Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої



Завдання 2

1.

1) Рівняння сфери, усі точки якої рівновіддалені від початку координат на 1 од. має вигляд х2 + у2 + z2= 1.

2) Оскільки центр сфери – початок координат і вона перетинає ось Оz у точці

(0; 0; 1), то вона має радіус 1, а значить, її рівняння; х2 + у2 + z2 = 1.

3) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається до площини хОу, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 1.

4) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається координатних площин, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х – 1)2 + (у –

1)2 + (z + 1)2 =1.

2.

1) Запишемо рівняння сфери з центром Р(0; 0; 0) і радіусом R = 2, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: х2 + у2 + z2 = 4. Співвідношення, що визначає кулю: х2 + у2 + z2 ≤ 4.

2) Запишемо рівняння сфери з центром Р(1; 0; 2) і радіусом R = 5, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 = 25. Співвідношення, що визначає кулю:

(х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 ≤ 25.

3) Запишемо рівняння сфери з центром Р(-2; 3; -1) і радіусом R = 3,

Та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х + 2)2 + (у – 3)2 + (z + 1)2 = 9. Співвідношення,

що визначає кулю: (х + 2)2 + (у – З)2 + (z + 1)2 ≤ 9.

3.

Щоб визначити, чи належать сфері точки, перевіримо чи будуть виконуватися рівності:

1) О (0; 0; 0). 02 + (0 – 1)2 + (0 + 1)2 = 2 ≠ 4; а значить, точка не належить сфері;

2) Т ( 1; 0;1). 12 + (0 – 1)2 + (1 + 1)2 = 6 ≠ 4, а значить, точка не належить сфері;

3) С(0; 1; 1). 02 + (1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 4, а значить, точка належить сфері.

4.

1) Визначимо, чи описує задане рівняння сферу, х2 – 2х + y2 + z2 = 0;

Х2 – 2х + 1 – 1 + у2 + z2 = 0; (х – 1)2 + у2 + z2 = 1.

Це рівняння сфери з центром в точці (1; 0; 1) і радіусом 1.

2) х2 – 2х + у2 = 3; х2 – 2х + 1 – 1 + у2 = 3; (х – 1)2 + у2 = 4. Не є рівнянням сфери.

3) х2 – 2х + у2 + 4у + z2 – 2z = -1; (х2 – 2х + 1) -1 + (у2 + 4у + 4) – 4 + (z2 – 2z + 1) -1 = -1;

(х – 1)2 + (у + 2)2 + (z – 1)2 = 5 – рівнянням сфери з центром

В точці (1; -2; 1) і радіусом

4) х2 + у2 – у + z2 + z = 0,5;

Не є рівнянням сфери.

5.

Перевіримо, чи проходить площина, задана рівнянням 2х – Зу + z + 1 = 0

Через задані точки, для цього перевіримо, чи будуть виконуватися рівності:

1) A(0; 0; 0), 2 · 0 – 3 • 0 + 0 + 1 = 1, Отже, точка А не належить площині;

2) В(-1; 0; 1), 2 • (-1) – 3 • 0 + 1 + 1 = 2 + 2 = 0, значить, точка В належить площині;

3) С(0; 0; -1), 2 • 0 – 3 • 0 + (-1) + 1 = 0, отже, точка С належить площині.

6.

1) Запишемо рівняння кожної з координатних площин.

Рівняння площини хОу·. z = 0 (коефіцієнти a, b і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини хОz: у = 0 (коефіцієнти а, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини уОz х = 0, (коефіцієнти b, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

2) Запишемо системи рівнянь, які відповідають прямим, що містять осі координат.

Пряма, що містить ось Ох, – пряма перетину площин хОу і хОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оу, – пряма перетину площин хОу і уОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оz, – пряма перетину площин хОz і уОz.

Вона задається системою:

7.

1) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Ох, то а = d = 0. Це, наприклад, площина 2у – 5z = 0.

2) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оу, то b = d = 0, Це, наприклад, площина 2х – 7z = 0.

