тобто

), то цей корінь

.
Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати

.
Якщо це рівняння не має коренів

, парабола не перетинає вісь Ox.
3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.
Якщо

, вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо

, вітки параболи напрямлені вниз.
4. Парабола є симетричною відносно прямої

.
На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.
1)

;

; xв

.
2)

;

;
x1 = x2 = xв=
=

;

;
xв> 0;

;

;
xв=

;

;
x1= x2= xв=

<0.

;

;
xв=

Приклад
Побудувати графік функції

– вітки параболи напрямлені вниз.
xв=

; xв=

;
yв=

, yв=

.
Вершина: (3; 1).
Точка перетину з віссю Oу:

; (0; –8).
Точки перетину з віссю Ox:

;

.
(2; 0); (4; 0).
На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.
1.

.
2.

;

– множина значень функції, тобто множина всіх значень y.
3.

при

і при

.
4. Точки перетину графіка з осями координат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5.

при

;

при

.
6. Функція зростає при

, функція спадає при

.
7. Найбільше значення функції –

, найменшого значення функції немає.
8. Графік функції – парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі

, вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду , де , b, c – дані числа, а правою – нуль, то таку нерівність називають Квадратною нерівністю.
Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій.
Для цього треба:
1) знайти корені тричлена або з’ясувати, що їх немає;
2) зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;
3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.
Приклади
1) , , ,
, .

На ескізі графіка функції (див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких .
Відповідь: .
2) ,
,
, .

Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).
Відповідь: (0; 0,9).
3) ,

,
– коренів немає.
Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).
Відповідь: .
4) ,
, .

Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).
Відповідь: .
5) .
Відповідь: .
6) .
Відповідь: .
7) .
Відповідь: .
Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “за коренями”, а від’ємних – “між коренями”; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “між коренями”, а від’ємних – “за коренями”.

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду , де , називається Біквадратним.
Для його розв’язання вводять нову змінну:
, .
Приклади
1) .
Нехай , .
. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:
, .
, ,
, ,
, . ; .
Відповідь: , , , .
2) .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
, .
Відповідь: , .
3) .
Нехай , .
,
; .
t1 і t2 не задовольняють умову .
Відповідь: коренів немає.
Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види рівнянь.
Приклади
1. .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
,
,
.
Відповідь: , .
2. .
Нехай .
Тоді ,
,
,
Відповідь: , .
а) .
,
,
Відповідь: , .
б) .
, ,
; .
Відповідь: , , , .