3) Рівняння площини ах + by + cz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оz, то с = d = 0. Це, наприклад, площина 5х – 8у = 0.

8.

Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Оскільки вона паралельна осі Ох і осі Оу, то а = 0, b = 0.

А щоб вона була відділена від осей Ох і Оу на 1, треба щоб с = 1, d = -1.

Рівняння площини буде мати вигляд: 2 = 1.

9.

1) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0. Маємо: Зх – 3 • 0 + 2 • 0 – 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z = 0.

Маємо: 3 • 0 – Зy + 2 · 0 – 1 = 0; у = . Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 3 • 0 – 3 • 0 + 2z – 1 = 0; Точка перетину

2) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0.

Маємо: 2х – 3 • 0 + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z =.0.

Маємо: 2 · 0 – Зу + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 2 – 0 – 3 · 0 + z ≠ 1 = 0. z = -1. Точка перетину (0; 0; -1).

10.

1) z = 0 – це площина хОу.

2) у = 1. Це площина паралельна площині хОz і відділена від неї на 1 од.

3) z = -2. Це площина паралельна площині хОу і віддалена від неї на 2 од. вниз.

4) x = 3. Це площина паралельна площині уОz і віддалена від неї на 3 од.

5) Площина х + у = 0 містить вісь Оz та проходить через пряму у = – x,

Яка лежить в площині хОу.

6) Площина x + z + 1 = 0 паралельна осі Оу та проходить через

Пряму z = – х – 1, яка лежить в площині хОz.

7) Площина х + у + z = 1. Знайдемо точки перетину з осями:

Ох: у = 0; z = 0; x = 1; Оy: x = 0; y = 1; z = 0; Оz: x = 0; y = 0; z = 1.

За цими трьома точками побудуємо площину.

11.

1) Рівняння площини хОу: z = 0. Рівняння площин, паралельних хОу і

Віддалених від неї на 2: z = 2; z = -2.

2) Рівняння площини уОz: х = 0. Рівняння площин, паралельних yOz і

Віддалених від неї на 3: х = 3; x = -3.

3) Рівняння площини xОz: у = 0. Рівняння площин, паралельних xOz і

Віддалених від неї на 1: у = 1; у = -1.

12.

1) Площина перпендикулярна до осі Ох, отже паралельна осям Оz і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти b = 0, с = 0.

Рівняння буде мати вигляд x + d = 0.

2) Площина перпендикулярна до осі Оу, отже паралельна осям Ох і Оz,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а і с дорівнюють 0.

Рівняння буде мати вигляд у + d = 0.

3) Площина перпендикулярна до осі Оz, отже паралельна осям Ох і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а = 0, b = 0.

Рівняння буде мати вигляд z + d = 0.

4) Площина перпендикулярна площині хОу, а отже паралельна осі Оz.

Коефіцієнт с = 0. Рівняння площини аx + by + d = 0.

5) Площина перпендикулярна площині уОz, а отже паралельна осі Оx.

Коефіцієнт а = 0. Рівняння площини by +cz + d = 0.

6) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0. Рівняння площини аx + сz + d = 0.

7) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0 в рівнянні. Площина перпендикулярна площині уОz,

А отже паралельна осі Оx. Коефіцієнт а = 0 в рівнянні.

Рівняння площини: z + d = 0.

13.

1) Точка К(0; 1; 0) належить осі Оу. Рівняння площини, перпендикулярної

Осі Оу, та яка проходить через точку К, має вигляд: у = 1.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку К: x = 0. Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz

Та яка проходить через точку К: z = 0.

2) Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) x = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) у = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) z = 2.

3) Рівняння площини, перпендикулярної осі Ох, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) x = 4,

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) у = 4.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку H(4; 4; 0) z = 0.

14.

1) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку, та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

Х2 + у2 + (z + З)2 = х2 + (у – 2)2 + z2;

Х2 + у2 + z2 + 6z + 9 = х2 + у2 – 4у + 4 + z2; 4у + 6z + 5 = 0 – рівняння площини.

2) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 = х2 + (у – 1)2 + (z – 1)2;

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 – x2 – (у – 1)2 – (z – 1)2 = 0;

(х – 1)2 + у2 – х2 – (у – 1)2 = 0; х2 – 2х + 1 + у2 – х2 – у2 + 2у – 1 = 0;

2у – 2х – 0; у – х = 0 – рівняння площини.

3) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + (у + 1)2 + (z + 3)2 = (х – 3)2 + (у – 2)2 + (z + 1)2;

Х2 – 2х + 1 + у2 + 2у + 1 + z2 + 6z + 9 = х2 – 6х + 9 + у2 – 4у + 4 + z2 + 2z + 1;

4х + 6у + 4z – 3 = 0 – рівняння площини.

15.

1) Оскільки система не має розв’язків, то площини не перетинаються.

2) Площина z = 1 – перпендикулярна осі Оz.

Площина х + у = 1 – паралельна осі Оz. Отже, площини перетинаються.

3) Площина х + у = 1 паралельна осі Оz. Площина у + z = -1 паралельна

Осі Ох. Ох перпендикулярна Оz. Площини х + у = -1 та у + z = -1 перетинаються.

16.

1) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках А(1; 0; 0), В(0; 1;.0),

С(0; 0; 1), має вигляд: х + у + z = 1.

2) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках A(2; 0; 0), B(0; 3; 0),

С(0; 0; -1), має вигляд: 3х + 2у – 6z = 6.

17.

Рівняння площини, що містить грань ABCD: z = 0.

Рівняння площини, що містить грань BB1D1D: у = 0.

Рівняння площини, що містить грань ВВ1C1C: х = 0.

Рівняння площини, що містить грань A1B1C1D1: z = 2.

Рівняння площини, що містить грань AA1C1C: у = 1.

Рівняння площини, що містить грань AA1D1D: х = -1.

18.

Ось Ох – пряма перетину площин хОz та хОу.

Рівняння прямої, що містить ось Ох:

Ось Оу – пряма перетину площин хОу та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Ось Оz – пряма перетину площини хОz та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оz:

19.

1) Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини уОz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОz та хОу: у = a, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до площини

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини хОу.

Візьмемо площини паралельні площинам xOz та уОz.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини xOz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОу і уОz: х = α, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

2) Ось Ох перпендикулярна осі Оу.

Запишемо рівняння прямої, яка паралельна осі Оу і перетинає вісь Ох.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Щоб паралельна пряма перетинала ось Ох та відрізнялася від прямої,

Що містить ось Оу, вона має бути такою:

3) Осям Ох і Оу перпендикулярна ось Oz.

Запишемо рівняння будь-якої прямої паралельної осі Oz

І яка відрізняється від неї:

20.

1)

Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 2х – 1; Зх – 2).

Візьмемо x = 1, отримаємо точку (1; 1; 1).

2) Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 1 – Зх; 4 – 7х).

Візьмемо х = 0, отримаємо точку (0; 1; 4).

21.

1) – пряма паралельна осі Oz. – пряма паралельна осі Ох.

Прямі, які містять координатні вісі Ох і Oz, перпендикулярні,

Отже прямі, що задані рівняннями – мимобіжні.

2) Об’єднаємо дві системи в одну і розв’яжемо:

Отже, прямі перетинаються в точці (0; 1; 1).

22 .

1) і х – у = 1. Об’єднаємо в систему:

Система розв’язків не має, отже пряма і площина не перетинаються,

А отже, вони паралельні.

2) і у = 3. Розв’яжемо систему:

Отже площина і пряма перетинаються в точці (-2; 3; 1).

23.

1) Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд: (2у + 3; у; 3у + 5).

Візьмемо у = 0, отримаємо точку (3; 0; 5).

2)

Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд:

Візьмемо х = 1, отримаємо точку (1; -1; -5).

24.

1) Точки А(0; 0; 0), В(0; 0; -2), С(0; 0; 2) лежать на осі Оz,

Отже лежать на прямій, що містить ось Оz.

2) Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Отже вони лежать на прямій

3) Запишемо рівняння прямої АС і перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння: 1 ≠ 4 ≠ 3.

Рівність не виконується, отже точки не лежать на одній прямій.

4) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В а це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

5) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

25.

1) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; -3; -4).

2) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; 3; 1).

26.

1) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + 4×2 + 16x + 16 + x2 – 2х + 4 – 80 = 0; 9×2 + 14x – 60 = 0;

D = 142 – 4 · 9 · (-60) = 196 + 2160 = 2356 > 0.

Отже рівняння і система мають розв’язок, а отже пряма і сфера перетинаються.

2) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + x2 – 6x + 9 + 4×2 + 8x + 4 – 4 = 0; 9×2 + 2x + 9 = 0;

D = 22 – 4 • 9 • 9 = 4 – 324 = -320 < 0.

Рівняння розв’язків не має, отже і система розв’язків не має.

А отже пряма і сфера не перетинаються.

27.

Фігура F, яка задана рівнянням (x – 2)2 + (у + 2)2 + z2 = 1,

Є сфера з центром в точці (2; -2; 0) і радіуса 1.

1) Найближчою точкою фігури F до початку координат є

Точка А перетину прямої O1O зі сферою.

Або або

Отже, пряма О1О має зі сферою дві спільні точки: і

Знайдемо відстані цих точок до початку координат:

Отже,

2) Найвіддаленішою точкою від початку координат

Є точка

3) Найближчою до координатної площини хОу є точка (2; -1; 0),

До координатної площини уОz є точка (1; -2; 0),

До координатної площини хОу є точки кола

4) Найвіддаленішою точкою фігури F від площини xOz є точка (2; -3; 0);

Від площини уОz є точка (3; -2; 0); від площини хОу є точки (2; -2; 1) і (2; -2; -1).

5) Найближчою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -1; 0), від координатної осі Оу є точка (1; -2; 0),

Від координатної осі Ог є точка

6) Найвіддаленішою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -3; 0); від координатної осі Оу є точка (3; -2; 0);

Від координатної осі Оz є точка

7) 8). Знайдемо точки перетину даної сфери і прямої МО1, де М(2; 2; 2).

Або

Отже, маємо дві точки перетину:

Найближчою точкою є точка а найвіддаленішою

28.

1) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: 1 + у + z = 5. у + 2 = 4 –

Пряма розташована в площині уОz.

2) Підставимо x = 1 в рівняння фігури F: 12 + у2 + z2 = 5. у2 + z2 = 4 –

Рівняння кола, розташованого в площині уОz з центром (0; 0) та радіусом 1.

3) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: yz = 5. – рівняння гіперболи.

4) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: у2 = z – рівняння параболи.

29.

1) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: х + 1 + z = 5. х + z = 4 –

Рівняння прямої. Перетин є прямою.

2) Підставимо у = їв рівняння фігури F: х2 + 1 + z2= 5. x2 + z2 = 4 –

Рівняння кола. Перетин є колом.

3) Підставимо y = 1 в рівняння фігури F: хz = 5. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

4) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: zx = 1. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

30.

1) Знайдемо точку перетину прямої і площини х + у – z = 2.

Отже, шукана точка і вона віддалена від початку координат на відстані:

Відповідь:

2) Найближчою точкою даної фігури до початку координат є точка (5; 25; 5), яка віддалена від початку координат на відстані

Відповідь:

3) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані від початку координат

До точки (1; 0; 1), тобто

Відповідь:

4) Відстань від початку координат до фігури дорівнює ОА, де А – середина відрізка ВС:

Відповідь:

5) Знайдемо точку перетину сфери (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 2 та прямої

Або

І тоді шукана відстань дорівнює:

Відповідь:

6) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані О А. ОА = 1.

Відповідь: 1.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Вираз в математиці.
Ви зараз читаєте: Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої